Devoir maison n°7.

Lycée Raynouard
Brignoles
Décembre 2008
Terminale S
Mathématiques
[ Devoir maison n°7. \
Exponentielle et équations différentielles.
E XERCICE 1
1. Dans cette question, on demande au candidat d’exposer des connaissances.
On suppose connu le résultat suivant :
La fonction x 7→ ex est l’unique fonction ϕ dérivable sur R telle que ϕ′ = ϕ, et
ϕ(0) = 1.
Soit a un réel donné.
a. Montrer que la fonction f définie sur R par f (x) = eax est solution de
l’équation y ′ = a y.
b. Soit g une solution de l’équation y ′ = a y. Soit h la fonction définie sur R
par h(x) = g (x)e−ax . Montrer que h est une fonction constante.
c. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation y ′ = a y.
2. On considère l’équation différentielle (E) : y ′ = 2y + cos x.
a. Déterminer deux nombres réels a et b tels que la fonction f 0 définie sur
R par :
f 0 (x) = a cos x + b sin x
soit une solution f 0 de (E).
b. Résoudre l’équation différentielle (E0 ) : y ′ = 2y.
c. Démontrer que f est solution de (E) si et seulement si f − f 0 est solution
de (E0 ).
d. En déduire les solutions de (E).
³π´
e. Déterminer la solution k de (E) vérifiant k
= 0.
2
E XERCICE 2
On se propose de déterminer toutes les fonctions f définies et dérivables sur
l’intervalle ]0 ; +∞[ vérifiant l’équation différentielle
(E ) :
1.
x f ′ (x) − (2x + 1) f (x) = 8x 2 .
a. Démontrer que si f est solution de (E ) alors la fonction g définie sur l’inf (x)
tervalle ]0 ; +∞[ par g (x) =
est solution de l’équation différentielle
x
(E ′ ) : y ′ = 2y + 8.
b. Démontrer que si h est solution de (E ′ ) alors la fonction f définie par
f (x) = xh(x) est solution de (E ).
2. Résoudre (E ′ ) et en déduire toutes les solutions de (E ),
3. Existe-t-il une fonction f solution de l’équation différentielle (E ) dont la représentation graphique dans un repère donné passe par le point A(ln 2 ; 0)? Si
oui la préciser.
E XERCICE 3
Partie A : question de cours
1. Soit f une fonction réelle définie sur [a ; +∞[. Compléter la phrase suivante :
« On dit que f admet une limite finie ℓ en +∞ si . . . »
2. Démontrer le théorème « des gendarmes »: soient f , g et h trois fonctions définies sur [a ; +∞[ et ℓ un nombre réel. Si g et h ont pour limite commune ℓ
quand x tend vers +∞, et si pour tout x assez grand g (x) 6 f (x) 6 h(x), alors
la limite de f quand x tend vers +∞ est égale à ℓ.
Partie B
Soit f la fonction définie sur R par
f (x) = ex − x − 1
et soit (C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan. La droite
(D) d’équation y = −x − 1 est asymptote à (C ). On a représenté sur la feuille annexe
la courbe (C ) et la droite (D).
1. Soit a un nombre réel. Écrire, en fonction de a, une équation de la tangente
(T ) à (C ) au point M d’abscisse a.
2. Cette tangente (T ) coupe la droite (D) au point N d’abscisse b. Vérifier que
b − a = −1.
3. En déduire une construction, à effectuer sur la feuille annexe, de la tangente
(T ) à (C ) au point M d’abscisse 1,5. On fera apparaître le point N correspondant.
ANNEXE (à rendre 6avec la copie)
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
(C )
0
-4
−4
-3
−3
-2
−2
0O
-1
−1
1
1
2
2
-1
−1
-2
−2
-3
−3
-4
−4
2
(D)
3
Partie C
1. Déterminer graphiquement le signe de f .
2. En déduire pour tout entier naturel non nul n les inégalités suivantes :
1
(1) e n > 1 +
1
n
−1
(2) e n+1 > 1 −
1
n +1
3. En utilisant l’inégalité (1), démontrer que pour tout entier naturel non nul n
µ
¶
1 n
6e
1+
n
4. En utilisant l’inégalité (2), démontrer que pour tout entier naturel non nul n
µ
¶
1 n+1
e 6 1+
n
5. Déduire des questions précédentes un encadrement de
µ
¶
1 n
,
1+
n
puis sa limite en +∞.
E XERCICE 4
A - Restitution organisée de connaissances
ex
= +∞.
x→+∞ x
On suppose connu le résultat suivant : lim
Démontrer que : lim xe−x = 0.
x→+∞
B - Étude d’une fonction
On considère la fonction f définie sur R par :
f (x) = (x + 1)e−x .
³ →
− →
−´
On note (C ) sa représentation graphique dans un repère orthonormé O, ı ,  du
plan. On prendra 4 cm pour unité graphique.
1. Cette question demande le développement d’une certaine démarche comportant plusieurs étapes. La clarté du plan d’étude, la rigueur des raisonnements
ainsi que la qualité de la rédaction seront prises en compte clans la notation.
Étudier les variations de la fonction f et les limites aux bornes de son ensemble de définition. Résumer ces éléments dans un tableau dc variations le
plus complet possible.
2. Tracer la courbe (C ). On fera apparaître les résultats obtenus précédemment.
C - Étude d’une famille de fonctions
Pour tout entier relatif k, on note f k la fonction définie sur R par :
f k (x) = (x + 1)ek x .
On note C k la courbe représentative de la fonction f k dans un repère orthonormal
du plan.
On remarque que le cas k = −1 a été traité dans la partie B, car on a f −1 = f et
C −1 = C .
1.
a. Quelle est la nature de la fonction f 0 ?
b. Déterminer les points d’intersection des courbes C 0 et C 1 .
Vérifier que, pour tout entier k, ces points appartiennent à la courbe C k .
3
2. Étudier, suivant les valeurs du réel x, le signe de l’expression : (x + 1) (ex − 1).
En déduire, pour k entier relatif donné, les positions relatives des courbes C k
et C k+1.
3. Calculer f k′ (x) pour tout réel x et pour tout entier k non nul.
En déduire le sens de variation de la fonction f k suivant les valeurs de k. (On
distinguera les cas : k > 0 et k < 0.)
4. Le graphique suivant représente quatre courbes E , F , H , et K , correspondant à quatre valeurs différentes du paramètre k, parmi les entiers −1, − 3, 1
et 2.
Identifier les courbes correspondant à ces valeurs en justifiant la réponse.
K
H
1
F
K
1
H
E
F
4
E