Exercice D2 Partie A Partie B - XMaths

Exercice D2
Partie A
g est définie sur [5 ; 80] par :
g(x) = x3 - 1200x - 100
1°) g est une fonction polynôme, elle est dérivable sur [5 ; 80].
g'(x) = 3x2 -1200 = 3(x2 - 400) = 3(x - 20)(x + 20)
3x2 -1200 est un trinôme du second degré dont les racines sont -20 et 20.
On peut donner son signe en utilisant la règle du signe du trinôme.
On en déduit que : g'(x) < 0 pour x ∈ [5 ; 20[ ; g'(x) = 0 pour x = 20 et g'(x) > 0 pour x ∈ ]20 ; 80].
Donc g est strictement décroissante sur [5 ; 20] et strictement croissante sur [20 ; 80].
On peut alors donner le tableau de variations de g :
5
20
80
x
On a g(5) = 125 - 6000 - 100 = -5975
0
g'(x)
+
g(20) = 8000 - 24000 - 100 = -16100
g(5)
et g(80) = 512000 - 96000 - 100 = 415900
g(80)
g
g(20)
2°) On a g(20) = -16100 et g(40) = 15900.
g est continue et strictement croissante sur [20 ; 40] et prend ses valeurs dans [-16100 ; 15900].
Comme 0 ∈ [-16100 ; 15900] , le théorème des valeurs intermédiaires permet d'en déduire que :
l'équation g(x) = 0 a une solution unique α dans [20 ; 40].
En utilisant une calculatrice on peut remarquer que g(34) = - 1596 et g(35) = 775.
g est strictement croissante sur [20 ; 40] ; g(34) < 0 et g(35) > 0 , donc 34 < α < 35 .
α a pour valeur approchée 34 à l'unité près.
3°) Sur l'intervalle [5 ; 20], g est strictement décroissante et g(5) = -5975, donc g(5) < 0.
On en déduit que g(x) < 0 pour tout x ∈ [5 ; 20].
Sur l'intervalle [20 ; 80] g est strictement croissante et g(α) = 0.
Donc si 20 £ x < α , on a g(x) < 0 et si α < x £ 80 , on a g(x) > 0.
Donc : g(x) < 0 pour x ∈ [5 ; α[ ; g(x) = 0 pour x = α et g(x) > 0 pour x ∈ ]α ; 80] .
Partie B
f(x) = x + 50 + 1200x + 50
x2
1°) f est une fonction rationnelle, donc elle est dérivable sur son ensemble de définition.
f(x) = x + 50 + 1200x + 50 , donc
x2
2
f'(x) = 1 + 1200 x (x ) - (1200x + 50)(2x) = 1 + x(1200x - 2400x - 100) = 1 + -1200x - 100
2
x4
x3
(x2)
f est définie sur [5 ; 80] par :
3
donc : f'(x) = x - 1200x - 100
x3
c'est-à-dire
f'(x) = g(x)
x3
pour tout x de [5 ; 80] .
2°) Pour tout x ∈ [5 ; 80] , on a x3 > 0 , donc f'(x) est du signe de g(x).
En utilisant les résultats de la partie A, on obtient le signe de f'(x) et on peut donner le tableau de
variations de f :
x
5
80
α
On a f(5) = 5 + 50 + 1200 x 5 + 50 = 297
0
f'(x)
+
52
f(5)
f(80)
On sait que α ≈ 34
donc f(α) ≈ f(34) ≈ 119
f
1200
x 80 + 50
f(80) = 80 + 50 +
; f(80) ≈ 145
f(α)
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3°) Dessin : la courbe C a une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse α.
300
280
C
260
240
220
200
180
160
140
y = 130
120
100
80
60
40
20
O
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
4°) Les solutions de l'équation f(x) = 130 sont les abscisses des points d'intersection de la droite
d'équation y = 130 et de la courbe C .
On observe graphiquement que : l'équation f(x) = 130 a deux solutions qui sont environ 20 et 60.
Partie C
3
2
C(x) = x + 50x + 1200x + 50
x
3 + 50x2 + 1200x + 50
C(x)
x
=
= x + 50 + 1200x + 50 = f(x)
et CM(x) =
2
x
x
x2
D'après les variations de la fonction f obtenues dans la partie B, le coût moyen minimum est obtenu pour
α centaines d'objets.
Sachant que α ≈ 34, on en déduit que :
Pour avoir un coût moyen minimum, il faut fabriquer environ 3 400 objets.
1°) Pour x ∈ [5 ; 80] on a
2°) On suppose que le prix de vente d'une centaine d'objets est 13 000 euros, c'est-à-dire 130 centaines
d'euros.
Pour que l'entreprise soit bénéficiaire, il faut que le coût moyen de chaque centaine d'objets soit inférieur
à 130 centaines d'euros, c'est-à-dire CM(x) £ 130 , ou encore f(x) £ 130 .
D'après le graphique de la partie B, f(x) £ 130 pour x ∈ [20 ; 60]
Les quantités étant exprimées en centaines d'objets, on en déduit que l'entreprise est rentable, lorsqu'elle
fabrique au minimum 2 000 objets et au maximum 6 000 objets.
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