CORRECTION SUJET NATIONAL – BAC S

CORRECTION SUJET NATIONAL – BAC S - 2003
Enseignement obligatoire et de spécialité, juin 2003
C) CORRECTION du PROBLEME : (tous les candidats)
Partie A
1. Solution générale de l'équation différentielle
La solution générale de l'équation différentielle y' = ay est y = Ceat
On a donc f(t) = Ceat . On sait que f(0) = N0 onc C = N0
d'où la solution de l'équation différentielle y' = ay qui vérifie la condition initiale f(0) = No
est : f(t) = N0.eat
2. On sait que : f(t) = N0.2t/T
T vérifie f(T) = 2 f(0) d'où No.eaT = 2No d'où aT = ln(2) d'où a =
Donc, pour t réel, f(t) = No.et
ln(2)
.
T
ln(2)
= No 2 t/T
T
Partie B :
1.Fonction g
1
est la solution de l'équation différentielle (E'), il suffit de
g
1
1
-g’(t)
1
α
α
α
montrer que : (
)’ + α
=
soit g’(t) = α.g(t) g²(t) d’où :
+α
=
g(t)
g(t) M
M
g²(t)
g(t)
M
g(t)
)
Or , l'équation (E') s'écrit : g’(t) = a.g(t)(1 M
1
1
α
)’ + α
=
ce qui est bien l'équation (E ')
D'où (
g(t)
M
g(t)
a. Pour montrer que la fonction
b. Résolution de l'équation différentielle
a
.
Puisque : (E ') : y' + ay =
M
La solution générale de (E') est la somme de la solution de l'équation homogène associée
y' + ay = 0 et d'une solution particulière de (E')
1
est une solution particulière de (E').
On remarque que la fonction constante t 6
M
1
D'où la solution générale de (E ') : y(t) = K.e-at +
avec K = constante réelle
M
1
1
= K.e-at +
On en déduit que la fonction g vérifie:
M
g(t)
c. Fonction h
h est une solution strictement positive de (E'), on a donc
a
h’ a
a
h’
1
1
d’où
+
=
d’où : = a (1 –
)
M
h² h
hM
h²
h
Mh
1
1
1
1
On reconnait alors que ceci s'écrit ( )’ = a( )(1 ) donc que
est bien solution de (E).
h
h
Mh
h
h’ + ah =
2. Etude de la fonction h
a: On sait que
e-at = 0 car a > 0. Donc
g(t) = M
De plus , pour t réel , e-at > 0 ; C > 0 et M > 0 donc g(t) > 0.
Comme 1+Ce-at > 1 , on a g(t) < M
b. On sait que pour a > 0 , la fonction t 6 1+Ce-at est strictement décroissante et positive stricte.
M
De plus, la fonction t 6
est strictement décroissante sur ]0;+∞[.
t
g est donc strictement croissante sur [0;+∞[ comme composée de deux fonctions strictement
décroissantes.
De plus, g est définie sur [0;+∞[ , g est strictement croissante sur [0;+∞[ et continue car dérivable sur
[0;+∞[. Enfin, la limite de g en +∞ est M.
On en déduit, que l'image de [0; ∞[ est [g(0) ; M[ et g est une bijection de [0;+∞[ sur [g(0) ; M[.
Or, g(0) =
Donc
M
M
. Comme C > 1 , on a donc g(0) <
.
2
1+C
M
M
appartient à [g(0); M[ , donc il existe bien un réel unique t0 > 0 tel que g(t0) =
2
2
c. Etude de g’’
g
g²
gg’
2g
) = ag – a d'où, en dérivant, on a : g″ = ag’ – 2a
= ag’(1 –
)
M
M
M
M
2g
.
On sait que a > 0 et g ' > 0 sur [0;+∞[ donc g" est du signe de 1 M
Or, d'après la question précédente, comme g est strictement croissante sur [0;+∞[, on peut dire que:
2g(t)
M
1> 0 <=> g(t) <
<=> t < to.
M
2
D'où g" > 0 sur [0 ; t0] et g" < 0 sur [t0 ; +∞[ d'où les variations de g'
.
On en déduit que la vitesse d'accroissement du nombre de bactéries est décroissant à partir t0.
On sait que g’= ag(1-
lnC
a
d. On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction f sur l'intervalle [a,b] est
Expression de t0 en fonction de a et C : to =
La question revient donc à calculer :
.Or, g(t) =
Meat
M
-at = at
1+Ce
e +C
1
t0
. Une primitive de g est donc : G(t) =
D'où la valeur moyenne de g sur [0 ; to] est :
1
t0
= [G(t)] =
M
ln(eat + C)
a
M
eat0+C
)
ln(
1+C
at0
Partie C
1. Valeurs de : N0, T et a
On a f(0) = 1 et f(0,5) = 2.
On utilise alors l'expression de f vue dans la partie A pour obtenir le système suivant
{No = 1 ; No2 0,5/T = 2 } d'où No = 1 et T = 0,5.
Comme f(t) = No.e at , on a alors l'égalité eat = 2 0,5/T ; pour tout t réel on a : a = 2ln(2) = ln(4)
2. Détermination de g(t)
On sait que . g(t) =
M
M
Comme a = ln(4) et e-ln(4) t = 4-t , on a donc : g(t) =
1+C4-t
1+Ce-at
De plus , g(0) = No = 1 , et g(0) =
M
100No
100
=
=
on a donc C = 99.
1+C
1+C
1+C
D'où l'égalité
3. tracé de la courbe laissé au bon soin du lecteur
faites une belle conclusion en français ….
Pas come celles que l’on a corrigées le jour de l’examen …..