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MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEURE
ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
UNIVERSITE DE BECHAR
Département des Sciences
Laboratoire de Physique des dispositifs à semiconducteurs (L.P.D.S)
http://www.univ-bechar.dz/lpds/
PHYSIQUE DES
SEMICONDUCTEURS
Notes de cours
AVEC
Exercices
Par : Dr. HASSANE BEN SLIMANE
1
INTRODUCTION
Conforme aux programmes du LMD, ce cours s’adresse aux étudiants de troisième année de
l’université dans le domaine des Sciences de la Matière. Dans cette première partie de ce
cours, une analyse simple de la statistique des porteurs de charge de semi-conducteurs
intrinsèques et extrinsèques de type N et P est exposés. Le cours qui présente les principales
notions à comprendre et à connaître est accompagné des exercices d’applications directes afin
d’assimiler immédiatement les notions traitées.
2
Statistique des porteurs de charge
RESUME DU COURS
La description phénoménologique des modes de production des porteurs de charges est très
importante dans la physique des semiconducteurs. Il est indispensable de chiffrer les résultats
de cette production est donc de déterminer la concentration des électrons et trous. Nous nous
intéressons ici à analyser le semiconducteur non dégénérer.
1. DENSITE DES ETATS QUANTIQUE :
Soit un cristal de volume unité (V=1)
Dans l’intervalle E & E+dE on a :
dz états d’énergies (état quantiques).
N(E) : densité d’états quantique dans l’intervalle [E , E+dE] par unité d’énergie par unité de
volume.
N( E ) =
dz
dE
(1)
L’énergie de l’électron est donnée par la loi de dispersion :
(2)
h 2k 2
E( k ) = E C +
2m n *
h
(avec h est le constant de Planck)
h=
27
k: vecteur d’onde
PZ
m *n : masse effective de l’électron.
E+dE
E
dVp = 47p 2 dp
PY
PX
Fig. 1. Le nombre des états dans la couche [E , E+dE]
3
p2
E(k ) - E C =
2 m* n
Pare ce que l’impulsion p = hk
(3)
Nous pouvons écrire :
(4)
p = 2m*n (E - E C )
Donc :
dp =
2m * dE
2 2m * ( E - E C )
dp =
m*
2
(5)
dE
( E - EC )
Alors :
dz = 2
@Vp =
dVp
@Vp
h 3 , avec V=1
V
@Vp : Le volume d’un état quantique et le 2 signifie 2 spins
Le nombre dz est exprimé comme :
4 7 × 2m * ( E - E C ) m *
dz = 2
h3
2
dz = 47(
dE
( E - EC )
(V=1)
2 m * 3/ 2
) ( E - E C )1/ 2 dE
h2
Finalement la densité d’états quantique N(E) dans la bande de conduction du semiconducteur
est
N( E ) =
dz
dE
2m n * 3 / 2
N( E ) = 4 7( 2 ) ( E - E C )1/ 2
h
(6)
4
Par analogie et pour la densité d’états d’énergies dans la bande de valence
h 2k 2
E(k ) = E V 2m*p
N(E) = 47(
2m p *
h
2
)3 / 2 (E V - E )1/ 2
(7)
(8)
m p* : masse effective des trous.
2. CONCENTRATION DES ELECTRONS DANS LA BANDE DE CONDUCTION :
∞
(9)
n = ∫f ( E, F )N( E )dE
EC
fn(E,F) est la fonction de distribution des électrons en énergie E
f n (E, F) =
1
(distribution de Fermi-Dirac)
E-F
)
1 + exp(
kT
(10)
F : niveau de Fermi, E = E(k) est la loi de dispersion des électrons
Alors,
n = 47(
∞
(11)
∞
(12)
2m*n 3 / 2
1
(E - E C )1/ 2 dE
2 )
∫
E
F
h
E C 1 + exp(
)
kT
2m*
(E - E C )1/ 2
n = 47( 2 n )3 / 2 ∫
dE
E-F
h
E C 1 + exp(
)
kT
dE
E - EC
= x ⇒ dx =
Posons
kT
kT
F - EC
= I , E - F = (E - E C ) + (E C - F)
kT
D’où,
E - F E - EC F - EC
= x - I ce qui permet d’écrire l’équation (12) sous la forme suivante :
=
kT
kT
kT
∞
(kT)1/ 2 x1/ 2
2 m*
kTdE
n = 47( 2 n )3 / 2 ∫
1 + exp(x - I )
h
0
(13)
5
(14)
∞
x 1/ 2
27m*n kT 3 / 2 2
dE
n = 2(
)
1 + exp(x - I )
h2
7∫
0
∞
On pose :
N C = 2(
x1/ 2
27m*n kT 3 / 2
)
et
L
(
I
)
=
1/ 2
∫0 1 + exp(x - I) dx
h2
L1/ 2 (I ) : Intégrale de Fermi d’indice 1/2.
7
exp I pour - ∞ < I ≤ 1 (semiconducteur non dégénéré)
2
7
1
pour 1 < I ≤ 5 (cas intermédiaire)
2 0.25 + exp(-I )
L1/ 2 (I )
2 3/ 2
I
3
pour 5 < I < ∞ (semiconducteur dégénéré)
Alors la concentration des électrons peut s’écrire comme
n=2
(15)
NC
L (I )
7 1/ 2
NC : la densité d’états effectives dans la bande de conduction
m*n 3 / 2 T (°K ) 3 / 2
N C = 2.5 ×10 ( ) (
)
m0
300
19
3. CONCENTRATION DES TROUS DANS LA BANDE DE VALENCE :
De même manière :
EV
p = ∫(1 - f (E, F)) N(E)dE
(16)
-∞
(1 - f (E, F)) : la probabilité de trouver un trou (le trou=l’absence de l’électron)
EV
p = ∫(1 - f (E, F)) N(E)dE
-∞
2m*p
EV
(E V - E)1/2
dE
∫
E-F
h2
-∞ 1 + exp(
)
kT
dE E V - F
E -E
Posons V
= x ⇒ dx = ,
=Q ,
kT
kT
kT
p = 47(
p = 4 7(
)
3/ 2
2m*p kT
h2
∞
)
3/ 2
x1/2
∫0 1 + exp(x - Q) dx
6
p=2
(17)
NV
L (Q)
7 1/ 2
Avec la densité d’états effectives dans la bande de valence Nv est :
N V = 2(
2 7m*p kT
h2
)3 / 2
4. CAS D’UN SEMICONDUCTEUR NON DEGENERE :
Un semiconducteur non dégénéré est caractérisé par
E >> F sa veut dire que x >> I
EC
F
Eg = EC-EV
Ei
EV
Fig.2. Semiconducteur non dégénéré
∞
Donc L1/ 2 (I ) = ∫exp(x - I ) x1/ 2dx
0
∞
L1/ 2 (I ) = exp(I ) ∫x1/ 2 exp(-x )dx
0
L1/ 2 (I ) = exp(I )
7
2
Cette expression permet de réécrire l’équation (15) comme
n=2
F - EC
7
NC
)
= N C exp(
exp(I )
kT
2
7
n = N C exp(
F - EC
)
kT
(18)
Dans la bande de valence,
p = N V exp(
EV - F
)
kT
(19)
7
Dans un semiconducteur pur (intrinsèque) la concentration des électrons est égale à celle des
trous donc :
ni = n = p
n i2 = n.p = N C N V exp(
n i = N C N V exp(
- Eg
2kT
EV - EC
)
kT
)
(20)
Eg : la largeur de la bande interdite du semiconducteur (ou encore, le gap du semiconducteur)
La concentration intrinsèque peut être écrite d’une autre manière,
n i = N C exp(
Fi - E C
E -F
) = N V exp( V i )
kT
kT
Cette équation permet d’exprimer le niveau de Fermi intrinsèque Fi :
m*n
NC
E C + E V 3kT
E C + E V kT
Ln( * )
Ln(
)=
Fi =
4
mt
NV
2
2
2
(21)
La relation (21) montre que le niveau de Fermi intrinsèque est décalé par rapport au milieu de
EC + EV
3kT
m*n
la bande interdite
, d’une quantité
Ln( * ) .
4
mt
2
le niveau de Fermi n’est exactement au milieu de la band interdite que si est seulement si
3kT
m*
m*n = m*t . La quantité
Ln( n* ) est généralement assez petite, ce qui permet de supposer
4
mt
que dans un semiconducteur intrinsèque, le niveau de Fermi est au milieu de la band interdite.
5. SEMICONDUCTEUR EXTRINSEQUE :
Pour calculer la concentration n et p à partir des formules (18 et 19) il faut savoir la position
du niveau de Fermi par rapport à l’énergie de l’électron E.
Soit un semiconducteur contenant des atomes donneurs de concentration Nd et d’énergie Ed
8
n
EC
Ed
F
p
EV
Fig.3. Semiconducteur de type n
L’équation de neutralité pour un semiconducteur est
(n + n ) (p + p ) = N
d
a
d
Na
(22)
n et p sont les concentrations des électrons et trous dans les bandes de conduction et de
valence.
N d et N a sont les concentrations des atomes donneurs et accepteurs.
n d et p a sont respectivement les concentrations des électrons et trous dans les niveaux
donneurs et accepteurs.
Pour un semiconducteur de type n (Na=0 et pa=0) il nous reste que :
n + nd - p = Nd
(23)
Aux très basses températures, les seuls électrons qui sont dans la bande de conduction
proviennent du niveau donneur sous l’effet de l’ionisation thermique. Par contre, et dans ces
très basses température, les électrons de la bande de valence ne peuvent pas quitter leurs
niveaux vers la bande de conduction c’est-à-dire : la concentration des trous p=0, alors
l’équation de neutralité devient :
n + n d = Nd
(24)
Le calcule de nd, la concentration des électrons sur le niveau donneur nécessite la fonction de
distribution des électrons sur le niveau d’impuretés.
9
1
1
E -F
exp i
+1
gi
kT
gi: degré de dégénérescence du niveau d’impuretés
fe =
Pour Ei=Ed (centre donneurs) alors gi=2.
Pour Ei=Ea (centre accepteurs) alors gi=1/2.
Donc la fonction de distribution des électrons sur le niveau donneur fed est :
1
,
Ed - F
1
+1
exp
2
kT
Pour les trous sur le même niveau : f td = 1 - f ed
f ed =
La fonction de distribution des électrons sur le niveau accepteur fea est :
1
,
E -F
2 exp a
+1
kT
Pour les trous sur le même niveau : f ta = 1 - f ea
f ea =
Alors,
nd =
Nd
1
E -F
exp d
+1
2
kT
(25)
5.1. Concentration des électrons aux basses températures :
a/ Aux très basses températures
L’équation de neutralité,
n + n d = Nd
n+
Nd
Nd
= Nd ⇒ n =
1
E -F
F - Ed
exp d
+1
2 exp
+1
2
kT
kT
L’équation (18) nous permet d’écrire
Nd
F - Ed
2 exp
+1
kT
F
Posons : x = exp( ) , L’équation (26) devient :
kT
N C exp(
F - EC
)=
kT
(26)
10
1
E
N
E + Ed
x 2 + ( exp( d )) x - d exp( C
)=0
2
kT
2N C
kT
La solution de cette équation est :
@E
8N
E
1
x = ( exp d )Ln[ 1 + d exp( d ) - 1]
kT
NC
kT
4
(27)
avec @E d = E C - E d
Aux très basses températures (T ) alors NC est très petite, alors 8Nd>>NC. D’autre part
@E d >> kT .
8N d
@E
exp( d ) >> 1 , ce qui permet de simplifier l’expression de x (équation 27)
NC
kT
On trouve finalement le niveau de Fermi à partir de x comme :
Donc,
E C + E d kT
N
+
Ln ( d )
2
NC
2
Avec l’équation (18)
F=
On trouve facilement :
@E d
NC Nd
)
exp(2kT
2
n=
(28)
La concentration des trous dans ce cas est exprimée à partir de la loi d’action de masse :
p=
ni2
n
b/ Températures modérées :
Dans ce cas NC devient supérieur à Nd (expression 27)
@E
8N d
<< 1 et exp( d ) proche de l’unité
NC
kT
Alors,
1+
1
@E
8N d
exp( d ) ⇔(1 + T)1/ 2 ≈ 1 + T
2
kT
NC
d’où,
11
1+
8N d
@E
8N d
@E
exp( d ) - 1 =
exp( d )
2N C
kT
NC
kT
En utilisant l’équation (27) comme précédemment, on peut arriver à exprimer F et n
F = E C + kTLn
Nd
NC
Alors,
(29)
n = Nd
ni2 ni2
p=
=
n
Nd
5.2. Concentration des électrons aux températures élevées :
Dans le domaine de haute température, n d ≈ 0 , et les trous commencent à apparaitre dans la
bande de valence. L’équation de neutralité (23) devient :
(30)
n - p = Nd
On sait que,
n.p = n i 2
ni2
= Nd ⇒
Alors, n n
n 2 - N d n i 2 - n i2 = 0
Nd
F - EC
4n i 2
(1 +
)
2 + 1) = N C exp(
2
Nd
kT
Ce qui donne,
n=
Nd
4n i 2
(1 +
+ 1)]
2NC
N d2
a/ Températures modérées :
F = E C + kTLn[
n i << N d
D’où,
F = E C + kTLn (
Nd
)
NC
et,
n = N C exp(
F - EC
)
kT
12
n = Nd
b/ Hautes températures :
Dans ce cas : n i >> N d
F ≈ E C + kTLn (
ni
) on trouve,
NC
n = ni
En utilisant l’équation (17), on peut retrouver,
E C + E V kT
N
+
Ln( V )
2
2
NC
Dans un semiconducteur extrinsèque non dégénéré, le nombre de porteurs varie
F=
considérablement avec la température, les trois régime distingué précédemment sont montrée
dans le tableau suivant :
13
La concentration électronique :
@E d
NC Nd
exp()
n=
2
2kT
La concentration des trous
ni2
p=
n
EC
Ed
F
EV
Régime d’ionisation des impuretés
EC
Ed
F
EV
La concentration électronique :
n = Nd
La concentration des trous
ni2
p=
n
Régime de saturation
EC
Ed
F
La concentration électronique :
n = ni
La concentration des trous
p = n = ni
EV
Régime intrinsèque
La figure suivante montre la variation de la concentration des électrons dans un
semiconducteur, les trois régimes de température sont bien visibles.
Régime intrinsèque
Régime de saturation
1/Ti
Régime d’ionisation
des impuretés
Ln (n)
1/TS
1/T
Fig 4. Concentration des électrons en fonction de la température
14
EXERCICES
Exercice 1
Quelle doit être à 300°K la différence minimale d’énergie entre le niveau EC et le niveau de
fermie F pour qu’on puisse utiliser l’approximation f b (E) = exp[ -(E-F)/kT] à la place de la
fonction de Fermi-Dirac et ne commettre qu’une erreur de 1%.
Solution :
f b (E) = exp[ -(E-F)/kT] (Distribution de Boltzmann)
1
(Distribution de Fermi-Dirac)
E-F
)
1 + exp(
kT
L’erreur r égale à :
f n (E, F) =
r=
fn - fb
E-F
= exp(
)
fn
kT
Ln r =
E-F
1
, r=
100
kT
⇒
E-F
= -2Ln10
kT
F-E
= 2Ln10 ⇒ F = E + 4.6kT
kT
La valeur minimale de E est E=EC ⇒ F - E C = 4.6kT
⇒
EXERCICE 2
Soit un semiconducteur (n-Ge), on augmente la température à partir du 0°K, calculer la
température à laquelle 10%
des atomes donneurs sont ionisés. On
16
3
donne N d = 10 cm ,E d = E c 0.01eV .
Solution
Aux basses températures l’expression qui donne la concentration des électrons n
est donné par l’équation (28):
n=
@E d
NC Nd
exp()
2
2kT
La concentration des atomes donneurs est égale à Nd
15
EC
Ed
F
10%
T?
EV
On cherche la température T pour laquelle 10% des atomes sont ionisés, c’est-à-dire la
température où n =
Nd
=
10
Nd
10
@E d
NC Nd
)
exp(2kT
2
N d2 N C N d
@E d
=
exp()
100
2
kT
Nd
@E d
= N C exp()
50
kT
On a pour le Ge ( m*n = 1.58m 0 )
( NC
= 2.5 ×1019 (
m*n 3 / 2 T(°K ) 3 / 2
) (
) )
m0
300
Après le calcule on trouve N C = aT 3 / 2 où, a= 9.55 105cm-3
donc on peut écrire
Nd
@E d
= aT 3 / 2 exp()
50
kT
Ln (
Nd
3
@E d
) = LnT 50a
2
kT
@E d
=
k
Alors la relation précedente peut écrire comme
Si on pose @E d = kT0
Ln (
T0 =
Nd
3
T
) = LnT - 0
50a
2
T
Nd
3
T
T
) = Ln ( .T0 ) - 0 50a
2
T0
T
Nd
3
T T
Ln (
Ln ( 0 ) - 0
3/ 2 ) = 2
T T
50aT0
Ln (
16
Posons :
T0
=x
T
L’équation devient
Nd
3
Ln ( x ) - x
3/ 2 ) = 2
50aT0
A.N :
2
Ln ( x ) = 7.33 - x
3
La solution de cette équation est exprimée graphiquement comme suit :
Ln (
10
8
Y
6
4
2
0
-2
0
2
4
6
8
10
X
2
Le point d’intersection entre y = Ln( x ) et y = 7.33 - x est x = 7.97
3
116
T0
Alors
= 7.97 ⇒ T =
= 14.55°K
T
7.97
Exercice 3
Trouver la position du niveau de Fermi et la concentration en fonction de T dans de un semiconducteur intrinsèque. Comment change la concentration si on augmente la température de
200 à 300K. On donne : E g (eV) =0.785 - 4.10
4
T.
17
EXERCICE 4
La concentration des électrons dans un semi-conducteur intrinsèque à 400K est 1.38 10
15
3
cm- , calculer le produit des masses effectives des électrons et des trous si :
-4
Eg(eV) = 0.785 - 4 .10 T .
EXERCICE 5
Donner la liaison entre la concentration et le niveau Fermi dans un semi-conducteur si la loi de dispersion est sous la forme de E n (k ) = E c +(1 - a k 2 ) h 2 k 2 2m n , a est constant
EXERCICE 6
Trouver l'intervalle de température dans lequel la concentration des électrons est constante est
égale à la concentration des donneurs. Trouver les limites de cet intervalle dans le cas du Ge
dopé
avec une concentration de 21015 cm
3
atomes donneurs qui constituent un niveau
énergétique E d = E c - 0.01eV , si la largeur de la bande interdite change par la loi
E g = 0.785 - 4.10 4 TeV .
18