Fonction exponentielle – Encadrement du nombre Exercices corrigés

Fonction exponentielle – Encadrement du nombre
Exercices corrigés
Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)
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Exercice 1 : encadrement de par deux fonctions
Exercice 2 : encadrement de obtenu par une fonction et des changements de variables
Exercice 3 : encadrement de par la somme de factorielles et écriture d’un algorithme
Exercice 4 : valeur du nombre en faisant appel à l’intégration (intégration par parties)
Fonction exponentielle – Encadrement du nombre
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1
Exercice 1 (2 questions)
Niveau : facile
, on pose ( )
Pour tout
) et ( )
(
1) Montrer que, pour tout
, ( )
2) En déduire un encadrement de .
et ( )
(
).
.
Correction de l’exercice 1
Retour au menu
, ( )
.
1) Montrons que, pour tout
a) Montrons tout d’abord que ( )
et ( )
.
Rappel : Fonction exponentielle et inverse d’un réel
Pour tout
,
La fonction
avec
.
est définie par ( )
d’une part la fonction
⏟(
⏟
( )
), produit de deux fonctions continues et dérivables sur
,
( )
(fonction inverse de l’exponentielle) et la fonction
(fonction polynôme de degré 2) d’autre part.
Par conséquent, il vient que la fonction
est dérivable sur
donc sur
.
Rappel : Fonction exponentielle et dérivée
Soit
une fonction dérivable sur un intervalle . La fonction définie par
( ))
,(
,(
Remarque importante : Il en découle les résultats suivants : pour tout
( )
⏟
( )
)
⏟ (⏟
( )
( )
Ainsi, pour tout
)
et (
)
.
,
(
⏟
Pour tout
et, pour tout
( )
( )
Ainsi, pour tout
est dérivable sur
,
et
,
)
( )
donc
( )
( )
. La fonction
.
est donc décroissante sur
Fonction exponentielle – Encadrement du nombre
.
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2
étant continue en , ( )
Par ailleurs, la fonction
existe et ( )
(
) ⏟
.
( )
, ( )
En conclusion, pour tout
b) Montrons désormais que ( )
est définie par ( )
La fonction
( )
.
.
(
⏟⏟
), produit de deux fonctions continues et dérivables sur
( )
,
( )
d’une part la fonction
(fonction inverse de l’exponentielle) et la fonction
(fonction polynôme de degré 2) d’autre part.
Par conséquent, il vient que la fonction
Ainsi, pour tout
( )
)
( )
( (
donc sur
.
,
(
⏟
⏟
est dérivable sur
(
⏟⏟
( )
( )
))
(
)
(
)
(
)
( )
)
D’une part, pour tout
,
. D’autre part, pour tout
,
. Enfin, pour tout
,
(car la fonction
est décroissante sur ), d’où
(du fait de la croissance
de la fonction
sur ), c’est-à-dire
. Il s’ensuit que, pour tout
, ( )
. La
fonction est donc croissante sur
.
étant continue en , ( )
) ⏟ .
Par ailleurs, la fonction
(
existe et ( )
( )
( )
, ( )
En conclusion, pour tout
.
2) Cherchons dès lors un encadrement de .
( )
( ). Comme
et comme, d’après la question précédente, ( )
, il vient que
D’après la question précédente, pour tout
( )
(
)
( )
,
précédente a permis de montrer que ( )
Il résulte alors que
est décroissante, donc ( )
.
On a également établi que, pour tout
( )
,
est croissante, donc
. Par ailleurs, ( )
(
( )
( )
)
( ). La question
. Par conséquent,
.
. En multipliant par
, il vient finalement que
Remarque : Ce résultat est conforme à celui affiché par la calculatrice :
Fonction exponentielle – Encadrement du nombre
.
.
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Exercice 2 (5 questions)
Soit la fonction
Niveau : moyen
par ( )
définie sur
1) Montrer que, pour tout
réel,
un entier naturel tel que
3) Démontrer que (
,
.
.
)
.
(
4) Démontrer que
).
.
2) En déduire que, pour tout réel
Soit
(
)
.
5) En déduire un encadrement de
en fonction de .
Correction de l’exercice 2
Retour au menu
1) Montrons que, pour tout
(
, c’est-à-dire montrons que
réel,
).
La fonction est la somme de deux fonctions continues et dérivables sur
: d’une part la fonction
(fonction exponentielle) et d’autre part la fonction
(fonction affine).
Par conséquent, la fonction
est dérivable sur
Rappel : Résolution d’inéquation de la forme
Soient
et
et, pour tout
( )
,
( )
( )
deux fonctions définies sur un intervalle (ou une réunion d’intervalles).
Pour tout réel
,
( )
Or, ( )
croissante sur
( )
si et seulement si ( )
, et pour tout
,
( ).
. Ainsi, pour tout
, ( )
, c’est-à-dire
, c’est-à-dire strictement décroissante sur
.
( )
Autrement dit,
admet un minimum, atteint en . Comme ( )
( )
. Finalement, pour tout
,
(
)
, c’est-à-dire
2) Montrons désormais que, pour tout réel
,
La question précédente a permis d’établir que, pour tout
alors l’inégalité
.
Or, pour tout réel
tout réel
sur
et car
.
,
car la fonction
(
)
, pour tout
.
.
,
. En remplaçant
est décroissante sur
,
pour tout réel
Fonction exponentielle – Encadrement du nombre
par – , il vient
. Par conséquent, pour
car la fonction
. En définitive,
,
est décroissante
.
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4
3) Démontrons que (
)
⟦
, où
⟦
Pour tout réel
,(
Posons
et notons que
⟦
Pour tout
existe car
⟦
(car la fonction
que
,
, c’est-à-dire
,
Posons
et tout
(
)
et notons que
Pour tout ⟦
⟦
c’est-à-dire
.
existe car
,
(
)
entier naturel tel
.
(d’après la décroissance de la fonction
et
D’après la question 2), pour tout
)
⟦ est l’intervalle des
Remarque : ⟦
entiers naturels supérieurs ou égaux à 2.
⟦
En fait, ⟦
.
.
, d’où
. D’où (
). Finalement, pour tout
) .
4) Démontrons que
.
.
. Il vient alors que
est croissante pour tout
(
. Par ailleurs,
.
, d’où
D’après la question 1), pour tout
)
et pour tout entier relatif
. Il vient alors que
sur
),
.
Or,
(
que
,
(
)
)
(
)
(
. Finalement, pour tout
entier naturel tel
.
5) Des deux questions précédentes, on conclut que (
Remarque : Plus
,
)
)
(
est grand, plus l’encadrement de est précis. Si
(encadrement à
près).
Fonction exponentielle – Encadrement du nombre
)
.
, alors
. Si
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Exercice 3 (3 questions)
Soit
Niveau : moyen
un entier naturel tel que
( )
. Soient
(
et
deux fonctions respectivement définies sur
( )
)
1) Montrer que ( )
et que ( )
( )
.
∑
2) En déduire que
par :
∑
3) Ecrire un algorithme permettant de donner un encadrement de .
Correction de l’exercice 3
Retour au menu
1) Montrons que ( )
et que ( )
a) Montrons tout d’abord que ( )
.
La fonction
.
est le produit de deux fonctions continues et dérivables sur
: d’une part la fonction
(fonction inverse de l’exponentielle) et d’autre part la fonction
(fonction
polynôme de degré ).
Par conséquent, il vient que la fonction
Ainsi, pour tout
( )
⏟
( )
est dérivable sur
donc sur
,
(
⏟
)
⏟(
( )⏟
)
( )
( (
( )
)
)
(
)
Pour tout
et pour tout
sur
. Il en résulte que ( )
entier naturel tel que
( ). Or, ( )
b) Montrons désormais que ( )
La fonction
.
(
⏟
,
( )
. La fonction
(
)
donc
.
⏟
est donc décroissante
: d’une part la fonction
(produit de deux fonctions continues et dérivables sur
Par conséquent, il vient que la fonction
⏟
.
est la somme de deux fonctions continues et dérivables sur
part la fonction
)
est dérivable sur
donc sur
Fonction exponentielle – Encadrement du nombre
et d’autre
).
.
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Ainsi, pour tout
( )
( )
,
(
)
⏟
Or, pour tout
,
car la fonction
⏟
car la fonction
est croissante sur
conséquent,
(
)
est décroissante sur
. Comme
,
. Ainsi, il vient que
. Par
.
Pour tout
et pour tout
sur
. Il en résulte que ( )
entier naturel tel que
( )
( ). Or, ( )
2) L’étude précédente a permis de montrer que ( )
( )
(
)
( )
(
,
( )
. La fonction est donc croissante
( ).
donc
et ( )
. Or, on a :
(
)
⏟
( )
(
)
)
(
)
⏟
Par conséquent,
⏟
⏟
∑
⏟
∑
⏟
3) Ecrivons avec le logiciel AlgoBox un algorithme permettant de donner un encadrement de .
VARIABLES
n EST_DU_TYPE NOMBRE
L’instruction
k EST_DU_TYPE NOMBRE
ALGOBOX_FACTORIELLE(
somme EST_DU_TYPE NOMBRE
minorant EST_DU_TYPE NOMBRE
permet de calculer
majorant EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
AFFICHER "Saisir n."
LIRE n
AFFICHER n
somme PREND_LA_VALEUR 0
POUR k ALLANT_DE 1 A n
DEBUT_POUR
somme PREND_LA_VALEUR somme+1/ALGOBOX_FACTORIELLE(k)
Fonction exponentielle – Encadrement du nombre
)
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FIN_POUR
minorant PREND_LA_VALEUR 1+somme
majorant PREND_LA_VALEUR 1+1/ALGOBOX_FACTORIELLE(n)+somme
AFFICHER "Le nombre e est compris entre "
AFFICHER minorant
AFFICHER " et "
AFFICHER majorant
FIN_ALGORITHME
Affichage lorsque l’utilisateur saisit 5.
***Algorithme lancé***
Saisir n : 5
Le nombre e est compris entre 2.7166667 et 2.725
***Algorithme terminé***
Remarque : L’encadrement de
Affichage lorsque l’utilisateur saisit 10.
***Algorithme lancé***
Saisir n : 10
Le nombre e est compris entre 2.7182818 et 2.7182821
***Algorithme terminé***
proposé dans cet exercice est très satisfaisant, même pour
Fonction exponentielle – Encadrement du nombre
petit.
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Exercice 4 (6 questions)
On pose pour tout entier
Niveau : moyen
∫
non nul
1) Calculer .
2) Démontrer que, pour tout entier naturel
3) En déduire la limite de .
4) Exprimer
en fonction de
non nul et pour tout réel
,
.
5) Démontrer que, pour tout entier naturel
(
,
)
6) En déduire une expression de .
Correction de l’exercice 4
Retour au menu
1) Calculons .
Rappel : Intégration par parties
Soient
et
deux fonctions dérivables sur
∫
∫
(
( ) ( )
) telles que leurs dérivées soient continues sur
( ) ( )
∫
.
( ) ( )
∫
Soient les fonctions et , dérivables sur
, respectivement définies par ( )
leurs dérivées sont continues sur
et, pour tout
, ( )
et ( )
∫ ⏟ ⏟
(
[⏟ ⏟
( )
( )
(
2) Soit
( )
(
))
)]
∫
( )
( )
(
(
⏟ ⏟
(
)
∫
( )
))
.
Pour tout réel
,
. D’où, en vertu de la décroissance de la fonction
. En appliquant la fonction
, continue et croissante sur donc sur
c’est-à-dire
et ( )
. Alors
. Ainsi, il vient que :
. Ainsi, en multipliant par le réel positif ou nul
Fonction exponentielle – Encadrement du nombre
sur donc sur
, il vient que
, il résulte que
,
,
.
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3) D’après ce qui précède, pour tout entier naturel
non nul et pour tout réel
,
Rappel : Positivité et croissance de l’intégrale
Soient
et
deux fonctions dérivables sur
(
).
 Si, pour tout
, ( )
, alors ∫
 Si, pour tout
, ( )
( ), alors ∫
( )
(
)
( )
∫
( )
∫
Le théorème de croissance de l’intégrale donne alors
(
)
∫
Or,
∫
∫
(
)
(
∫
(
[
(
)
)
(
, d’après le théorème des
)
gendarmes, il vient que
4) Exprimons
∫
(
(
(
)
)
)
(
)
(
(
(
Par conséquent,
)
)
Soient ,
et
Si, pour
« assez voisin » de
(
)
]
trois fonctions et soit un réel.
( )
( ) et si
( fini ou infini),
( )
( )
,
( )
alors
. Soit
)
( )
( )
)
∫ (
)
)
(
(
(
)
)
) (
(
)
(
.
∫ ⏟ ⏟
(
∫ (
∫
[
(
.
en fonction de
(
]
Rappel : Théorème des gendarmes
( )
Comme
)
)
∫
∫
([ ⏟ (⏟
( )
)
(
)]
( )
∫ (⏟
)
( )
(⏟
)
)
( )
)
)
(
(
)
)
)
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5) Démontrons que, pour tout entier naturel
(
,
)
Rappel : Principe du raisonnement par récurrence
Soit
une proposition définie sur un intervalle de . Soit
Une proposition est un
énoncé, soit vrai, soit faux.
.
Si :
(
) est vraie au rang
1) la proposition
est initialisée à un certain rang
, c’est-à-dire si
2) la proposition
est héréditaire à partir du rang
, c’est-à-dire si, pour
( )
l’implication
(
fixé, tel que
, on a
)
Alors :
3) La proposition est vraie à partir de tout rang plus grand que
Considérons la proposition
définie pour tout
.
entier naturel tel que
( )
par :
(
)
D’après la question précédente et d’après la première question,
(
(
)
(
( ) est donc vraie, c’est-à-dire que la proposition
Montrons désormais que, pour
( ) vraie à un rang
(
(
(
)
)
La proposition
alors que
)
entier naturel fixé tel que
,
est initialisée au rang .
( )
⏟
(
La proposition
(
)
(
(
), et montrons
(
(
)
). Autrement dit, supposons
(
fixé, c’est-à-dire supposons ⏟
) est vraie, c’est-à-dire montrons que
)
(
(
)
).
)
)
(
(
) est donc vraie, c’est-à-dire que la proposition
)
)
est héréditaire.
(
).
On vient d’établir que ( ) est vraie et que, pour entier naturel fixé tel que
, ( )
Autrement dit, on vient de montrer que la proposition est initialisée au rang et est héréditaire donc, d’après
le principe du raisonnement par récurrence, la proposition est vraie pour tout entier naturel
.
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Ainsi, il résulte que, pour tout entier naturel
,
(
)
6) Donnons dès lors une expression du nombre . Pour ce faire, prenons appui sur le résultat précédent.
(
(
⏟
(
)
(
)
⏞
⏟
(
)
)
)
(
Ainsi,
(
)
)
(
. Par conséquent,
). Or, d’après la question 3),
(
d’où
).
Autrement dit, en remarquant que
, il vient que
∑
Remarques :
1) Il peut être également montré que le nombre est irrationnel.
2) Le nombre est l'unique solution de l'équation
où ln désigne la fonction logarithme népérien.
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