Exercice 1. Circuit L-R // C-R Exercice 2. Charge d`un condensateur

PCSI Brizeux.
Exercice 1.
TD. SP6.
2016-2017
Circuit L-R // C-R MM
On réalise le réseau ci-contre. Initialement, le condensateur est
déchargé. A 𝑡 = 0, on ferme K.
a. Déterminer sans calcul 𝑖% 0& et 𝑖' 0& ainsi que 𝑖% ∞ et 𝑖' ∞ .
b. Montrer que pour 𝑡 > 0, 𝑖 𝑡 =
*
+,
1 − exp −
c. Déduire des calculs précédents que :
2
3,
+
*
+5
exp −
2
35
𝑡
𝑡
− exp −
𝜏%
𝜏'
d. A quelle condition la tension 𝑢 𝑡 est-elle nulle en permanence ?
𝑢 𝑡 = 𝐸 exp −
Exercice 2.
Charge d’un condensateur MM
On considère le circuit ci-contre. Pour 𝑡 < 0, K est ouvert. A 𝑡 = 0, on ferme K,
le condensateur n’est pas chargé.
a. Sans calcul, déterminer pour 𝑡 = 0& et pour un temps infini l’intensité
dans chaque branche ainsi que 𝑢(𝑡) = 𝑉= − 𝑉> .
b. Pour 𝑡 > 0 établir l'équation différentielle vérifiée par 𝑢(𝑡).
c. Quelle est la constante de temps du circuit ?
d. Pour 𝑡 > 0, résoudre l'équation différentielle de la question b et représenter 𝑢(𝑡)
graphiquement.
e. Trouver l'équation différentielle vérifiée par 𝑖′′ grâce au résultat de la question b.
f. Par la méthode de votre choix déterminer 𝑖(𝑡), 𝑖′(𝑡) et 𝑖′′(𝑡) et tracer les fonctions
correspondantes.
Exercice 3.
Charge et décharge MM M
On réalise le circuit ci-contre. Pour 𝑡 < 0, K est ouvert et 𝑞1 = 𝑞0 , 𝑞2 = 0. A 𝑡 = 0,
on ferme K. Pour 𝑡 > 0 :
a. Exprimer 𝑖(𝑡) en fonction de 𝑞% 𝑡 et 𝑞' 𝑡 . En déduire la conservation de
la charge : 𝑞% + 𝑞' = 𝑞B .
CD
D
b. Montrer que l'équation différentielle vérifiée par 𝑖 pour 𝑡 > 0 est du type : + = 0. Identifier
C2
3
𝜏 et en déduire 𝑖(𝑡).
c. Déduire de la question précédente 𝑞% 𝑡 et 𝑞' 𝑡 . Tracer leur représentation graphique.
d. Calculer l’énergie perdue par effet joule jusqu’à l’établissement du régime permanent.
FG H5
Réponse : 𝑊+ =
'H, H, &H5
Exercice 4.
Surtension provoquée par l'ouverture d'un interrupteur MM M
On considère le circuit à droite.
Données numériques : 𝐿 = 1,0H, 𝑅 = 10kΩ, 𝑟 = 100Ω, 𝐸 = 12V, la résistance interne du générateur
est négligeable devant 𝑟.
1. Établissement du courant : à 𝒕 = 𝟎, on ferme l'interrupteur.
a. Quelle est la valeur de l'intensité dans la résistance 𝑅 pour 𝑡 > 0?
b. Déterminer la valeur 𝑖∞ de 𝑖(𝑡).
c. Déterminer l'expression de 𝑖(𝑡) pour 𝑡 > 0. Réponse : 𝑖 𝑡 =
*
T
1−
+
T&+
exp −
d. Calculer la valeur de la constante de temps 𝜏 du circuit et tracer 𝑖(𝑡).
e. Calculer l'énergie 𝑊U accumulée dans la bobine au bout de 1s.
2. L'interrupteur fermé depuis longtemps est ouvert à une
nouvelle origine des temps 𝒕 = 𝟎.
a. Calculer la nouvelle constante de temps 𝜏% du circuit.
b. Quelles sont les valeurs de 𝑖(𝑡) et de 𝑢(𝑡) pour 𝑡 ≫ 𝜏% .
c. Écrire l'équation différentielle vérifiée pas 𝑖(𝑡) puis déterminer
𝑖(𝑡). Tracer 𝑖(𝑡). Réponse : 𝑖 𝑡 =
*
+&T
+
2
T
3,
1 + exp −
d. En déduire 𝑢(𝑡) et déterminer sa valeur maximale de 𝑢max . Commenter.
2
3