Lycée Louise MICHEL Terminale ES1 MATHEMATIQUES Exercice

Lycée Louise MICHEL
Terminale ES1
MATHEMATIQUES
Corrigé du devoir surveillé 2
Exercice 1
7 points
1. a. (un ) étant une suite géométrique :
!n
1
3
= n.
pour tout n ∈ N, un = u0 × q = 3 ×
4
4
1
b. On remarque que 0 < < 1 : donc lim un = 3 × 0 = 0.
n→+∞
4
2. a. Pour tout n ∈ N :
1
S n = u0 + u1 + . . . + un
de plus = 0, 25
4
!
1 − qn+1
= u0
1−q
!
1 − 0, 25n+1
=3
1 − 0, 25
3(1 − 0, 25n+1)
=
= 4(1 − 0, 25n+1)
0, 75
n
b. D’après la question précédente :
S 5 = 4(1 − 0, 255+1)
= 3, 9990234375 . . . ≃ 3, 99902
arrondi à 10−5 près
c. À l’aide de la calculatrice, on trouve S 13 = 3, 9999999851 . . . et S 14 = 3, 99999999627 . . .
On en déduit que, à partir du rang 14, S n > 3, 99999999.
3. lim S n = lim 4(1 − 0, 25n+1 ) = 4 × (1 − 0) = 4 car lim 0, 25n+1 = 0 car 0 < 0, 25 < 1.
n→+∞
n→+∞
n→+∞
Exercice 2
6 points
- Partie A -
1. v1
v2
v3
v4
= v0 × 1, 005 + 30 = 1 000 × 1, 005 + 30 = 1 035.
= v1 × 1, 005 + 30 = 1 035 × 1, 005 + 30 = 1 070, 175
= v2 × 1, 005 + 30 = 1 070, 175 × 1, 005 + 30 = 1 105, 525875
= v3 × 1, 005 + 30 = 1 105, 525875 × 1, 005 + 30 = 1 141, 053504 ≃ 1 141, 054 arrondi à 10−3 près.
2. On peut faire fonctionner l’algorithme sous forme d’un tableau :
Étapes
K
S
Initialisation
/
1 000
Étape 1
1
1 005
Étape 2
2
1 010, 025
Étape 3
3
1 015, 075125
Étape 4
4
1 020, 150501
L’algorithme, après quatre étapes, affiche S ≃ 1 020, 151.
1
3.
Entrées
Traitement
:
:
Afficher
:
Deux nombres entiers S et N
Pour K allant de 1 à N
Donner à S la valeur S ×1, 005 + 30
S
- Partie B -
!
5
+ 30 = 1 000 × 1, 005 + 30 = 1 035e.
1. S = 1 000 × 1 +
100
2. La somme obtenue, en une année (12 mois), est calculée en faisant varier K de 1 à 12.
Entrées
Traitement
:
:
Afficher
:
Un nombre entier S
Pour K allant de 1 à 12
Donner à S la valeur S × 1, 005 + 30
S
Exercice 3
8 points
1. a. u1 = 30 000 × 0, 98 + 500 = 29 900m3 .
u2 = 29 900 × 0, 98 + 500 = 29 802m3 .
u3 = 29 802 × 0, 98 + 500 = 29 705, 96m3 .
b. Une baisse de 2% équivaut à une multiplication par 1 −
500 m3 .
Donc, pour tout n ∈ N, un+1 = 0, 98un + 500.
2
= 0, 98. On additionne ensuite la même quantité, soit
100
c. La suite (un ) est définie par une récurrence de la forme un+1 = aun + b avec a et b deux réels non nuls.
(un ) est donc une suite dite aritmético-géométrique.
2. a. Soit vn = un − 25 000.
vn+1 = un+1 − 25 000
= 0, 98un + 500 − 25 000
= 0, 98(vn + 25 000) + 500 − 25 000
= 0, 98vn + 24 500 + 500 − 25 000
= 0, 98vn.
La suite (vn ) est donc clairement une suite géométrique de raison q = 0, 98 et de terme initial v0 = u0 − 25 000 =
30 000 − 25 000 = 5 000.
b. Donc, pour tout n ∈ N, vn = v0 × qn = 5 000 × 0, 98n.
c. On en déduit que, pour tout n ∈ N, un = vn + 25 000 = 5 000 × 0, 98n + 25 000.
d. lim un = lim 5 000 × 0, 98n + 25 000 = 25 000 car lim 0, 98n = 0, en effet 0 < 0, 98 < 1.
n→+∞
n→+∞
n→+∞
3. a. A l’aide de la calculatrice, u45 ≃ 27 014 tandis que u46 = 26 974.
Donc à partir de n = 46, un < 27 000.
b. Ce projet ne réalisera pas les objectifs, car au bout de 46 jours après le 30 juin, soit le 15 août, le volume d’eau du
bassin devient inférieur à 27 000m3 .
2