Terminale STI - Bac - Exercice 24 - Correction - XMaths

Terminale STI - Bac - Exercice 24 - Correction
1. a) On sait que l’équation différentielle y 0 + ay = 0 a pour solutions les fonctions définies sur R par :
y = ke−ax avec k ∈ R
Donc l’équation (E) : y 0 + 2y = 0 a pour solutions les fonctions définies sur R par :
y = ke−2x avec k ∈ R .
b) Si f est solution de (E), on a f (x) = ke−2x .
Alors
f (0) = 1
⇔
ke0 = 1
⇔
k=1
La solution f de (E) telle que f (0) = 1 est définie sur R par : f (x) = e−2x .
2. a) La valeur moyenne de f sur [0 ; 10] est :
"
#10
Z 10
Z 10
1
1
1
1 −2x
1
1 0
−2x
m=
f (x)dx =
e
dx =
− e
= − e−20 +
e
10 0
10 0
10
2
20
20
0
1 −20
La valeur moyenne de f sur [0 ; 10] est :
.
1−e
20
b) La valeur moyenne de f sur [n ; n + 1] est :
"
#n+1
Z n+1
Z
1
1 n+1 −2x
1 −2x
1
1
m=
f (x)dx =
e
dx = − e
= − e−2(n+1) + e−2n
(n + 1) − n n
1 n
2
2
2
n
1 −2n −2
La valeur moyenne de f sur [n ; n + 1] est : e
1−e
.
2
1
3. a) (un ) est la suite définie par un =
1 − e−2 e−2n pour tout n entier naturel positif ou nul.
2
1
1
1
1
On a donc : u0 =
1 − e−2 e0 =
1 − e−2
; u1 =
1 − e−2 e−2 ; u2 =
1 − e−2 e−4 .
2
2
2
2
b) Pour tout entier naturel n, on peut écrire :
1
1
1
un+1 =
1 − e−2 e−2(n+1) =
1 − e−2 e−2n−2 =
1 − e−2 e−2n e−2 = un × e−2 .
2
2
2
1
Donc : la suite (un ) est une suite géométrique de premier terme u0 =
1 − e−2 et de raison e−2 .
2
9
9 c) On peut écrire : u0 + u1 + · · · + u9 = u0 + u0 × e−2 + · · · + u0 × e−2 = u0 1 + e−2 + · · · + e−2
.
1 − bn+1
1 + b + b 2 + · · · + bn =
.
1−b
10
−20
1 − e−2
1
−2 1 − e
On a donc : u0 + u1 + · · · + u9 = u0
=
1
−
e
2
1 − e−2
1 − e−2
1
On en déduit que : u0 + u1 + · · · + u9 =
1 − e−20 .
2
On sait que pour tout réel b 6= 1,
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