john napier

CHAPITRE
7
Fonction Logarithme
Népérien
John N APIER 1 550-1 617
John N APIER, connu sous le nom francisé de N EPER était un mathématicien écossais,
plus connu a ses débuts pour ses attaques virulentes contre le catholicisme que ses
travaux mathématiques. Ce n’est que peu de temps avant sa mort, qu’en 1614, il mis
au point sa découverte des logarithmes, par une approche cinématique. Cette découverte lui permis de publier la même année une table des logarithmes des sinus d’angles
croissant de minutes en minutes. De telles tables de logarithmes ont été utilisées jusqu’au XX ième siècle avant l’avènement des calculatrices de poche. Des mathématiciens de A à Z.
B. H AUCHECONE et D.S URATTEAU aux éditions ellipses
Sommaire
0
1
Généralités
0.1
Programme de la classe de Première S
0.2
Programme de la classe de Terminale S
Fonction logarithme népérien
1.1
Définitions et premières propriétés
a)
b)
c)
1.2
Propriétés
a)
b)
1.3
a)
2.3
Logarithme népérien d’un produit
Compléments sur les limites et la dérivation
a)
b)
Autres limites
Dérivée de ln(u(x))
Fonction logarithme décimal et applications
a)
b)
c)
d)
294
Tableau de variations
Représentation graphique
Exercice
Propriétés de la fonction logarithme népérien
2.1
Propriétés algébriques
2.2
3
4
5
Sens de variations et conséquences
Limites aux bornes
Tableau de variations et applications
a)
b)
c)
2
Définition
Premières propriétés
Lien graphique entre les fonctions exponentielle et logarithme népérien
Introduction
Définition
Propriétés
Exemples d’interventions
Résumé du cours
Démonstrations du cours
Exercices
Sommaire chapitre 7
Francis C ORTADO
0
Généralités
0 1 Programme de la classe de Première S
Ne figure pas au programme de la classe de Première S
0 2 Programme de la classe de Terminale S
Comme dans les classes précédentes, l’activité mathématique est motivée par la résolution de
problèmes. L’ensemble des fonctions mobilisables est élargi par l’introduction de la fonction logarithme.
L’acquisition d’automatismes de calcul demeure un objectif du programme, cependant, dans le
cadre de la résolution de problèmes, on a recours si besoin à un logiciel de calcul formel ou scientifique.
C ONTENUS
Fonction x 7−→ ln(x)
C APACITÉS ATTENDUES
Connaître le sens de variation,
les limites et la représentation
graphique de la fonction logarithme népérien.
C OMMENTAIRES
On peut introduire la fonction logarithme
népérien grâce aux propriétés de la fonction exponentielle ou à partir de l’équation fonctionnelle.
Relation fonctionnelle,
dérivée.
• Utiliser, pour a réel strictement positif et b réel, l’équivalence
On souligne dans les cadres algébrique
et graphique que les fonctions logarithme népérien et exponentielle sont réciproques l’une de l’autre.
Tout développement théorique sur les
fonctions réciproques est exclu.
On fait le lien entre le nombre dérivé de la
fonction logarithme en 1 et la limite en 0
ln(1 + x)
de
x
On évoque la fonction logarithme décimal pour son utilité dans les autres disciplines.
[SI] Gain lié à une fonction de transfert.
[SPC] Intensité sonore, magnitude d’un
séisme, échelle des pH.
Équations fonctionnelles.
ln a = b ⇐⇒ a = eb
• Utiliser la relation fonctionnelle pour transformer une
écriture.
• Connaître et exploiter
lim
x→+∞
Francis C ORTADO
ln x
=0
x
Sommaire chapitre 7
295
1
Fonction logarithme népérien
1 1 Définitions et premières propriétés
a) Définition
On a vu dans le chapitre V, que pour tout réel k strictement positif l’équation ex = k admet
une solution unique appelée logarithme népérien de k et notée ln(k).
Cette correspondance qui à k > 0 associe ce nombre réel est appelée fonction logarithme népérien.
y
y = exp(x)
y =k
1
0
Définition 1
ln(k)
1
x
On appelle fonction logarithme népérien, la fonction notée "ln" qui à x strictement positif
associe l’unique solution de l’équation
ey = x
Remarque.
L’adjectif "népérien" vient du nom du mathématicien anglais John N APIER (1550 − 1617)
La fonction logarithme népérien permet donc de déterminer l’antécédent d’un réel strictement positif pour la fonction exponentielle.
On dit que les fonctions exponentielle et logarithme népérien sont réciproques.
Exemple.
Puisque e0 = 1 on a ln(1) = 0, et de même puisque e1 = e il vient ln(e) = 1
De la définition il résulte les propriétés suivantes vues lors de l’étude de la fonction exponentielle.
296
Sommaire chapitre 7
Francis C ORTADO
b) Premières propriétés
Soient a et b deux réels strictement positifs et soit k un réel quelconque.
a. Le domaine de définition de la fonction ln est l’intervalle ]0, +∞[
Propriété 1
b. ln(a) = k ⇔ a = ek
c. ln(a) = ln(b) ⇔ a = b
d. ln(a) > k ⇔ a > ek
e. ln(a) > ln(b) ⇔ a > b
Comme lors de l’étude de la fonction exponentielle, ces propriétés vont nous permettre de
résoudre des équations ou inéquations.
Exercice 1
Résoudre dans R les équations ou inéquations suivantes
1. ln(x) = 5 ; ln(2x + 1) = 3 ; ln2 (x) + ln(x) − 2 = 0
2. ln(x) < 3 ;
ln(2 − x) > 3 ;
ln(−2x + 7) 6 −1
Solution
1.
• Pour x > 0, ln x = 5 ⇐⇒ x = e5
1
e3 −1
• Pour x > − , ln(2x + 1) = 3 ⇐⇒ 2x + 1 = e3 ⇐⇒ x =
2
2
• Pour x > 0, ln2 (x) + ln(x) − 2 = 0 ⇐⇒ X2 + X − 2 = 0 avec X = ln x.
Cette dernière équation admet comme solution X1 = 1 et X2 = −2, ce qui donne
ln x = 1 ou
ln x = −2 ⇐⇒ x = e
ou x = e−2
2.
• Pour x > 0, ln x < 3 ⇐⇒ x < e3 .
¤
£
L’ensemble des solutions est donc l’intervalle 0, e3
• Pour x < 2, ln(2 − x) < 3 ⇐⇒ 2 − x < e3 ⇐⇒ ¤x > 2 − e3£.
L’ensemble des solutions est donc l’intervalle 2 − e3 , 2
e−1 −7
7
.
• Pour x 6 , ln(−2x + 7) 6 −1 ⇐⇒ −2x + 7 6 e−1 ⇐⇒ x > −
2
2
· −1
·
e −7 7
L’ensemble des solutions est donc l’intervalle −
,
2
2
La propriété 1 b. admet la conséquence immédiate suivante, également rencontrée lors de
l’étude de la fonction exponentielle
a. Soit x un réel strictement positif
eln(x) = x
Conséquences 1
b. Soit x un réel quelconque
¡ ¢
ln ex = x
Francis C ORTADO
Sommaire chapitre 7
297
c) Lien graphique entre les fonctions exponentielle et logarithme népérien
y
y = exp(x)
M(a, b)
1
y = ln(x)
N(b, a)
0
x
1
Considérons un point M(a, b) appartenant à la courbe (Cexp ), représentative de la fonction
exponentielle.
Ses coordonnées vérifient l’équation de cette courbe y = exp(x), d’où
b = exp(a)
On en déduit que
a = ln(b)
ce qui signifie que le point N(b, a) appartient à la courbe (Cln ), d’équation y = ln(x) représentative
de la fonction logarithme népérien.
On constate graphiquement que ces points M(a, b) et N(b, a) sont symétriques par rapport à la
droite (∆) d’équation y = x.
On conclut alors que les courbes (Cexp ) et (Cln ) sont symétriques l’une de l’autre par la symétrie
axiale d’axe la droite (∆) d’équation y = x
Propriété 2
Les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite (∆) d’équation y = x
Remarque.
Ce résultat peut se généraliser aux courbes représentatives de deux fonctions réciproques :
De cette représentation graphique, nous allons obtenir un certain nombre propriétés
1 2 Propriétés
a) Sens de variations et conséquences
Sens de variation et dérivabilité.
Propriété 3
• La fonction logarithme népérien est croissante sur ]0, +∞[.
• La fonction logarithme népérien est dérivable et donc continue sur ]0, +∞[.
298
Sommaire chapitre 7
Francis C ORTADO
Démonstration.
• En effet, dans la symétrie d’axe la droite (∆) d’équation y = x, « l’allure de la courbe » se
conserve.
Ce résultat sera prouvé d’une autre manière par la suite.
• La courbe représentative de la fonction exponentielle admet une tangente en chacun de ses
points dont aucune n’est horizontale.
Par symétrie axiale, la courbe représentative de la fonction logarithme népérien admet une
tangente en chacun de ses points dont aucune n’est verticale.
Il s’ensuit que la fonction logarithme népérien est dérivable (et donc continue) sur son domaine.
Le fait que cette fonction soit dérivable va nous permettre de calculer sa fonction dérivée.
La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0, +∞[, avec
Propriété 4
¡
¢0 1
ln(x) =
x
Démonstration.
Nous savons que
exp (ln x) = x
(1)
Or les deux fonctions exp et ln sont dérivables sur ]0, +∞[, nous pouvons donc dériver membre à
membre l’égalité (1), il vient
¡
¢0
exp (ln x) = 1 (2)
D’après la formule
exp (u (x))0 = u 0 (x) × exp(u(x)
Nous obtenons
¡
¢0
exp (ln x) = (ln x)0 × exp (ln x)
L’égalité (2) devient donc
(ln x)0 × exp (ln x) = 1
Or
exp (ln x) = x
D’où
(ln x)0 × x = 1
Et donc
¡
¢0 1
ln x =
x
Remarque.
1
• Comme x est strictement positif, il s’ensuit que est également strictement positif et donc
x
¡
¢0
que ln x aussi.
On retrouve ainsi le fait que la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur son
domaine.
Francis C ORTADO
Sommaire chapitre 7
299
• On peut prouver directement que la fonction logarithme népérien est dérivable en tout point
de son domaine.
Exercice 2
Montrer que la fonction logarithme népérien est dérivable en un point a > 0 de son domaine et
déterminer ln0 (a)
Solution
On détermine le taux de variations de la fonction logarithme népérien entre deux points a et
b distincts de son domaine.
ln(x) − ln(a)
T=
x −a
Comme a et x sont strictement positifs, on peut poser
a = exp(A) et x = exp(X)
et donc
A = ln(a) et X = ln(x)
D’où
T=
X−A
exp(X) − exp(A)
Et donc
1
T
=
La fonction exponentielle étant dérivable,
lim T =
X →A
exp(X) − exp(A)
X−A
1
T
tend vers exp0 (A) lorsque X tend vers A, d’où
1
1
1
=
=
exp0 (A) exp(A) a
Or dire que X tend vers A signifie que ln(x) tend vers ln(a) et donc que x tend vers a.
En effet, la fonction exponentielle étant continue, si ln(x) tend vers ln(a), on aura exp(ln(x)) qui
tendra vers exp(ln(a)) et donc x tend vers a.
D’où
1
lim T = lim T =
x→a
a
X →A
Ce qui signifie que la fonction logarithme népérien est dérivable en a avec ln0 (a) =
Graphiquement, on constate également que
lim ln(x) = +∞ et que
x→+∞
1
a
lim ln(x) = −∞
x→0
Mais nous pouvons établir ces résultats directement à partir des propriétés de la fonction exponentielle.
b) Limites aux bornes
lim ln(x) = +∞ et
Propriété 5
x→+∞
lim ln(x) = −∞
x→0
Démonstration.
300
Sommaire chapitre 7
Francis C ORTADO
• Démontrons que lim ln(x) = +∞ à partir de la définition d’une limite égale à +∞ en +∞.
x→+∞
Soit un réel A > 0 aussi grand que l’on veut, peut-on rendre ln x > A ?
Supposons que x > eA , alors par croissance de la fonction logarithme népérien, nous obtenons
¡ ¢
ln x > ln eA
Soit
ln x > A
On peut donc rendre ln x aussi grand que l’on veut à condition de prendre x suffisamment
grand.Ce qui signifie que lim ln(x) = +∞.
x→+∞
• Démontrons que lim ln(x) = −∞.
x→0
Considérons un réel B, aussi grand que l’on souhaite en valeur absolue, mais négatif.
Déterminons un réel strictement positif α tel que
Si 0 < x < α alors
ln(x) < B
Supposons que
x < eB
Alors par croissance de la fonction logarithme népérien, nous aurons
¡ ¢
ln x < ln eB
Soit
ln x < B
On peut donc rendre ln(x) plus petit que n’importe quel réel négatif B, à condition de prendre
x suffisamment petit (c’est à dire entre 0 et eB )
Ceci se traduit par
lim ln(x) = −∞
x→0
On proposera ultérieurement une démonstration de ce résultat à partir des propriétés de la fonction logarithme népérien.
1 3 Tableau de variations et applications
a) Tableau de variations
Des propriétés 3 et 5 on déduit le tableau de variations suivant de la fonction logarithme népérien
x
+∞
0
ln0 (x)
ln(x)
Francis C ORTADO
+
+∞
−∞
Sommaire chapitre 7
301
Ce tableau nous redonne le fait, déjà constaté graphiquement, que la fonction logarithme népérien s’annule une seule fois sur l’intervalle ]0, +∞[.
Il permet également d’en déduire son signe :
Signe de la fonction logarithme népérien.
x
0
+∞
1
−
ln(x)
0
+
Propriété 6
Soit
ln(x) > 0 ⇐⇒ x > 1
ln(x) < 0 ⇐⇒ x < 1
ln(x) = 0 ⇐⇒ x = 1
b) Représentation graphique
Précisons la représentation graphique obtenue à la section 1.1 c) en déterminant la tangente
T à la courbe (Cln ) au point d’abscisse 1.
Comme ln(1) = 0 et que ln0 (1) =
1
= 1, cette droite a donc pour équation
1
T : y = x −1
Cette droite est la symétrique par rapport à la première bissectrice (∆) de la tangente T 0 à la courbe
(Cexp ) au point d’abscisse 0.
Puisque T 0 est toujours au dessous de la courbe (Cexp ), par symétrie d’axe (∆), T sera toujours au
dessus de la courbe (Cln ). Donc, pour tout x ∈ ]0, +∞[, on a
ln(x) 6 x − 1
On obtient ainsi la représentation graphique suivante.
T
1
0
y = ln(x)
1
On peut prouver directement l’inégalité précédente :
302
Sommaire chapitre 7
Francis C ORTADO
c) Exercice
Exercice 3
En étudiant les variations d’une fonction convenablement choisie, montrer que, pour tout réel x
strictement positif, on a
ln(x) 6 x − 1
Solution
Considérons la fonction φ définie sur ]0, +∞[ par
φ(x) = x − 1 − ln(x)
Cette fonction est dérivable sur ]0, +∞[ avec
φ0 (x) = 1 −
1 x −1
=
x
x
Puisque x > 0, φ0 (x) est du signe de x − 1. De plus comme
φ(1) = 1 − 1 − ln(1) = 0
on en déduit donc le tableau de variations suivant.
x
0
+∞
1
φ0 (x)
−
+
0
φ(x)
0
On en déduit, que φ(x) est toujours positif et donc, pour tout x > 0, on a
x − 1 > ln(x)
2
ou encore
ln(x) 6 x − 1
Propriétés de la fonction logarithme népérien
2 1 Propriétés algébriques
Nous avons vu que la fonction exponentielle transforme une somme de deux nombres réels
en un produit de deux nombres réels strictement positifs.
Par réciprocité entre les deux fonctions logarithme népérien et exponentielle, nous allons étudier
l’influence du logarithme népérien sur un produit de deux réels strictement positifs.
a) Logarithme népérien d’un produit
Soient a et b deux réel strictement positifs, alors
Propriété 7
ln (a × b) = ln(a) + ln(b)
Remarque.
Francis C ORTADO
Sommaire chapitre 7
303
Il est nécessaire que a et b soient strictement positifs. En effet, s’ils sont strictement négatifs
tous les deux, on pourra calculer ln (a × b) car a × b sera alors strictement positif.
Mais alors, ni ln(a) ni ln(b) ne seront définis.
Démonstration.
Soient a et b deux réel strictement positifs, d’après la conséquence 1.a, nous pouvons écrire
que
a = eln(a)
b = eln(b)
ainsi que
D’où
a × b = eln(a) × eln(b)
= eln(a)+ln(b)
Ce qui signifie que
ln (a × b) = ln(a) + ln(b)
Remarque.
Il est possible de donner une démonstration de cette propriété sans recourir à la fonction exponentielle, en utilisant uniquement le fait que
¡
¢0 1
ln(x) =
x
et
ln(1) = 0
Soit a un nombre réel fixé, considérons la fonction φ qui a tout x strictement positif associe le réel
φ(x) = ln(ax)
φ est une fonction dérivable sur ]0, +∞[ de la forme g (ax), sa dérivée est donc
φ0 (x) = a × ln0 (ax) =
a
1
= = (ln(x))0
ax x
Soit
¡
¢0
φ(x) − ln(x) = 0
ce qui signifie que la fonction
x 7−→ φ(x) − ln(x)
est constante sur l’intervalle ]0, +∞[, d’où pour tout x ∈]0, +∞[
φ(x) − ln(x) = φ(1) − ln(1) = ln(a)
soit
ln(ax) − ln(x) = ln(a)
ou encore
ln(ax) = ln(x) + ln(a)
Ce résultat étant vrai quel que soit x strictement positif, on en déduit que pour tout réel strictement positifs a et b, on a
ln(ab) = ln(a) + ln(b)
Cette propriété fondamentale admet les conséquences suivantes.
304
Sommaire chapitre 7
Francis C ORTADO
Conséquences 2
Soient a et b deux réels strictement positifs et p un entier relatif.
³a´
a. ln
= ln(a) − ln(b)
b
µ ¶
1
b. ln
= − ln(b)
b
c. ln (a p ) = p ln(a)
¡p ¢ 1
d. ln a = ln(a)
2
Démonstration.
³
a´
a. Calculons de deux façons ln b × .
b
D’une part
³
a´
ln b ×
= ln (a)
b
D’autre part
³
³a´
a´
ln b ×
= ln(b) + ln
b
b
D’où
ln(a) = ln(b) + ln
soit
ln(a) − ln(b) = ln
Ou encore
ln
³a´
b
³a´
b
³a´
b
= ln(a) − ln(b)
b. En prenant a = 1 dans le résultat précédent, on obtient
ln
µ ¶
1
= ln(1) − ln(b)
b
Or ln(1) = 0 et donc
ln
µ ¶
1
= − ln(b)
b
c. Supposons que p soit positif, et montrons par récurrence que, pour tout entier naturel p
¡ ¢
ln a p = p ln(a)
C’est vrai pour
¡ ¢p = 0.
En effet, ln a 0 = ln(1) = 0 et 0 × ln(a) = 0
Supposons que la propriété soit vraie au rang p, c’est à dire supposons que ln (a p ) = p ln(a),
alors
¡
¢
¡
¢
ln a p+1 = ln a p × a
¡ p¢
= ln a + ln(a)
= p ln(a) + ln(a)
= (p + 1) ln(a)
Francis C ORTADO
Sommaire chapitre 7
305
Ce qui signifie que la propriété est vrai au rang p + 1.
La propriété est donc vraie pour tout entier naturel p.
Supposons que p soit négatif, posons alors p = −n où n est un entier naturel.
¡ ¢
¡
¢
ln a p = ln a −n
µ ¶
1
= ln n
a
¡ ¢
= − ln a n
d’après .b
d’après .a car − n est positif
= −n ln (a)
= p ln(a)
En conclusion, cette propriété est vraie pour tout entier relatif p.
d. D’une part
ln
D’autre part
ln
¡p
¡p
p ¢
a × a = ln(a)
¡p ¢
¡p ¢
¡p ¢
p ¢
a × a = ln a + ln a = 2 ln a
Et donc
ln(a) = 2 ln
Soit
ln
¡p ¢
a
¡p ¢ 1
a = ln(a)
2
Ces propriétés permettent de transformer et de simplifier des expressions contenant des logarithmes népériens.
Exercice 4
Exprimer les nombres réels suivants en fonction de ln(2) et de ln(3)
Ãp !
à p !
µ
¶
2
3
8 2
; C = ln
+ ln p
A = ln(18) ; B = ln
9
2
2
Solution
¡
¢
¡ ¢
• A = ln 32 × 2 = ln 32 + ln(2) = 2 ln(3) + ln(2)
à p !
¡ p ¢
¡p ¢
8 2
1
7
• B = ln
= ln 8 2 − ln(9) = ln(8) + ln 2 − ln(9) = 3 ln 2 + ln 2 − 2 ln 3 = ln 2 − 2 ln 3
9
2
2
Ãp !
Ãp
!
µ
¶
µ ¶
2
1
2
3
3
• C = ln
+ ln p = ln
× p = ln
= ln 3 − ln 2
2
2
2
2
2
Exercice 5
Résoudre dans R l’équation
ln(2x − 1) + ln(2x + 1) = ln(x + 2)
Solution
L’idée consiste à ramener cette équation sous la forme
ln(A) = ln(B)
306
Sommaire chapitre 7
Francis C ORTADO
en utilisant la propriété
ln(a) + ln(b) = ln(ab)
Cependant, comme il l’a été précédemment rappelé, il faut que a et b soient simultanément strictement positifs pour pouvoir appliquer cette propriété.
Il faut donc, avant toute transformation d’écritures, déterminer le domaine D de validité de cette
équation.
x ∈ D ⇐⇒ 2x − 1 > 0 et 2x + 1 > 0 et x + 2 > 0
Ce qui donne
x>
1
2
et x > −
Soit en définitive
x>
1
2
et x > −2
1
2
1
Supposons donc que x > , il vient
2
¡
¢
ln(2x − 1) + ln(2x + 1) = ln(x + 2) ⇐⇒ ln (2x − 1)(2x + 1) = ln(x + 2)
¡
¢
⇐⇒ ln 4x 2 − 1 = ln(x + 2)
⇐⇒ 4x 2 − 1 = x + 2
⇐⇒ 4x 2 − x − 3 = 0
Équation du second degré qui admet comme solution dans R, x = 1 ou x = −
3
4
1
Or nous avons supposé que x > , la seconde solution est donc à rejeter, en conclusion :
2
x =1
2 2 Compléments sur les limites et la dérivation
a) Autres limites
Démontrons les trois résultats complémentaires suivants
a.
Théorème 1
lim
x→+∞
ln x
=0
x
b. lim x ln x = 0
x→0+
c. lim
x→0
ln(1 + x)
=1
x
Démonstration.
ln x
X
= X
x
e
Or lorsque x tend vers +∞, X = ln x tend également vers +∞, donc
a. Posons x = eX ou encore X = ln x, et donc
lim
x→+∞
ln x
X
= lim X
x
X→+∞ e
Or nous savons que
lim
X→+∞
Francis C ORTADO
Sommaire chapitre 7
eX
X
= +∞
307
Donc
lim
X
X→+∞ eX
D’où
lim
x→+∞
b. Posons x =
1
X
et donc X =
lim x ln x = lim −
µ
1
× ln
X
¶
1
=−
X
1
X
× ln(X) = −
ln(X)
X
1
tend vers +∞, et donc
x
Or lorsque x tend vers 0+ , X =
X→+∞
ln x
=0
x
1
, d’où
x
x ln x =
x→0+
=0
ln(X)
ln(X)
= − lim
X
X→+∞
X
= −0 d’après le résultat précédent.
En conclusion
lim x ln x = 0
x→0+
ln(1 + x)
= lim T, où T est le taux de variations de la fonction ln en 1.
x→0
x
1
La fonction ln étant dérivable en 1 de nombre dérivée ln0 (1) = = 1, il s’ensuit que
1
c. lim
x→0
lim
x→0
ln(1 + x)
=1
x
Exercice 6
Déterminer les limites des fonctions suivantes au point indiqué.
µ
¶
x +1
ln(x 2 − 1)
1. f (x) = x ln x − x 2 en +∞ ; g (x) = ln
en +∞ ; h(x) =
en +∞
x −1
x +1
2. f (x) =
ln(1 + 3x)
en 0
x
; g (x) =
ln(1 + x)
en 0
sin x
Solution
1.
• On factorise par x 2 , il vient f (x) = x 2
µ
ln x
−1
x
Or
lim
x→+∞
d’où
lim
x→+∞
et
lim f (x) = lim x
x→+∞
x→+∞
• Comme
lim
x→+∞
2
¶
ln x
=0
x
ln x
− 1 = −1
x
µ
¶
ln x
− 1 = lim − x 2 = −∞
x→+∞
x
x +1
x
= lim
=1
x→+∞
x −1
x
Il vient que
lim g (x) = lim ln(1) = 0
x→+∞
308
Sommaire chapitre 7
x→+∞
Francis C ORTADO
• On factorise par x 2 au numérateur et par x au dénominateur, il vient
µ
¶
¶
¶
µ
³ µ
¡ ¢
1
1 ´
1
ln x 2 + ln 1 − 2
ln x 2 1 − 2
ln 1 − 2
ln x
1
x
x
x
µ
¶
µ
¶
¶
=
=2
h(x) =
×
+ µ
1
1
1
1
x
1+
x 1+
x 1+
x 1+
x
x
x
x
Or
ln x
lim
=0 ;
x→+∞ x
lim
x→+∞
1
1+
1
x
µ
¶
1
lim ln 1 − 2 = ln 1 = 0 et
x→+∞
x
=1 ;
et donc
µ
¶
1
lim x 1 +
= +∞
x→+∞
x
¶
µ
1
ln 1 − 2
x
µ
¶ =0
lim
x→+∞
1
x 1+
x
En conclusion
lim h(x) = 0
x→+∞
2.
• On pose X = 3x, il vient
f (x) = 3
¡
¢
ln 1 + X
ln (1 + 3x)
=3
3x
X
Or nous savons que
lim
x→0
ln(1 + x)
=1
x
d’où
lim f (x) = 3 × lim
x→0
X→0
•
g (x) =
Or
lim
x→0
¡
¢
ln 1 + X
X
=3
ln(1 + x)
x
×
x
sin x
ln(1 + x)
= 1 et
x
D’où
lim g (x) = 1 ×
x→0
lim
x→0
sin x
=1
x
1
=1
1
b) Dérivée de ln(u(x))
Propriété 8
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I de R
Alors la fonction
x 7→ ln (u (x))
est dérivable sur I avec
³
´0 u 0 (x)
ln (u (x)) =
u(x)
Démonstration.
Supposons que cette fonction soit dérivable et calculons de deux façons la dérivée de
³
´
exp ln (u (x))
Francis C ORTADO
Sommaire chapitre 7
309
D’une part, de façon évidente :
h
³
´i0
exp ln (u (x)) = (u (x))0
D’autre part :
h
³
´i0 ³
´0
³
´ ³
´0
exp ln (u (x)) = ln (u (x)) × exp ln (u (x)) = ln (u (x)) × u(x)
D’où
³
´0
(u (x))0 = ln (u (x)) × u(x)
et donc
³
´0 (u (x))0
ln (u (x)) =
u(x)
Remarque.
On peut également démontrer ce théorème à partir du résultat (hors programme) que l’on a
obtenu en généralisant certaines formules de dérivation, à savoir :
£
¤0
v (u (x)) = u 0 (x) × v 0 (u(x))
En prenant pour v la fonction ln
Exemple.
• Si f (x) = ln(x + 1) alors f 0 (x) =
1
x +1
• Si f (x) = ln(2x − 3) alors f 0 (x) =
2
2x − 3
; g (x) = ln(−x) alors g 0 (x) =
−1 1
=
−x x
; g (x) = ln(2 − 5x) alors g 0 (x) =
−5
2 − 5x
Exercice 7
Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes.
¡
¢
¡
¢
¢
¡p
1. f (x) = x 2 ln 2 − x ; g (x) = ln 1 + ex
; h(x) = ln x − 1
¡
¢
2. f (x) = ln cos x ;
g (x) =
ln x − 2
ln x + 1
Solution
¡
¢
¡
¢
−1
x2
1. f 0 (x) = 2x ln 2 − x + x 2 ×
= 2x ln 2 − x −
2−x
2−x
g 0 (x) =
ex
1 + ex
On sait que h(x) =
2. f 0 (x) =
¢
1 ¡
1
1
1
ln x − 1 d’où h 0 (x) = ×
=
2
2 x − 1 2(x − 1)
− sin x
= − tan x
cos x
¢ ¡
¢1
1¡
ln x + 1 − ln x − 2
3
x =
g 0 (x) = x
¡
¢2
x(ln x + 1)2
ln x + 1
310
Sommaire chapitre 7
Francis C ORTADO
2 3 Fonction logarithme décimal et applications
a) Introduction
Si l’on cherche un entier naturel n tel que 10n = 1000, la réponse est évidente : n = 3
Si l’on cherche un nombre réel x tel que ex = 2, la réponse est également évidente : x = ln(2).
Maintenant, peut-on trouver un nombre réel x tel que 10x = 2 ? Dans ce cas la réponse est moins
évidente à priori.
Si à la place de 10 nous avions pris e, la réponse aurait fait intervenir la fonction ln. L’idée consiste
à voir si il est possible d’utiliser la fonction ln avec le nombre 10, puisque
10x = 2
on a
¢
¡
ln 10x = ln(2)
Soit
x ln(10) = ln(2)
et donc
ln(2)
ln(10)
Nous avons donc réussi à exprimer simplement x en fonction de ln(2) et ln(10).
Seulement pour arriver à ce résultat, nous avons du utiliser la propriété
¡ ¢
ln a p = p ln a
x=
pour un exposant x réel alors qu’elle n’est valable que pour un exposant p entier relatif.
Nous ne savons pas si cette « manipulation » est licite, mais elle aboutit à un résultat mathématiquement correct.
On convient alors d’attribuer à x la valeur obtenue par cette « manipulation ».
Par définition, ce résultat est appelé logarithme décimal de 2
b) Définition
On appelle fonction logarithme décimal, la fonction notée log et définie sur ]0, +∞[, par
Définition 2
log(x) =
ln x
ln 10
Exemple.
log(2) =
ln(2)
w 0,301, et en particulier :
ln(10)
log(1) =
ln(1)
= 0 et
ln(10)
log(10) =
ln(10)
=1
ln(10)
Remarque.
Le résultat log(10) = 1 est à l’origine de l’appellation « logarithme décimal » ou « logarithme de
base dix ».
Dans le cas de la fonction logarithme népérien nous aurions eu ln(e) = 1, c’est pour cela que la
fonction logarithme népérien est aussi qualifié de « fonction logarithme de base e ».
Il est possible de généraliser cette définition pour d’autres bases, par exemple deux.
On obtient alors une « fonction logarithme de base deux » définie par
log2 (x) =
Francis C ORTADO
Sommaire chapitre 7
ln(x)
ln(2)
311
c) Propriétés
Les fonctions logarithme népérien et logarithme décimal sont proportionnelles.
Le coefficient de proportionnalité étant
Propriété 9
1
ln(10)
M=
Ce résultat est évident à partir de la définition 2, mais il n’en est pas moins essentiel, car il
permet de prouver que :
Propriété 10
Les fonctions logarithme népérien et logarithme décimal possèdent les mêmes propriétés.
En particulier, pour tout réel strictement positif a et b.
³a´
= log(a) − log(b)
a. log(a × b) = log(a) + log(b) ; log
b
µ ¶
1
b. log
= − log(b) ; log(a p ) = p log(a)
b
1
1
c. La fonction log est croissante sur ]0, +∞[ et dérivable avec log0 (x) =
×
ln(10) x
d. lim log(x) = +∞ ; lim = −∞
x→+∞
x→0+
Démonstration.
Démontrons, par exemple le premier résultat
log(a × b) =
ln(a × b)
ln(10)
=
ln(a) + ln(b)
ln(10)
=
ln(a)
ln(b)
+
ln(10) ln(10)
= log(a) + log(b)
Exemple.
¡
¢
log(100) = log 102 = 2 log(10) = 2 ;
¡
¢
log 10−14 = −14 log(10) = −14
Remarque.
D’une façon générale, la propriété
log(a p ) = p log(a)
s’écrit pour a = 10
log(10p ) = p log(10) = p
On convient de généraliser ce résultat pour un exposant réel quelconque, en posant
log(10x ) = x log(10) = x
Cette égalité définie en fait une nouvelle fonction x 7→ 10x qui joue le rôle de la fonction exponentielle pour la fonction logarithme népérien. Elle est appelée fonction « exponentielle de base
dix »
312
Sommaire chapitre 7
Francis C ORTADO
y = ln(x)
C
b
1
y = log(x)
B
b
b
1
−1
2
AB =
A
3
4
AC
ln(10)
−2
d) Exemples d’interventions
La fonction logarithme décimal intervient dans de nombreux domaines :chimie, acoustique,
astronomie, écologie etc...
Exercice 8
L’equilibre qui existe entre l’eau et les ions produits par autoprotolyse peut être décrit par la relation suivante :
£
¤
Ke = H3 O+ [OH− ]
£
¤
où H3 O+ désigne la concentration (en mol.L−1 ) d’ions H3 O+ et [OH− ] celle en ions OH− .
Ke est une constante appelée produit ionique de l’eau qui dépend de la température.
À 25°C elle a pour valeur Ke = 10−14 . L’acidité d’une solution est mesurée par son pH qui vaut par
définition
¡£
¤¢
pH = − log H3 O+
1. Dans une eau pure à 25°C, il y a autant d’ions H3 O+ que OH− .
En déduire le pH de l’eau pure à 25°C.
2. Une solution est dite acide si elle contient plus d’ions H3 O+ que OH− .
Dans quel intervalle son pH varie-t-il ?
3. Une solution aqueuse a un pH de 8,1, quelle est sa concentration en ions OH− ?
Exercice 9
La magnitude M d’un séisme sur l’échelle de R ICHTER est évaluée à partir de l’amplitude A des
ondes sismiques enregistrées sur un sismographe par la formule
¶
µ
A
M = log
= log A − log A0
A0
Où A0 désigne l’amplitude d’un séisme de référence.
1. a) On a mesuré l’amplitude du séisme du 13 janvier 2001 au Salvador et on a obtenu
A = 3,97.107 A0
Calculer l’amplitude de ce séisme sur l’échelle de R ICHTER.
b) La magnitude d’un séisme est de 5. Déterminer le rapport
de référence.
Francis C ORTADO
Sommaire chapitre 7
A
de son amplitude à l’amplitude
A0
313
c) Quelle variation d’amplitude correspond à une variation de magnitude 1 sur l’échelle de
R ICHTER ?
2. a) L’énergie E (en Joules) libérée au foyer du séisme est liée à la magnitude par la relation
log E = a + b M
Calculer a et b sachant qu’un séisme de magnitude 8 met en jeu environ 30 000 fois plus d’énergie
qu’un séisme de magnitude 5, lui même libérant une énergie de 0,2.1020 J.
b) Le 22 mai de 1960 à Valvidia au Chili a été enregistré un séisme de magnitude 9,5.
Quelle a été l’énergie libérée à son foyer ?
Comparer avec l’énergie libérée par la bombe atomique qui a explosé à Hiroshima le 6 aout 1 945
314
Sommaire chapitre 7
Francis C ORTADO
Résumé du cours
Fonction logarithme népérien
Définition 1
On appelle fonction logarithme népérien, la fonction notée "ln" qui à x strictement positif
associe l’unique solution de l’équation
ey = x
Soient a et b deux réels strictement positifs et soit k un réel quelconque.
a. Le domaine de définition de la fonction ln est l’intervalle ]0, +∞[
b. ln(a) = k ⇔ a = ek
c. ln(a) > k ⇔ a > e
Propriété 1
k
et
ln(a) = ln(b) ⇔ a = b
et
ln(a) > ln(b) ⇔ a > b
d. Soit x un réel strictement positif
eln(x) = x
e. Soit x un réel quelconque
¡ ¢
ln ex = x
Propriété 2
Les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite (∆) d’équation y = x
Dérivabilité, sens de variation, et limites.
¡
¢0 1
• La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0, +∞[, avec ln(x) =
x
• La fonction logarithme népérien est croissante sur ]0, +∞[.
Propriété 3
•
•
lim ln(x) = +∞ et
x→+∞
lim
x→+∞
• lim
x→0
Francis C ORTADO
ln x
= 0 et
x
lim ln(x) = −∞
x→0
lim x ln x = 0
x→0+
ln(1 + x)
=1
x
Sommaire chapitre 7
315
Tableau de variations et de signes
x
+∞
0
ln0 (x)
Propriété 4
+
+∞
ln(x)
x
−∞
0
−
ln(x)
0
+
T
1
0
+∞
1
y = ln(x)
1
Soient a et b deux réel strictement positifs et p un entier relatif.
Propriété 5
Propriété 6
a. ln (a × b) = ln(a) + ln(b)
µ ¶
³a´
1
b. ln
= ln(a) − ln(b) et ln
= − ln(b)
b
b
¡p ¢ 1
c. ln (a p ) = p ln(a) et ln a = ln(a)
2
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I de R
Alors la fonction
x 7→ ln (u (x))
est dérivable sur I avec
³
316
´0 u 0 (x)
ln (u (x)) =
u(x)
Sommaire chapitre 7
Francis C ORTADO
Fonction logarithme décimal
On appelle fonction logarithme décimal, la fonction notée log et définie sur ]0, +∞[, par
Définition 2
log(x) =
Propriété 7
Pour tout réel strictement positif a et b, et tout entier relatif p.
³a´
= log(a) − log(b)
a. log(a × b) = log(a) + log(b) ; log
b
µ ¶
1
b. log
= − log(b) ; log(a p ) = p log(a)
b
c. La fonction log est croissante sur ]0, +∞[ et dérivable avec
log0 (x) =
d.
Francis C ORTADO
ln x
ln 10
lim log(x) = +∞ ;
x→+∞
1
1
×
ln(10) x
lim = −∞
x→0+
Sommaire chapitre 7
317
Démonstrations du cours
318
Sommaire chapitre 7
Francis C ORTADO
Exercices
1 Simplifiez - si c’est possible - les expressions suivantes
1. (ln x)3 ln(x 3 ) ln(3x) 3 ln(x) ln(x + 2) ln x + ln 2
ln x
ln 3
2.
;
; ln(e3 ln 2 )
3n
ln 2 p
p ¢
¡
3. ln(e5 ) ; ln( 5) + ln( 15 ) ; exp ln(3 + 2)
µ ¶
8
; ln 625 ; ln(106 ) ; ln 0, 08
4. ln
25 p
ln 12 − 2 ln 3 + ln 20
2 Résoudre dans R les équations ou inéquations suivantes.
1. ln x = 3 ; ln(3x − 1) = 5
ln x + ln(x − 7) = ln 2 ; ln(x 2 + 4x + 3) = ln(x + 7)
2. (ln x)2 − 4 ln x + 3 = 0 ; ln(x + 1) 6 ln 3
ln(ex +1) > 3 ; ln(ln x) > 0
3 Déterminer les limites éventuelles des fonctions suivantes au point indiqué.
p
ln x
1. p en 0 et +∞, x ln( x) en 0, ln(1 + ex ) en −∞ et
x
µ
¶
x +1
ln
en -1,1 et +∞
x −1
ln(1 + 5x)
x ln x
2. x 2 −ln x en +∞ ;
en 0 ;
en 1, 0 et
x
x −1
+∞ ; ln(ln x) en 1
2. Déterminer les limites de f en 3 et −3
3. Étudier le sens de variation de f et dresser son tableau
de variations.
4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f à l’origine.
5. Représenter f dans un repère orthonormé unité 2 cm
7
Mesure du niveau sonore.
Le niveau sonore en décibels (dB) d’un son de pression
acoustique p est donné par
p
où p 0 = 2×10−5 Pa, est la plus petite presL = 20 log
p0
sion perceptible (en moyenne) par une oreille humaine.
1. Calculer les niveaux sonores correspondant à :
p = p 0 ; p = 103 p 0 ; p = 109 p 0
2. Un "orchestre techno " peut atteindre jusqu’à 130 dB,
p
calculer le rapport
correspondant.
p0
Un niveau supérieur à 90 dB est considéré comme dangereux pour l’oreille.
8
1. On considère la fonction f définie sur [0; +∞[
ln(1 + x)
pour x > 0.
par f (0) = 1 et f (x) =
x
Préciser la limite de f en 0.
2. a) Étudier le sens de variation de la fonction g définie
sur [0, +∞[ par :
4
Calculer les dérivées des fonctions suivantes.
¶
µ
x +1
1. f (x) = x ln x − x ; g (x) = ln
µ x x¶− 1
e +1
2
; m(x) = ln x
h(x) = (ln x)
e −1
2. k(x) = ln(3x + 1) ; j (x) = ln(x 2 − 1)
l (x) = ln (ln x) ; p(x) = x ln x − x
5
µ
¶
x2 x3
g (x) = ln(1 + x) − x −
+
2
3
Calculer g (0) et en déduire que sur [0, +∞[ :
ln(1 + x) ≤ x −
b) Par une étude analogue, montrer que si x ≥ 0 alors :
Soit g la fonction définie sur ]0, +∞[ par
g (x) = x 2 − 1 + 2 ln x
ln(1 + x) ≥ x −
1. Déterminer les limites de g en 0 et +∞.
2. Calculer g 0 (x), étudier son signe et dresser le tableau de
variation de g .
3. Montrer que 1 est l’unique solution de l’équation
g (x) = 0 sur l’intervalle ]0, +∞[, en déduire le signe de g (x)
sur ]0, +∞[
6
Soit la fonction f définie sur ]−3 , 3[ par
3+x
f (x) = ln
3−x
µ
1. Étudier la parité de f .
Francis C ORTADO
x2 x3
+
2
3
x2
2
c) Établir que pour tout x > 0, on a :
1 ln(1 + x) − x
1 x
− ≤
≤− +
2
2
x
2 3
1
En déduire que f est dérivable en zéro et que f 0 (0) = − .
2
3. a) Soit h la fonction définie sur [0; +∞[ par
h(x) =
¶
x
− ln(1 + x)
1+x
Étudier son sens de variation et en déduire le signe de h
sur [0, +∞[.
Sommaire chapitre 7
319
h(x)
.
x2
c) Dresser le tableau de variation de f en précisant la
limite de f en +∞.
d) Montrer que la courbe C f admet une asymptote.
Donner l’équation de la tangente au point d’abscisse 0.
b) Montrer que, sur [0, +∞[, f 0 (x) =
9 Dans tout le problème, n désigne un entier naturel
non nul, à qui on associe la fonction numérique f n définie
sur ] − 1, +∞[ par :
13 A. On considère la fonction g définie sur [1 ; +∞[
par
g (x) = ln x −
1. a) Étudier les variations de g sur [1 ; +∞[. Résoudre
l’équation g (x) = 0 dans [1 ; +∞[.
p
b) En déduire que g (x) > 0 si et seulement si x > e.
B. On considère la fonction f définie sur [1, +∞[ par
f (x) = 2x 2 (ln x − 1) + 2
n
f n (x) = x ln(1 + x)
On désigne par Cn ³la courbe´ représentative de f n dans
→
− →
−
le repère orthonormé O, i , j .
1. Soit h n la fonction numérique définie sur ] − 1, +∞[
par :
x
h n (x) = n ln(1 + x) +
1+x
Étudier le sens de variation de h n . En utilisant la valeur de
h n (0), déterminer le signe de h n (x) sur ] − 1, +∞[.
a) Pour tout x ∈] − 1, +∞[, vérifier que
f 10 (x) = h 1 (x) et pourtoutn > 1,
2. a) Montrer que pour tout réel x de l’intervalle
[1, +∞[, f 0 (x) = 4xg (x).
b) Étudier le signe de f 0 (x) sur [1, +∞[ et en déduire le
tableau de variations de f sur [1, +∞[.
3. a) Montrer que, dans l’intervalle [2, 3], l’équation
f (x) = 0 admet une solution unique notée α.
b) Déterminer un encadrement d’amplitude 10−2 de α.
14 Soit f la fonction définie sur ]0, 1] par :
f (x) = 1 + x ln x
f n0 (x) = x n−1 h n (x)
2. Pour tout entier naturel n impair,
a) justifier que f n0 et h n sont de même signe sur ] −
1, +∞[,
b) dresser le tableau de variation de la fonction f n , en
précisant les limites en −1 et +∞.
c) Pour tout entier naturel n pair, dresser le tableau de
variation de la fonction f n , en précisant les limites en −1
et +∞.
3. Étudier la position relative des courbes C1 et C2 .
10 Soit g la fonction définie sur ]0, +∞[ par
g (x) = x 2 − 1 + 2 ln(x)
1
2
Soit C sa courbe représentative et soit (T) la droite d’équation y = x.
1. a) Justifier que
lim f (x) = 1
x→0
b) En utilisant le signe de x ln x sur ]0, 1], montrer que,
pour tout x ∈]0, 1], on a f (x) 6 1.
2. a) Calculer f 0 (x) pour tout nombre réel x ∈]0 ; 1].
b) Vérifier que la droite (T) est tangente à la courbe C
au point d’abscisse 1.
3. On note g la fonction définie pour tout nombre réel
x ∈]0, 1] par
g (x) = 1 + x ln x − x
1. Déterminer les limites de g en 0 et +∞.
2. Calculer g 0 (x), étudier son signe et dresser le tableau de
variation de g .
3. Montrer que 1 est l’unique solution de l’équation
g (x) = 0 sur l’intervalle ]0, +∞[, en déduire le signe de g (x)
sur ]0, +∞[
a) Étudier les variations de g sur l’intervalle ]0, 1] et
dresser le tableau de variation de g .
On ne cherchera pas la limite de g en 0.
b) En déduire les positions relatives de la courbe C et de
la droite (T).
11 Soit n ∈ N∗ , montrez que le nombre de chiffres dans
l’écriture décimale de n est 1 + E(log n) où E(x) représente
¶
µ
1 n
naturel n non nul, par : u n = 1 +
.
n
1. On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par :
la partie entière d’un réel x, c’est à dire l’entier naturel immédiatement inférieur ou égal à x.
On encadrera n par deux puissances successives de 10
³p
´
12 On pose f (x) = ln 1 + x 2
1. Déterminez l’ensemble de définition de f et étudiez sa
parité.
2. Calculez lim f (x) − ln x
x→+∞
15 On considère la suite (u n ) définie, pour tout entier
f (x) = x − ln(1 + x)
a) En étudiant les variations de la fonction f , montrer
que, pour x ≥ 0 :
ln(1 + x) 6 x
b) En déduire que, pour tout entier naturel n non nul,
3. Étudiez les variations de f et tracez sa courbe représentative dans un bon repère.
320
Sommaire chapitre 7
ln(u n ) 6 1
Francis C ORTADO
u prend la valeur 4
Répéter Tant que u − 14, 2 < 0
u prend la valeur de 5 ln(u + 3)
Fin du Tant que
Afficher u
c) La suite (u n ) peut-elle avoir pour limite +∞ ?
2. On considère la suite (v n ) définie, pour tout entier naturel n non nul, par :
v n = ln(u n )
1
. Exprimer v n en fonction de x.
n
ln(1 + x)
b) Que vaut lim
? Aucune justification n’est
x→0
x
demandée. En déduire : lim v n .
a) On pose x =
n→+∞
c) En déduire que la suite (u n ) est convergente et déterminer sa limite.
(a) Justifier que cet algorithme se termine.
(b) Donner la valeur que cet algorithme affiche (on
arrondira à 5 décimales).
17 Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par
f (x) =
16 Partie A Soit la fonction f définie et dérivable sur
l’intervalle [0 ; +∞[ par
f (x) = 5 ln(x + 3) − x
0
1. (a) Calculer f (x) et étudier son signe sur [0 ; +∞[.
(b) Donner, dans un tableau, les variations de f sur
l’intervalle [0 ; +∞[.
(c) Montrer que,
positif on
µ pour tout
¶ x strictement
µ
¶
ln x
3
a f (x) = x 5
− 1 + 5 ln 1 +
.
x
x
(d) En déduire la limite de f en +∞.
(e) Compléter le tableau de variation de f sur l’intervalle [0 ; +∞[.
et soit C la courbe représentative de la fonction f dans
un repère du plan.
1. (a) Étudier la limite de f en 0.
ln(x)
(b) Que vaut lim
? En déduire la limite de la
x→+∞ x
fonction f en +∞.
(c) En déduire les asymptotes éventuelles à la
courbe C .
2. (a) On note f 0 la fonction dérivée de la fonction f
sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
Démontrer que, pour tout réel x appartenant à
l’intervalle ]0 ; +∞[,
2. (a) Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une
unique solution α dans l’intervalle [0 ; +∞[.
(b) Après avoir vérifié que α ∈ [14 ; 15], donner une
valeur approchée de α à 10−2 près.
(c) En déduire le signe de f sur l’intervalle [0; +∞[.
Partie B : Soit (u n ) la suite définie par
(
u0 =
f 0 (x) =
−1 − 2 ln(x)
.
x3
(b) Résoudre sur l’intervalle ]0 ; +∞[ l’inéquation
−1 − 2 ln(x) > 0.
En déduire le signe de f 0 (x) sur l’intervalle
]0 ; +∞[.
(c) Dresser le tableau des variations de la fonction
f.
4
u n+1 = 5 ln (u n + 3)
1 + ln(x)
x2
pour tout entier naturel n 6= 0
On considère la fonction g définie sur l’intervalle
[0 ; +∞[ par
g (x) = 5 ln(x + 3)
1. A l’aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variations de la suite (u n ).
3. (a) Démontrer que la courbe C a un unique point
d’intersection avec l’axe des abscisses, dont on
précisera les coordonnées.
(b) En déduire le signe de f (x) sur l’intervalle
]0 ; +∞[.
(b) Vérifier que g (α) = α où α est défini dans la partie A question 2.a.
18 Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan
¡ − →
¢
muni d’un repère orthonormé O, →
ı , − , la courbe représentative C d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
On dispose des informations suivantes :
(c) Démontrer par récurrence que, pour tout entier
naturel n, on a 0 6 u n 6 α.
• les points A, B, C ont pour coordonnées respectives
(1 , 0), (1 , 2), (0 , 2) ;
(d) Démontrer alors la conjecture émise à la question 1 de la partie B.
• la courbe C passe par le point B et la droite (BC) est
tangente à C en B ;
2. (a) Etudier le sens de variations de la fonction g sur
l’intervalle [0 ; +∞[.
(e) Démontrer que lim u n = α.
n→+∞
3. On considère l’algorithme suivant :
Francis C ORTADO
• il existe deux réels positifs a et b tels que pour tout
réel strictement positif x,
Sommaire chapitre 7
321
a + b ln x
x
1. (a) Donner les valeurs de f (1) et f 0 (1).
(b) Vérifier que pour tout réel strictement positif
(b − a) − b ln x
x, f 0 (x) =
.
x2
(c) En déduire les réels a et b.
f (x) =
2. (a) Montrer que pour tout réel x ∈ ]0 , +∞[, f 0 (x) est
du signe de − ln x.
(b) Déterminer les limites de f en 0 et en +∞.
(c) En déduire le tableau de variations de f .
3. (a) Démontrer que l’équation f (x) = 1 admet une
unique solution α sur l’intervalle ]0 , 1].
(b) Par un raisonnement analogue, on démontre
qu’il existe un unique réel β de l’intervalle
]1 , +∞] tel que f (β) = 1.
Déterminer l’entier n tel que n < β < n + 1.
Partie A
On considère la fonction f définie sur [1 ; +∞[ par
f (x) = x −
On note
courbe
représentative dans un repère or¡ C sa
−ı , →
− ¢.
thonormé O, →
1. Soit g la fonction définie sur [1 ; +∞[ par
g (x) = x 2 − 1 + ln(x)
Montrer que la fonction g est positive sur [1 ; +∞[.
2. (a) Montrer que, pour tout x de [1 ; +∞[,
f 0 (x) =
4. On donne l’algorithme ci-dessous.
Variables :
a, b et m sont des nombres réels.
Initialisation : Affecter à a la valeur 0.
Affecter à b la valeur 1.
3.
Traitement :
Tant que b − a > 0, 1
1
Affecter à m la valeur (a + b).
2
Si f (m) < 1 alors Affecter à a la valeur m.
Sinon Affecter à b la valeur m.
Fin de Si.
Fin de Tant que.
Sortie :
Afficher a.
Afficher b.
(a) Faire tourner cet algorithme en complétant le
tableau ci-dessous que l’on recopiera sur la copie.
a
b
b−a
m
étape
1
0
1
étape
2
étape
3
étape
4
étape
5
ln(x)
x
g (x)
x2
(b) En déduire le sens de variation de f sur [1 ; +∞[.
(c) Montrer que la limite de f (x) − x lorsque x tend
vers +∞ est nulle.
(d) Étudier la position de la courbe C par rapport à
la droite D : y = x.
Pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, on
note respectivement Mk et Nk les points d’abscisse
k de C et D .
(a) Montrer que, pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, la distance Mk Nk entre les
ln(k)
points Mk et Nk est donnée par Mk Nk =
.
k
(b) Écrire un algorithme déterminant le plus petit
entier k 0 supérieur ou égal à 2 tel que la distance
Mk Nk soit inférieure ou égale à 10−2 .
20 Partie A
On considère la fonction g définie sur l’intervalle
]0 ; +∞[ par :
g (x) = 2x 3 − 1 + 2 ln x
1. Étudier les variations de la fonction g sur l’intervalle
]0 ; +∞[.
(b) Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme ?
(c) Modifier l’algorithme ci-dessus pour qu’il affiche les deux bornes d’un encadrement de β
d’amplitude 10−1 .
2. Justifier qu’il existe un unique réel α tel que g (α) = 0.
Donner une valeur approchée de α, arrondie au centième.
3. En déduire le signe de la fonction g sur l’intervalle
]0 ; +∞[.
Partie B
19 Restitution organisée des connaissances
On rappelle que
et
= +∞
t →+∞ t
lim
Démontrer que
lim
x→+∞
322
ln(x)
=0
x
On considère la fonction f définie sur l’intervalle
]0 ; +∞[ par :
ln x
x2
On note C la courbe représentative de la fonction f
dans le plan, muni d’un repère orthogonal (O ;~ı ; ~ ).
f (x) = 2x −
Sommaire chapitre 7
Francis C ORTADO
1. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +∞.
2. Démontrer que la courbe f (x) − 2x a pour limite 0
lorsque x tend vers +∞.
Étudier la position relative de la courbe C et de la
droite ∆ : y = 2x.
3. Justifier que f 0 (x) a même signe que g (x).
4. En déduire le tableau de variations de la fonction f .
¡ − →
¢
5. Tracer la courbe C dans le repère O, →
ı , − . On
prendra comme unités : 2 cm sur l’axe des abscisses,
1 cm sur l’axe des ordonnées.
21 Partie A
On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle
[1 ; +∞[ par
f (x) =
À l’aide de ce tableau, formuler des conjectures sur
le sens de variation de la suite (u n ) et son éventuelle
convergence.
22 Partie A : étude d’une fonction
On considère la fonction f définie sur l’intervalle
]1 ; +∞[ par
x
f (x) =
ln x
1. Calculer les limites de la fonction f en +∞ et en 1.
2. Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle
]1 ; +∞[.
3. En déduire que si x > e alors f (x) > e.
Partie B : étude d’une suite récurrente
On considère la suite (u n ) définie par :
³ x ´
1
+ ln
.
x +1
x +1
½
1. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.
2. Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle
1
[1 ; +∞[, f 0 (x) =
.
x(x + 1)2
Dresser le tableau de variation de la fonction f .
3. En déduire le signe de la fonction f sur l’intervalle
[1 ; +∞[.
u0
u n+1
=
=
5
f (u n )
1. Quelles conjectures peut-on faire sur les variations et
la convergence de la suite (u n ) ?
2. (a) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a :
u n > e.
(b) Déterminer les variations de la suite (u n ).
(c) En déduire que la suite (u n ) est convergente.
(d) Déterminer sa limite `.
Partie B
3. On donne l’algorithme suivant
Soit (u n ) la suite définie pour tout entier strictement
positif par
un = 1 +
1
1 1
+ + . . . + − ln n.
2 3
n
1. On considère l’algorithme suivant :
Variables :
Entrée :
Initialisation :
Traitement :
Sortie :
i et n sont des entiers naturels.
u est un réel.
Demander à l’utilisateur la valeur
de n.
Affecter à u la valeur 0.
Pour
¯ i variant de 1 à n.
¯
¯Affecter à u la valeur u + 1
¯
i
Afficher u.
X est une variable réelle ; Y est une variable entière
Affecter 5 à X et 0 à Y
Tant que X > 2, 72
Faire
Affecter (X/ ln X) à X
Affecter Y + 1 à Y
Fin de Tant que
Afficher Y
À l’aide du tableau suivant, obtenu avec un tableur,
déterminer la valeur affichée par l’algorithme.
n
un
0
5
1
2
3
4
5
3,106 67
2,740 65
2,718 37
2,718 28
2,718 28
Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme
lorsque l’utilisateur entre la valeur n = 3.
2. Recopier et compléter l’algorithme précédent afin
qu’il affiche la valeur de u n lorsque l’utilisateur entre
la valeur de n.
3. Voici les résultats fournis par l’algorithme modifié,
arrondis à 10−3 .
n
un
4
5
6
7
8
9
10
0,697 0,674 0,658 0,647 0,638 0,632 0,626
Francis C ORTADO
Sommaire chapitre 7
323