Equation cartésienne d`un plan – Géométrie dans l`espace

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Equation cartésienne d’un plan – Géométrie dans l’espace
Exercices corrigés
Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)
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Exercice 1 : vecteur normal à un plan
Exercice 2 : équation cartésienne d’un plan défini par un vecteur normal et un point du plan
Exercice 3 : vecteurs coplanaires
Exercice 4 : vecteurs directeurs non colinéaires d’un plan
Exercice 5 : équation cartésienne d’un plan défini par deux vecteurs directeurs et un point du plan
Exercice 6 : équation cartésienne d’un plan défini par trois points non alignés du plan
Exercice 7 : équation cartésienne d’un plan défini par un plan parallèle et un point du plan
Exercice 8 : plans orthogonaux
Exercice 9 : équation cartésienne du plan médiateur d’un segment
Exercice 10 : droite d’intersection de 2 plans et représentation paramétrique de la droite d’intersection
Exercice 11 : point d’intersection de 3 plans et coordonnées du point d’intersection
Exercice 12 : distance d’un point à un plan
Exercice 13 : représentation paramétrique d’un plan connaissant une équation cartésienne de ce plan
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Equation cartésienne d’un plan – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés
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1
Exercice 1 (3 questions)
On munit l’espace d’un repère (
Niveau : facile
⃗ ⃗ ⃗⃗ ). Les questions suivantes sont indépendantes.
1) On considère le plan ( ) d’équation cartésienne
et un point de ( ).
), (
2) Donner une équation cartésienne des plans (
trois plans.
. Donner un vecteur normal à ( )
) et (
) et un vecteur normal à chacun de ces
3) On considère le plan ( ) d’équation cartésienne
. Le vecteur (
) est-il un
vecteur normal au plan ( ) ?
Correction de l’exercice 1
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1) Donner un vecteur normal à ( ) et un point de ( ).
Rappel : Vecteur normal à un plan et équation cartésienne d’un plan
Dire qu’un vecteur ⃗⃗ non nul est normal à un plan signifie que toute droite de vecteur directeur ⃗⃗ est
orthogonale à ce plan.
L’ensemble des points
, ,
(
) de l’espace qui vérifient l’équation cartésienne
désignent des réels non tous nuls et
(où
un réel) est un plan de vecteur normal ⃗⃗ ( ).
Réciproquement, si un plan a pour vecteur normal ⃗⃗ ( ), alors ce plan a une équation cartésienne de la forme
(où , ,
Une équation cartésienne du plan ( ) est
que le vecteur ⃗⃗ (
un réel).
, c’est-à-dire
(
)
. Il vient
) est un vecteur normal au plan.
Remarque : Tout vecteur non nul colinéaire à ⃗⃗ est un vecteur normal à ( ). C’est le cas par exemple du
√
vecteur ⃗⃗⃗⃗ ( √ ). Il existe une infinité de vecteurs normaux au plan ( ).
√
En outre, on sait que tout point dont les coordonnées vérifient l’équation du plan ( ) appartient à ( ). Or,
) appartient au plan ( ).
donc le point de coordonnées (
Remarque : Il existe une infinité de points appartenant au plan ( ). C’est le cas par exemple des points de
) et (
) puisque
coordonnées respectives (
et
.
2
2) Donnons une équation cartésienne des plans (
ces trois plans.
), (
) et (
) et un vecteur normal à chacun de
Une équation cartésienne du plan (
) est
. Un vecteur normal à ce plan est donc le vecteur ⃗⃗ ( ).
) est
. Un vecteur normal à ce plan est donc le vecteur ⃗ ( ).
) est
. Un vecteur normal à ce plan est donc le vecteur ⃗ ( ).
) est un vecteur normal au plan ( ).
3) Vérifions si le vecteur ⃗ (
, c’est-à-dire
un vecteur normal au plan est le vecteur ⃗⃗ (
⃗⃗ (
)
⃗⃗
⃗⃗ ,
⃗⃗
⃗⃗
et
⃗⃗
⃗⃗
donc
).
) est un vecteur normal au plan ( ) si et seulement s’il est colinéaire au vecteur ⃗⃗ (
⃗(
Or,
(
).
donc les vecteurs ⃗⃗ et ⃗ ne sont pas colinéaires. Il vient donc que
) n’est pas un vecteur normal au plan ( ).
3
Exercice 2 (1 question)
(
Niveau : facile
⃗ ⃗ ⃗⃗ ). Donner une équation cartésienne du plan ( ) passant par
) et dont un vecteur normal est ⃗⃗ (
).
⃗⃗ (
où
) est un vecteur normal au plan ( ) donc une équation cartésienne de ( ) est
est un réel qu’il reste à déterminer. On a donc provisoirement
En outre, (
conséquent,
Or,
Retour au menu
(
)
.
) appartient au plan ( ) donc ses coordonnées vérifient l’équation de ( ). Par
.
(
)
Finalement, une équation cartésienne de ( ) est
.
.
4
Niveau : moyen
⃗ ⃗ ⃗⃗ ). Pour quelle(s) valeur(s) du réel
, les vecteurs ⃗⃗ ( ), ⃗ ( ) et
⃗⃗⃗ ( ) sont-ils coplanaires ?
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Rappel : Vecteurs coplanaires
Soient ⃗⃗, ⃗ et ⃗⃗⃗ trois vecteurs de l’espace. ⃗⃗, ⃗ et ⃗⃗⃗ sont des vecteurs coplanaires si et seulement si :
 ⃗⃗ et ⃗ ne sont pas colinéaires
 il existe des réels et non tous nuls tels que ⃗⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗⃗
Les vecteurs ⃗⃗ ( ), ⃗ ( ) et ⃗⃗⃗ ( ) sont coplanaires si et seulement s’il existe un couple de réels non tous
nuls (
) tels que ⃗⃗⃗
Or, pour tous réels
⃗⃗⃗
⃗⃗
⃗
⃗⃗
⃗ (par exemple).
, et , on a :
{
{
{
(
(
{
{
)
)
{
( )
( )
( )
{
( )
(
(
{
)
)
{
{
(
)
(
)
{
d’inconnue
et soit le discriminant de ce trinôme. Alors
, le trinôme admet deux racines réelles distinctes :
Soit le trinôme du second degré
( )
. Comme
(
)
√
√
(
)
√
√
5
√
⃗⃗⃗
⃗⃗
√
{
⃗
{
√
√
(
(
√
)
√
(
))
(
{
(
)
√
))
{
√
{
{
√
(
√
√
√
√
√
{
√
√
√
√
√
{
{
√
√
√
√
√
√
{
√
Autrement dit, les vecteurs ⃗⃗, ⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗ sont coplanaires si et seulement si
√
ou
√
.
6
Niveau : facile
On munit l’espace d’un repère orthonormal (
(
).
1) Montrer que les points ,
et
⃗ ⃗ ⃗⃗ ). On considère les points (
et
) et
pour que ⃗⃗ soit un vecteur normal au plan
).
Retour au menu
1) Montrons que les points ,
D’une part, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
et
définissent un plan.
), c’est-à-dire ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
⃗⃗⃗⃗
Or,
(
définissent un plan.
2) Soit ⃗⃗ ( ) un vecteur du plan. Déterminer les réels ,
(
),
⃗⃗⃗⃗
,
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
et
⃗⃗⃗⃗
). D’autre part, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
), c’est-à-dire ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
, les triplets (
. Comme
⃗⃗⃗⃗
).
) et
) ne sont pas proportionnels. Autrement dit, les coordonnées des vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ne sont pas
proportionnelles. Par conséquent, les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ne sont pas colinéaires. Il vient que les points , et
).
ne sont pas alignés et qu’ils définissent un plan (
(
2) Déterminons les réels ,
et non tous nuls pour que ⃗⃗ ( ) soit un vecteur normal au plan (
).
Rappel : Produit scalaire et orthogonalité dans l’espace
⃗⃗
Dire qu’un vecteur ⃗⃗ (
⃗⃗ )
⃗⃗
et qu’un vecteur ⃗ (
⃗⃗
⃗⃗ )
sont orthogonaux équivaut à dire que leur produit scalaire
⃗⃗
⃗⃗ ⃗ est nul. Dans un repère orthonormal de l’espace, ⃗⃗ (
⃗⃗
⃗⃗ )
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
D’après ce qui précède, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
plan (
(
)
⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
)
et ⃗ (
⃗⃗ )
sont orthogonaux si et seulement si
⃗⃗
.
) et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
) ne sont pas colinéaires ; ils sont donc des vecteurs directeurs du
). Ainsi, ⃗⃗ ( ) est un vecteur normal au plan (
⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗
(
) si et seulement si ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
et ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
.
)
7
⃗⃗ ( ) est donc un vecteur normal au plan (
( )
( )
Or, {
{
(
(
Ainsi, le vecteur ⃗⃗⃗ (
)
)
) si et seulement si {
(
{
{
{
( )
(
)
{
) est un vecteur normal au plan (
) (cas où
)
( )
existe une infinité de vecteurs normaux au plan (
le vecteur (
.
) (où
désigne un réel non nul). Notons qu’il
) comme, en particulier, le vecteur ( ) (cas où
) ou
).
8
Niveau : moyen
(
⃗ ⃗ ⃗⃗ ). Donner une équation cartésienne du plan ( ) passant par
) et dirigé par les vecteurs ⃗⃗ ( ) et ⃗ (
).
Retour au menu
Notons ⃗⃗ ( ) un vecteur normal au plan ( ). D’après l’énoncé, les vecteurs ⃗⃗ ( ) et ⃗ (
vecteurs directeurs du plan ( ). Or, ⃗⃗ et ⃗ ne sont pas colinéaires donc ⃗⃗ ⃗⃗
et ⃗⃗ ⃗
) sont deux
.
⃗⃗ ⃗⃗
⃗⃗ ⃗
(
)
⃗⃗ est donc un vecteur normal au plan ( ) si et seulement si {
Or, {
{
Ainsi, en posant par exemple
Par conséquent, ⃗⃗ (
(
)
,
{
{
et
{
.
) est un vecteur normal au plan ( ). Il vient que
où
est un
réel qu’il reste à déterminer.
Or, (
) est un point du plan ( ) donc ses coordonnées vérifient l’équation de ( ).
Ainsi,
Finalement,
est une équation cartésienne du plan ( ).
9
Niveau : moyen
⃗ ⃗ ⃗⃗ ). Donner une équation cartésienne du plan passant par les points
).
(
), (
) et (
Retour au menu
Tout d’abord, vérifions que les points (
), (
D’une part, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
). Il n’existe pas de réel
) et, d’autre part, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
) et (
) définissent bien un plan.
unique non nul tel que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
donc les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ne sont pas colinéaires. Par conséquent, les points ,
).
définissent un plan (
et
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
ne sont pas alignés et
1ère méthode :
). Comme ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
Notons ⃗⃗ ( ) un vecteur normal au plan (
), ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
non colinéaires du plan (
et ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
) et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
) sont deux vecteurs directeurs
.
⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗ est donc un vecteur normal au plan (
Or, {
{
{
(
(
{
Par conséquent, ⃗⃗ (
) si et seulement si {
{
)
)
{
{
, alors
{
et
) est un vecteur normal au plan (
.
). Il vient que
où
est un
réel à déterminer.
Or, (
) est un point du plan (
) donc ses coordonnées vérifient l’équation de (
).
Ainsi,
Finalement,
est une équation cartésienne du plan (
).
10
2ème méthode :
Une équation du plan (
réel).
(
Or,
(où , ,
, c’est-à-dire
.
De même, (
( )
Ainsi,
Enfin, (
(
). Ainsi,
) est
{
{
{
{
.
(
(
)
)
(
{
{
)
(
{
{
)
(
)
{
{
{
Finalement,
).
) donc ses coordonnées vérifient également l’équation de
, c’est-à-dire
.
Il convient donc de résoudre le système {
{
). Ainsi,
( )
, c’est-à-dire
.
( )
( )
un
, alors
,
et
.
est une équation cartésienne du plan (
).
11
Niveau : facile
On munit l’espace d’un repère ( ⃗ ⃗ ⃗⃗ ). Donner une équation cartésienne du plan ( ) passant par le point
(
) et parallèle au plan ( ) d’équation cartésienne
.
Retour au menu
Rappel : Parallélisme de plans et vecteurs normaux colinéaires
Soient les plans ( ) et ( ) de vecteurs normaux respectifs ⃗⃗ ( ) et ⃗⃗⃗⃗ ( ).
 Point de vue géométrique : Les plans ( ) et ( ) sont parallèles (c’est-à-dire confondus ou strictement
parallèles) si et seulement si ⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires.
 Point de vue analytique : Les plans ( ) et ( ) sont parallèles (c’est-à-dire confondus ou strictement
parallèles) si et seulement si les triplets (
) et (
) sont proportionnels.
Remarque : Dans le cas où les plans ( ) et ( ) sont parallèles, si le point (
) appartient à ( )
mais n’appartient pas à ( ), alors ils sont strictement parallèles. Dans le cas contraire, ils sont confondus.
. Ainsi, le vecteur ⃗⃗ (
) est un vecteur normal
au plan ( ).
Comme ( ) et ( ) sont deux plans parallèles, un vecteur normal de ( ) est colinéaire à un vecteur normal de
( ). En particulier, ⃗⃗ (
où
Or, comme le point
conséquent,
Finalement,
) est un vecteur normal au plan ( ). Par conséquent, une équation du plan ( ) est
est un réel à déterminer.
(
(
)
) appartient au plan ( ), ses coordonnées en vérifient l’équation. Par
, d’où
.
est une équation cartésienne du plan ( ).
12
Niveau : facile
On munit l’espace d’un repère orthonormé (
respectives
et
⃗ ⃗ ⃗⃗ ). On considère les plans ( ) et ( ) d’équations
.
1) Montrer que les plans ( ) et ( ) sont sécants.
2) Montrer que les plans ( ) et ( ) sont orthogonaux.
Retour au menu
1) Montrons que les plans ( ) et ( ) sont sécants.
Rappel : Vecteurs normaux non colinéaires et intersection de plans
Soient les plans ( ) et ( ) de vecteurs normaux respectifs ⃗⃗ ( ) et ⃗⃗⃗⃗ ( ).
 Point de vue géométrique : Les plans ( ) et ( ) sont sécants si et seulement si ⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗ ne sont pas
colinéaires. L’intersection des plans ( ) et ( ) est une droite.
 Point de vue analytique : Les plans ( ) et ( ) sont sécants si et seulement si les triplets (
(
) et
) ne sont pas proportionnels. L’intersection des plans ( ) et ( ) est une droite.
D’une part, le plan ( ) a pour équation
, donc le vecteur ⃗⃗ (
) est un vecteur normal à
, donc le vecteur ⃗⃗⃗⃗ (
( ). D’autre part, le plan ( ) a pour équation
) est un
vecteur normal au plan ( ).
Or,
et
. Comme
, les triplets (
) et (
) ne sont pas
proportionnels. Autrement dit, les vecteurs ⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗ ne sont pas colinéaires.
Il vient que les plans ( ) et ( ) sont sécants selon une droite ( ).
2) Montrons que les plans ( ) et ( ) sont orthogonaux.
D’après ce qui précède, ⃗⃗ (
( ). Or,
(
)
(
) est un vecteur normal au plan ( ) et ⃗⃗⃗⃗ (
) est un vecteur normal au plan
donc les vecteurs ⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗ sont orthogonaux.
)
Il résulte que les plans ( ) et ( ) sont orthogonaux.
13
Niveau : moyen
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé (
⃗ ⃗ ⃗⃗ ), on place les points (
) et (
).
1) Donner les coordonnées du point , milieu du segment [ ].
2) En déduire, à l’aide d’un produit scalaire, une équation cartésienne du plan médiateur du segment [
3) Proposer une autre méthode permettant de donner une équation cartésienne du plan médiateur de [
Retour au menu
1) Précisons les coordonnées du point , milieu du segment [
Les points
et
ont pour coordonnées respectives (
(
) telles que :
Finalement, (
].
].
) est le milieu du segment [
].
) et (
) donc
a pour coordonnées
].
2) Déduisons-en une équation cartésienne du plan médiateur du segment [
]. Notons ( ) ce plan.
Rappel : Plan médiateur d’un segment
Soient
et
deux points distincts de l'espace et le milieu du segment [
On appelle plan médiateur du segment [
] le plan perpendiculaire à (
].
) passant par .
Le plan médiateur du segment [ ] est le plan perpendiculaire au segment [
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
) ( )
Ainsi, (
.
Or, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) d’une part et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
Par conséquent,
(
)
] et passant en son milieu.
) d’autre part.
( )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
)
Une équation cartésienne du plan médiateur du segment [
(
] est
)
(
)
.
3) Retrouvons ce résultat par une autre méthode.
Rappel : Plan médiateur d’un segment
Le plan médiateur d’un segment [
] est l'ensemble des points
de l'espace équidistants de
et de .
14
Le plan médiateur du segment [
(
) ( )
(
Or, d’une part,
] est l’ensemble des points de l’espace équidistants des points
(car
)
(
)
(
et
)
et . Ainsi,
désignent deux distances).
(
)
(
)
(
)
.
(
Et, d’autre part,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
.
Par conséquent,
(
)
( )
Une équation cartésienne du plan médiateur du segment [
] est
.
15
L’espace est muni d’un repère (
Niveau : moyen
⃗ ⃗ ⃗⃗ ).
On considère les plans ( ) et ( ) d’équations respectives
1)
2)
3)
4)
et
.
Montrer que les plans ( ) et ( ) sont sécants selon une droite ( ).
Donner une représentation paramétrique de la droite ( ), droite d’intersection des plans ( ) et ( ).
En déduire un vecteur directeur et un point de la droite ( ).
Montrer que la droite ( ) est contenue dans le plan d’équation cartésienne
.
Retour au menu
1) Montrons que les plans ( ) et ( ) sont sécants selon une droite ( ).
D’une part, le plan ( ) a pour équation
, donc le vecteur ⃗⃗ (
) est un vecteur normal au
, donc le vecteur ⃗⃗⃗⃗ (
plan ( ). D’autre part, le plan ( ) a pour équation
) est un
vecteur normal au plan ( ).
Or,
,
(et
). Comme
, les triplets (
) et (
) ne sont pas
proportionnels. Autrement dit, les vecteurs ⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗ ne sont pas colinéaires.
Il vient que les plans ( ) et ( ) sont sécants selon une droite ( ). On note alors ( )
( )
( ).
2) Donnons une représentation paramétrique de la droite ( ), droite d’intersection des plans ( ) et ( ).
(
)
{
( )
(
( )
{
)
{
{
{
{
(
(
)
{
{
{
). Finalement, une représentation paramétrique de la droite d’intersection des
plans ( ) et ( ) est {
(
).
16
3) Donnons un vecteur directeur de la droite ( ) et précisons les coordonnées d’un point de ( ).
Rappel : Représentation paramétrique d’une droite
⃗ ⃗ ⃗⃗ ). Soit ( ) la droite passant par le point (
) et admettant
⃗⃗
le vecteur ⃗⃗ (
⃗⃗ )
pour vecteur directeur.
⃗⃗
Dire qu’un point
(
) appartient à ( ) équivaut à dire qu’il existe un réel tel que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Autrement dit,
(
)
( )
⃗⃗
{
(
⃗⃗
⃗⃗.
). Ce système est appelé représentation
⃗⃗
paramétrique de la droite ( ).
Remarques :
 On note aussi (
⃗⃗) la droite ( ).
 A chaque valeur du paramètre correspond un point et réciproquement.
 Une droite admet une infinité de représentations paramétriques.
D’après la question précédente, une représentation paramétrique de ( ) est {
une représentation paramétrique de ( ) est {
(
(
). Autrement dit,
). Par conséquent, il vient que le vecteur
⃗⃗⃗ ( ) est un vecteur directeur de ( ). Par ailleurs, le point de coordonnées (
) appartient à ( ).
4) Montrons que la droite ( ) est contenue dans le plan d’équation cartésienne
D’après la question précédente,
(
) appartient à la droite ( ) si et seulement si ses coordonnées
(
vérifient le système d’équations paramétriques {
Pour tout point
(
Par conséquent, tout point
) de ( ), on a :
(
.
(
)
(
).
)
.
) de ( ) appartient au plan d’équation
Autrement dit, la droite ( ) est contenue dans le plan d’équation
.
.
17
Niveau : facile
⃗ ⃗ ⃗⃗ ). On considère les plans ( ), ( ) et ( ) d’équations cartésiennes
et
. Déterminer l’intersection de ces
respectives
,
trois plans.
Retour au menu
Déterminons l’intersection des plans ( ), ( ) et ( ).
(
)
{
( )
( )
( )
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
Finalement, l’intersection des plans ( ), ( ) et ( ) est le point de coordonnées (
).
18
Niveau : moyen
L’espace est muni d’un repère orthonormé (
). On désigne par ( ) la droite passant par
le vecteur ⃗⃗ (
passant par
1)
2)
3)
4)
5)
⃗ ⃗ ⃗⃗ ). Soient les points (
) et (
) et soit
et de vecteur directeur ⃗⃗ et par ( ) le plan
et perpendiculaire à ( ).
Donner une représentation paramétrique de la droite ( ).
Donner une équation cartésienne du plan ( ).
Déterminer les coordonnées du point , projeté orthogonal de sur ( ).
En déduire la distance du point au plan ( ).
Retrouver le résultat de la question précédente en utilisant une autre méthode.
Retour au menu
1) Donner une représentation paramétrique de la droite ( ).
( ) est la droite passant par
paramétrique de ( ) est {
(
) et de vecteur directeur ⃗⃗ (
(
) donc une représentation
).
2) Donnons une équation cartésienne du plan ( ).
La droite ( ) est perpendiculaire au plan ( ) donc tout vecteur directeur (non nul) de ( ) est colinéaire à tout
vecteur normal (non nul) à ( ). Or, comme ⃗⃗ est un vecteur directeur de ( ), ⃗⃗ est en particulier un vecteur
normal à ( ). Par conséquent, une équation cartésienne du plan ( ) est
où est un réel
à déterminer.
Par ailleurs, (
alors que ( )
) est un point du plan ( ) donc ses coordonnées vérifient l’équation de ( ). Il vient
, c’est-à-dire
.
Finalement, une équation cartésienne du plan ( ) est
3) Déterminons les coordonnées du point
, projeté orthogonal de
.
sur ( ).
Comme
est le projeté orthogonal de
sur ( ) et comme ( ) est perpendiculaire à ( ),
est le point
d’intersection de la droite ( ) et du plan ( ). Autrement dit, { } ( ) ( ). Les coordonnées de vérifient
donc chacune des équations de ( ) et ( ).
(
)
( )
( )
{
(
)
{
19
{
{
(
)
(
{
)
{
{
Le point
{
sur ( ), a pour coordonnées (
, projeté orthogonal de
4) Déduisons-en la distance du point
Comme
est le projeté orthogonal de
)
√(
√(
)
(
(
)
)
( )
au plan ( ). Notons (
sur ( ), (
(
√(
)
√
√
( )) cette distance.
. Or, on a :
)
(
)
(
)
√
√
au plan ( ) est égale à
La distance du point
( ))
).
.
5) Retrouvons ce résultat en utilisant une formule du cours.
Rappel : Distance d’un point à un plan
⃗ ⃗ ⃗⃗ ).
On munit l’espace d’un repère orthonormé (
Soit ( ) le plan d’équation cartésienne
) un point de l’espace.
un réel) et soit (
au plan ( ), notée (
(
( ))
|
( )), est donnée par :
|
√(
(où , ,
|
(
|
)
√
)
au plan ( ) est égale à
√
|
√
|
|
|
√
√
√
√
.
20
Niveau : moyen
Dans l’espace muni d’un repère ( ⃗ ⃗ ⃗⃗ ), on considère le plan ( ) dont une équation cartésienne est
. Donner une représentation paramétrique du plan ( ).
Retour au menu
Rappel : Représentation paramétrique d’un plan
⃗⃗
⃗⃗ (
⃗⃗ )
⃗ ⃗ ⃗⃗ ). Soit le point (
) et soient les vecteurs non colinéaires
⃗⃗
et ⃗ (
⃗⃗ ).
⃗⃗
⃗⃗
(
) appartient au plan ( ) passant par
dire qu’il existe un couple de réels et tels que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗
Dire qu’un point
(
Autrement dit,
)
( )
{
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
et de vecteurs directeurs ⃗⃗ et ⃗ équivaut à
⃗.
(
). Ce système est appelé
représentation paramétrique du plan ( ).
Remarques :
 On note aussi (
⃗⃗ ⃗ ) le plan ( ).
 A chaque couple de valeurs des paramètres et correspond un point et réciproquement.
 Un plan admet une infinité de représentations paramétriques.
Donnons une représentation paramétrique du plan ( ). Pour cela, cherchons deux vecteurs directeurs non
colinéaires de ( ) et un point de ( ).
Le plan ( ) a pour équation
donc ⃗⃗ (
) est un vecteur normal à ( ). Par conséquent, les
vecteurs ⃗⃗ ( ) et ⃗ ( ) sont deux vecteurs directeurs non colinéaires de ( ). En effet, on a d’une part
(
⃗⃗ ⃗⃗
En outre, le point (
)
(
et d’autre part ⃗⃗ ⃗
)
.
) appartient à ( ). En effet,
.
Par conséquent, pour tous réels et ,
(
)
( )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗
⃗
{
{
(
)
21
Une représentation paramétrique du plan ( ) est {
(
).
22

Equation cartésienne d`un plan – Géométrie dans l`espace

Transcription

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