TD 13 résonance mécanique

Lycée Viette
TSI 1
TD 13
Résonance
Résonance mécanique
II . Le haut parleur
Un haut-parleur est modélisé de la façon suivante : une masse m se déplace horizontalement
le long de l'axe Ox, cette masse est reliée à un ressort de raideur k et de longueur à vide {0 et à
r
r
amortisseur fluide ( f = −α.v ). Cette masse est aussi soumise à une force d'excitation
r
r
proportionnelle à l'intensité du courant qui circule dans la bobine ( FLap. = β.i(t).ex ).
k
M(m)
x
On impose un courant i(t) sinusoïdal i(t) = Imax.cos(ω.t)
m = 10 g k = 15 kN.m-1 β = 200 N.A-1 Imax = 1 A
1. Ecrire l'équation différentielle vérifiée par x(t) et donner sa solution dans le cas du régime
forcé.
2. On désire que le facteur de qualité Q soit égal à
Déterminer α
√
3. Donner avec ce facteur de qualité Xmax, tracer l'allure de Xmax(ω) et déterminer la bande
passante.
III . La couleur du ciel
On choisit le modèle d'atome suivant : l'électron ( M ) de masse m est élastiquement lié au
uuuur
r
noyau ( O ) supposé immobile par une force de rappel F = −k.OM . L'électron est freiné par
r
r
une force de frottement du type fluide Ff = −α.v . Le centre de l'atome est supposé fixe ( dans
le référentiel d'étude supposé galiléen ). Une onde lumineuse caractérisée par le champ
r
r
électrique E(t) = E 0 .cos(ω.t).ex provenant du soleil agit aussi sur l'électron.
m = 9,1.10-31 kg k = 100 N.m-1 α = 10-20 kg.s-1 e = 1,6.10-19 C
1. Ecrire l'équation différentielle vectorielle du mouvement ( sous une forme normalisée ).
2. Déterminer la solution du régime forcé.
3. Simplifier la solution précédente sachant que les longueurs d'onde provenant du soleil
s'étendent de 400 nm et 800 nm.
4. Sachant que l'électron diffuse dans toutes les directions un rayonnement dont la puissance
moyenne est proportionnelle au carré de l'amplitude de son accélération, expliquer
pourquoi le ciel est bleu.
Rabeux Michel
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IIII . Le sismographe
boîtier
O'
zsol
k
m
O
z
sol ( ℜ )
Un boîtier est posé sur le sol, il suit les
mouvements du sol. Le ressort de raideur
k a une longueur à vide . Lorsque l’objet M de masse m se déplace par rapport
au boîtier B avec une vitesse vM/B, il est
soumis à une force de frottement du type
r
r
fluide : f = −α.v M / B
O : position de la masse à l’équilibre lorsque le sol ne vibre pas.
( ℜ0 )
1. Le sol ne vibre pas, la masse m est au repos par rapport au boîtier. Déterminer la longueur
du ressort é
2. Le sol ne vibre pas, on écarte la masse m de sa position d’équilibre de d vers le bas, et on
l’abandonne sans vitesse initiale. Ecrire l’équation différentielle en z = OM et résoudre
cette équation ( m = 10 kg, k = 103 N.m-1 , α = 2,1.102 kg.s-1 , d = 5 cm ).
3. Le sol ( et le boîtier ) vibre, son mouvement est repéré par rapport à un référentiel galiléen
ℜ0 par zsol(t)
zsol(t) = Z0.cos(ω.t)
Ecrire la nouvelle équation différentielle en z(t) vérifiée par M.
4. Déterminer la solution de l’équation différentielle du 3. lorsque le régime permanent est
k
atteint ( on posera ω20 =
).
m
5. Etudier le phénomène de résonance en amplitude d’élongation pour diverses valeurs de α
m et k prenant les valeurs du 2. Tracer trois courbes représentant ZMmax = f ( ω )
6. On désire que la masse m reproduise au mieux le mouvement du sol ( ZMmax se confond à
Z0 à 2 % près sur le plus grand domaine de fréquence ). Quelle valeur de α faut-il choisir?
Rabeux Michel
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