Pondichéry 2015 Corrigé Exercice 1 commun à tous les candidats

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Pondichéry 2015
Corrigé Exercice 1 commun à tous les candidats
Partie A
QUESTION 1
La fonction f est dérivable comme quotient et composée de fonctions dérivables.
Pour tout x ϵ ℝ, 𝑓 ′ (𝑥) =
−3∗(−2)𝑒 −2𝑥
(1+𝑒 −2𝑥 )²
6𝑒 −2𝑥
𝑓 ′ (𝑥) = (1+𝑒 −2𝑥 )²
(1 + 𝑒 −2𝑥 )2 > 0 car un carré est toujours positif. Donc le signe de la dérivée dépend du signe
du numérateur.
𝑓 ′ (𝑥) > 0
6𝑒 −2𝑥 > 0
 𝑒 −2𝑥 > 0
Or une exponentielle est toujours strictement positive donc la fonction dérivée est strictement
positive pour tout x ϵ ℝ.
La fonction f est croissante sur ℝ
QUESTION 2
Calculons lim 𝑓(𝑥)
𝑥→ +∞
Par composition lim 𝑒 −2𝑥 = 0
𝑥→ +∞
D’où lim 1 + 𝑒 −2𝑥 = 1
𝑥→ +∞
De plus lim 3 = 3
𝑥→ +∞
Par quotient
lim 𝑓(𝑥) = 3
𝑥→ +∞
La droite d’équation y=3, c’est-à-dire ∆, est asymptote à la courbe C.
QUESTION 3
f est une fonction dérivable donc continue sur ℝ
f est strictement croissante sur ℝ
De plus, par composition lim 𝑒 −2𝑥 = +∞
𝑥→ −∞
D’où lim 1 + 𝑒 −2𝑥 = +∞
𝑥→ −∞
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Par passage à l’inverse
lim 𝑓(𝑥) = 0
𝑥→ −∞
Or 2,999 ϵ ]0 ; 3[
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation 𝑓(𝑥) = 2,999 admet une solution
unique notée α.
D’après la calculatrice 4,00 < α < 4,01
PARTIE B
QUESTION 1
D’après la partie A
Pour tout x ϵ ℝ,
𝑓(𝑥) < 3

−𝑓(𝑥) > −3
 3 − 𝑓(𝑥) > 0
 ℎ(𝑥) > 0
h est donc positive sur ℝ
QUESTION 2
H est dérivable comme somme et composée de fonctions dérivables.
Pour tout x ϵ ℝ
3 −2𝑒 −2𝑥
′ (𝑥)
𝐻
=− ∗
2 1 + 𝑒 −2𝑥
3𝑒 −2𝑥
′ (𝑥)
𝐻
=
1 + 𝑒 −2𝑥
Or ℎ(𝑥) = 3 − 𝑓(𝑥)
3
ℎ(𝑥) = 3 −
1 + 𝑒 −2𝑥
3 + 3𝑒 −2𝑥 − 3
ℎ(𝑥) =
1 + 𝑒 −2𝑥
3𝑒 −2𝑥
ℎ(𝑥) =
1 + 𝑒 −2𝑥
Ainsi, 𝐻 ′ (𝑥) = ℎ(𝑥). H est donc une primitive de h
QUESTION 3a
[2]
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𝑎
h est une fonction positive sur [0 ; a]. ∫0 ℎ(𝑥) 𝑑𝑥 représente l’aire (exprimée en unité d’aire)
de la portion du plan délimitée par la courbe Ch, l’axe des abscisses et les droites d’équation x
= 0 et x = a.
De plus, la formule de h permet d’interpréter cette intégrale comme l’aire entre la
droite ∆ et la courbe C, et les droites x=0 et x=a.
QUESTION 3b
𝑎
𝑎
∫0 ℎ(𝑥) 𝑑𝑥 = [𝐻(𝑥)]0
3
3
=− 2 ∗ ln(1 + 𝑒 −2𝑎 ) + 2 ∗ ln(1 + 𝑒 0 )
3
= 2 ∗ (−ln(1 + 𝑒 −2𝑎 ) + ln(2))
3
2
= 2 ∗ ln (1+𝑒 −2𝑎)
QUESTION 3c
𝑎
D correspond à la limite de la fonction ∫0 ℎ(𝑥) 𝑑𝑥 en +∞
lim 1 + 𝑒 −2𝑎 = 1
𝑎→ +∞
Et lim 2= 2
𝑎→ +∞
Par quotient
lim
2
𝑎→ +∞ 1+𝑒 −2𝑎
=2
3
D’où lim
𝑎→ +∞
2
2
3
∗ ln (1+𝑒 −2𝑎 ) = 2 ln(2)
3
Ainsi D = 2 ln(2) u. a.
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