Etude de la fonction logarithme népérien I_ Historique. John Napier

Etude de la fonction logarithme népérien
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Etude de la fonction logarithme népérien
I_ Historique.
John Napier, Neper en français pour respecter la prononciation, un écossais invente le logarithme
pour simplifier les calculs astronomiques (livre publié en 1614).
L'idée est de transformer les multiplications en additions.
A l'époque, on ne connaissait pas encore la notion de fonction.
La fonction logarithme népérien se note ln.
La relation fondamentale est : ln ( a b)=ln ( a)+ ln ( b)
On écrit ln(x), on prononce « èl èn de x ».
La blague.
Quel est le plus beau nombre réel ?
ln(3) ( Hélène de Troie, la plus belle des mortelles )
II_ Définitions.
Définition 1.
La fonction ln est définie sur les réel strictement positif et vérifie pour tout a> 0 et b>0 la
relation : ln(ab)=ln(a)+ln( b)
Elle est dérivable et le nombre dérivé en 1 est 1.
Définition 2.
La fonction ln est définie sur les réel strictement positif.
' 1
Elle est dérivable et sa fonction dérivée est ( ln ( x ) ) =
x
On peut démontrer que ces deux définitions sont équivalentes. Ce n'est pas le but de ce cours.
On ne va pas démontrer ce résultat sauf si le lecteur en fait la demande.
A savoir.
La fonction ln est définie sur les réel strictement positif, ℝ *+ = ] 0 ; +∞ [
Pour tout a > 0 et b > 0 ln vérifie la relation : ln ( ab)=ln (a)+ ln ( b)
' 1
Sa fonction dérivée est ( ln ( x ) ) =
x
Sa limite en + ∞ est +∞
Cette dernière notion signifie que quelque soit le nombre N choisit, aussi grand que l'on veut, à
partir d'un certain nombre x 0 , ln( x )> N .
III_ Etude de la fonction ln.
ln est définie sur ℝ*+ =] 0 ; +∞ [
Fonction dérivée.
1
( ln ( x ) )'=
x
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x> 0 donc la fonction dérivée est strictement positive.
Tableau de variations.
On a placé deux valeurs et leurs images dans le tableau de variations.
ln ( 1)=0 et ln ( e)=1
Le nombre e est défini comme l'unique antécédent de 1.
Représentation graphique.
On a tracé la tangente au point
A (1 ; 0)
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IV_ Propriétés algébriques.
Pour tout a > 0 et b > 0 ln vérifie la relation : ln ( ab)=ln (a)+ ln ( b)
On en déduit : ln ( 1)=0
ln (1)=ln(1×1)
ln (1)=ln(1)+ ln (1)
On simplifie à droite et gauche par ln(1)
0=ln(1)
1
=−ln ( a )
a
( )
1
ln ( a× )=ln ( 1 )
a
1
1
ln ( a )+ ln ( )=0 donc ln ( )=−ln ( a )
a
a
ln
On déduit de même :
a
ln
=ln ( a ) − ln ( b )
b
( )
n
ln ( a ) =n ln ( a )
e est le nombre tel que ln ( e)=1 donc :
ln ( e 2 ) =2
3
ln ( e ) =3
ln ( e n ) = n
ln ( e−1 ) =ln
1
=−ln ( e 2 ) =−2
2
e
( )
) =ln 1 =−ln ( e ) =−n
(e )
ln ( e−2 ) =ln
ln ( e−n
( 1e ) =−ln ( e)=−1
n
n