Correction des exercices : Equations différentielles du 1erordre

Math pas à pas
Correction des exercices : Equations
différentielles du 1erordre
Exercice 1 :
(E1) : (1+t2)y’ + y = 0
(E1) est une équation différentielle linéaire d’ordre 1 homogène.
Une primitive de t
est t
fonctions y(t) = C
avec C
-arctan(t). Les solutions de (E1) sont les
.
Exercice 2 :
]
(E2) : 3cos(t)y’ + sin(t)y = 0
[
Déterminer les solutions de (E2) qui vérifient la condition initiale y( ) = 1
(E2) est une équation différentielle linéaire d’ordre 1 homogène.
Une primitive sur ]
[ de t -
est t
Les solutions de (E2) sont les fonctions y définies par :
y(t) = C
= C√
avec C
]
[
.
On détermine C de sorte que y( ) = 1
C√ = 1
C= √
La solution de (E2) sur ]
définie par :
]
[ qui vérifie la condition initiale est la fonction y
[
y(t) = √
Math pas à pas
Exercice 3 :
]
(E3) ty’ + 2y = ln(t)
[
(E3) est une équation différentielle linéaire d’ordre 1.
sur ]
Une primitive de t
[ est la fonction t
Les solutions de l’équation différentielle homogène associée sont les fonctions
y définies par :
]
[
y(t) =
=
avec C
On cherche une solution particulière yp de (E) sous la forme yp(t) =
dérivable.
On remplace dans (E3) et on obtient : t
= ln(t)
C(t) = ∫
Par intégration par partie, on obtient : C(t) =
C(t) =
∫
convient.
yp(t) =
Les solutions de (E3) sont les fonctions y définies par :
]
[
y(t) =
avec C
Exercice 4 :
(E4) : y’ + ty = tsh(t) + ch(t)
yp(t) = sh(t) définit une solution de (E4)
Donc les solutions de (E4) sont les fonctions y définies par :
avec C