E5.9. Double (R,C) série. Enoncé. On considère le montage suivant

www.kholaweb.com
E5.9. Double (R,C) série.
Enoncé.
On considère le montage suivant :
1.
2.
3.
4.
m
o
c
.
b
e
w
Déterminer la fonction de transfert du montage.
En utilisant l’expression de la fonction de transfert établir la relation entre les tensions u1 et u2.
Etablir directement l’équation différentielle liant les tensions u1 et u2. Conclusion.
On considère maintenant le montage suivant :
w
w
k
.
w
a
l
o
h
Pour t < 0 : interrupteur I fermé.
Pour t > 0 : interrupteur I ouvert.
Montrer que la relation entre u1 et u2 établie dans la question 2, n’est pas vérifiée.
www.kholaweb.com
E5.9. Double (R,C) série.
Corrigé.
m
o
1. Fonction de transfert du montage.
On utilise la notion de pont diviseur de tension pour déterminer la fonction de transfert du montage :



  U 2 m  N  j   Z  j   1
H
 1m D
  j  2Z
  j  2
U
  j  et D
  j  ne sont pas premiers entre eux.
Il est à noter que les polynômes complexes N
c
.
b
e
w
2. Relation entre les tensions.
Compte tenu de l’expression de la fonction de transfert on serait amené à écrire, qu’en toutes
circonstances, la réponse u2  t  à l’excitation u1  t  vérifierait la relation :
a
l
o
h
1
u2  t   u1  t 
2
  j  et
L’objet de cet exercice est de montrer que tel n’est pas le cas, car les polynômes complexes N
  j  de la fonction de transfert ne sont pas premiers entre eux, ce qui fait « perdre » un ou plusieurs
D
k
.
w
ordres à l’équation différentielle du circuit associée à la fonction de transfert.
Autrement dit, on ne peut passer de la fonction transfert à l’équation différentielle en régime linéaire
  j  et D
  j  de la fonction de transfert sont premiers entre eux
que si les polynômes complexes N
w
w
3. Equation différentielle du circuit.
L’équation vérifiée par l’intensité du courant dans le circuit est :
d  u1  u2  u2
u u
du
i  1 2 C
 C 2
R
dt
R
dt
u1
du
du 
u
 C 1  2 2  C 2 
R
dt
dt 
R
du2 u2 1  du1 u1 

 


dt RC 2  dt RC 
On obtient ainsi une équation différentielle d’ordre 1 que l’on aurait obtenue si la simplification par
  j  n’avait pas été effectuée dans l’expression de la fonction de transfert.
Z
4. Nouvelle relation entre les tensions.
Pour t < 0 la tension u2 du fait de la présence d’un interrupteur en position fermée aux bornes de la
dérivation. On peut aussi supposer de l’existence d’un régime permanent : le condensateur de gauche
a eu le temps de se charger et le courant i circule dans les deux premiers résistors de gauche et dans
l’interrupteur fermé. On a donc :
E E
u1  Ri  R

2R 2
En résumé :
E
Pour t  0 : u1 
;
u2  0
2
Pour t > 0, L’équation vérifiée par l’intensité du courant dans le circuit est :
d  u1  u2 
E  u1 u1  u2
du u
i

C
C 2  2
R
R
dt
dt
R
E  u1 u1
du
E
u
du
 C 1 
2 3 1 C 1
R
R
dt
R
R
dt
du
du1
u
E
2 E  3u1  RC 1

3 1  2
dt
dt
RC
RC
La solution de cette équation différentielle est de la forme :
2
 3t 
u1  E  A exp  

3
 RC 
Comme il y a continuité de la tension aux bornes d’un condensateur on peut alors écrire :
2
E
1
u1  t  0   u1  t  0  soit : E  A   A   E
3
2
6
On obtient ainsi :
2
m
o
c
.
b
e
w
2 1
 3t  
u1  E   exp  

 RC  
3 6
du2 u2
u 
1  du

  1  1  d’après la question 3, on obtient alors :
dt RC 2  dt RC 
du2 u2
11 E
 3t  E  2 1
 3t   

 
exp  
 exp  



dt RC 2  2 RC
 RC  RC  3 6
 RC   
a
l
o
h
Comme :
k
.
w
du2 u2
E 1 1
 3t  



  exp  
dt RC RC  3 6
 RC  
La solution de cette nouvelle équation différentielle est la somme de la solution de l’équation
 t 
différentielle sans second membre de la forme B exp  
 et d’une solution particulière de la
 RC 
E
 3t 
forme  D exp  
 :
3
 RC 
 t  E
 3t 
u2  B exp  
   D exp  

 RC  3
 RC 
On reporte cette expression dans l’équation différentielle :
B
E
D
E
E
 t  3D
 3t  B
 t 
 3t 
 3t 

exp  
exp  
exp  

exp  

exp  





RC
 RC  RC
 RC  RC
 RC  3RC RC
 RC  3RC 6 RC
 RC 
On obtient l’expression de D :
E
D
12
La continuité de la tension u2 permet d’écrire que :
E E
E
u2  t  0   u2  t  0  soit : B    0  B  
3 12
4
On obtient finalement :
w
w
1 1
 t  1
 3t  
u2  E   exp  
  exp  

 RC  12
 RC  
3 4
On constate que :
1 1
1 1
 t  1
 3t   u1
 3t  
u2  E   exp  
  exp  
    E   exp  

 RC  12
 RC   2
 RC  
3 4
 3 12
On peut remarquer que lorsque le régime permanent est atteint on retrouve l’égalité de la question 2 :
E 1
u2  t      u1  t   
3 2