Exercice A5 - XMaths

Exercice A5
1°) Pour tous réels a et b on a :
(a - b)(a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 - ba2 - ab2 - b3
Donc (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3 .
2°) Soient a et b deux réels de [0 ; +∞[ tels que a < b
On a alors f(a) - f(b) = a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) (d'après la première question)
On sait que a < b donc a - b < 0
D'autre part on a : b > a ³ 0 donc a2 ³ 0 , ab ³ 0 et b2 > 0 donc a2 + ab + b2 > 0
On en déduit (a - b)(a2 + ab + b2) < 0 donc f(a) - f(b) < 0
Pour tous réels a et b de [0 ; +∞[ tels que a < b on a donc f(a) < f(b)
On en déduit que la fonction f est strictement croissante sur [0 ; +∞[ .
3°) Soient a et b deux réels de ]-∞ ; 0] tels que a < b
On a alors f(a) - f(b) = a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) (d'après la première question)
On sait que a < b donc a - b < 0
D'autre part on a : a < b £ 0 donc a2 > 0 , ab ³ 0 et b2 ³ 0 donc a2 + ab + b2 > 0
On en déduit (a - b)(a2 + ab + b2) < 0 donc f(a) - f(b) < 0
Pour tous réels a et b de ]-∞ ; 0] tels que a < b on a donc f(a) < f(b)
On en déduit que la fonction f est strictement croissante sur ]-∞ ; 0] .
4°) Pour tout réel x on a :
(on dit que la fonction f est impaire).
f(-x) = (-x)3 = - x3 = - f(x)
Soit (C) la courbe représentative de f.
M(x ; y) ∈ (C) ⇔ y = f(x) ⇔ -y = -f(x) ⇔ -y = f(-x) ⇔ M'(-x ; -y) ∈ (C)
Les points M(x ; y) et M'(-x ; -y) étant symétriques par rapport au point O origine du repère, on en
déduit que la courbe (C) est symétrique par rapport à O.
5°) En utilisant une calculatrice ou un ordinateur, on peut
tracer la courbe (C) représentant la fonction f et la
droite d d'équation y = 2x + 1
On observe que la courbe et la droite semblent avoir
trois points d'intersection et on peut, en grossissant
éventuellement le dessin, donner des valeurs
approchées des abscisses de ces points.
On en déduit que l'équation x3 = 2x + 1 semble avoir
trois solutions : x1 ≈ -1 ; x2 ≈ - 0,6 ; x3 ≈ 1,6 .
Autre méthode : On peut faire un tableau de valeurs
de la fonction h définie par h(x) = x3 - 2x + 1 et
vérifier que cette fonction change trois fois de signe :
http://xmaths.free.fr
1ère S − Fonctions − Exercices
page 1 / 2
6°) L'équation x3 = 2x + 1 peut aussi s'écrire x3 - 2x - 1 = 0
On peut remarquer, que -1 est une solution de cette équation.
En effet (-1)3 - 2 x (-1) - 1 = -1 + 2 - 1 = 0
On peut alors chercher à factoriser le polynôme x3 - 2x - 1 sous la forme (x + 1)(ax2 + bx + c)
On a (x + 1)(ax2 + bx + c) = ax3 + bx2 + cx + ax2 + bx + c = ax3 + (b + a)x2 + (c + b) x + c
Pour avoir l'égalité x3 - 2x - 1 = ax3 + (b + a)x2 + (c + b) x + c il suffit de choisir les coefficients a, b, c
tels que :
 a = 1
 a = 1
a=1
b+a=0
b = -1
⇔ 
⇔  b = -1

 c = -1
 c + b = -2
 c = -2 + 1
c = -1
c = -1
On a donc : x3 - 2x - 1 = (x + 1)(x2 - x - 1) , et on peut écrire :
x3 - 2x - 1 = 0 ⇔ (x + 1)(x2 - x - 1) = 0 ⇔ x + 1 = 0 ou x2 - x - 1 = 0
L’équation x + 1 = 0 donne comme solution x = -1 (que l’on connaissait déjà)
L’équation x2 - x - 1 = 0 est une équation du second degré dont le discriminant est
∆ = (-1)2 - 4 x 1 x (-1) = 1 + 4 = 5
∆ étant strictement positif, l’équation x2 - x - 1 = 0 a deux solutions qui sont :
x = 1 - 5 = 1 - 5 et x' = 1 + 5 = 1 + 5
2x1
2
2x1
2
On en déduit que l’équation x3 = 2x + 1 a trois solutions dont les valeurs exactes sont :
x1 = -1 ; x2 = 1 - 5 ; x3 = 1 + 5 .
2
2
NB : en cherchant des valeurs approchées, on retrouve les résultats donnés à la question précédente.
http://xmaths.free.fr
1ère S − Fonctions − Exercices
page 2 / 2