TES IE3 fonction logarithme népérien S1 2012

TES
IE3 fonction logarithme népérien
S1 2012-2013
Exercice 1 : (3 points)
Déterminer la valeur exacte, puis si nécessaire, l’arrondi au centième de la (ou des) solution(s) des
équations suivantes :
a) ex = 3
b)
e-x =
1
2
c)
e(x²) = 2
Exercice 2 : (3 points)
a) Justifier l’affichage ci-dessous obtenu avec le logiciel XCas :
b) Résoudre l’inéquation -2 ln(x) + 1 ≥ 0.
c) En déduire le sens de variation de la fonction f définie sur ]0 ; + ∞[ par f(x) =
ln x
.
x²
Exercice 3 : Recherche d’un bénéfice maximal (4 points)
Une entreprise produit et vend des pièces pour hélicoptères. Sa production mensuelle, comprise entre
100 et 600 pièces, est intégralement vendue. Le bénéfice mensuel, en dizaines de milliers d’euros, est
modélisé par la fonction f définie sur l’intervalle [1 ;6] par :
f(x) = -x² + 10x – 9 – 8 ln x.
où x est le nombre de pièces produites et vendues, exprimé en centaines de pièces.
a) Montrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle [1 ;6], f’(x) =
-2(x – 1)(x – 4)
.
x
b) Etudier le signe de f’(x) sur l’intervalle [1 ;6].
c) En déduire le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [1 ;6].
d) Quelle est la quantité de pièces à produire pour obtenir un bénéfice mensuel maximal ?
Calculer ce bénéfice arrondi à l’euro près.
1
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IE3 fonction logarithme népérien
S2 2012-2013
Exercice 1 : (3 points)
Déterminer la valeur exacte, puis si nécessaire, l’arrondi au centième de la (ou des) solution(s)
des équations suivantes :
a) e2x = 2
b)
e3x+ 1 =
5
3
c)
e(x²) = 3
Exercice 2 : (3 points)
a) Justifier l’affichage ci-dessous obtenu avec le logiciel XCas :
b) Résoudre l’inéquation -3 ln(x) + 1 ≥ 0.
c) En déduire le sens de variation de la fonction f définie sur ]0 ; + ∞[ par f(x) =
ln x
.
x3
Exercice 3 : Recherche d’un bénéfice maximal (4 points)
Une entreprise produit et vend des pièces pour hélicoptères. Sa production mensuelle,
comprise entre 200 et 1000 pièces, est intégralement vendue. Le bénéfice mensuel, en milliers
d’euros, est modélisé par la fonction f définie sur l’intervalle [2 ;10] par :
f(x) = -x² + 20x – 10 – 32 ln x.
où x est le nombre de pièces produites et vendues, exprimé en centaines de pièces.
a) Montrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle [2 ;10], f’(x) =
-2(x – 2)(x – 8)
.
x
b) Etudier le signe de f’(x) sur l’intervalle [2 ;10].
c) En déduire le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [2 ;10].
d) Quelle est la quantité de pièces à produire pour obtenir un bénéfice mensuel maximal ?
Calculer ce bénéfice arrondi à l’euro près.
2
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IE3 fonction logarithme népérien
CORRECTION
S1 2012-2013
Exercice 1 : (3 points)
Déterminer la valeur exacte, puis si nécessaire, l’arrondi au centième de la (ou des) solution(s)
des équations suivantes :
a) ex = 3
a) ex = 3
e-x =
b)
ln(ex) = ln 3
1
2
e(x²) = 2
c)
x = ln 3
ln 3 ≈ 1,10
La solution de cette équation est ln 3.
b) e-x =
1
2
ln(e-x) = ln
1
2
-x = - ln 2
x = ln 2
ln 2 ≈ 0,69
La solution de cette équation est ln 2.
c) e(x²) = 2
-
ln(ex²) = ln 2
ln 2 ≈ - 0,83 et
x² = ln 2
x=-
ln 2 ou x =
ln 2
ln 2 ≈ 0,83
Les solutions de cette équation sont -
ln 2 et
ln 2.
Exercice 2 : (3 points)
a) Justifier l’affichage ci-dessous obtenu avec le logiciel XCas :
b) Résoudre l’inéquation -2 ln(x) + 1 ≥ 0.
c) En déduire le sens de variation de la fonction f définie sur ]0 ; + ∞[ par f(x) =
a) Pour x > 0, f(x) =
ln x
.
x²
ln x u(x)
=
avec u(x) = ln x et v(x) = x²
x² v(x)
u est dérivable sur ]0 ;+ ∞[ et v est dérivable sur
.
Donc f est dérivable sur ]0 ;+ ∞[.
Pour x > 0, v’(x) =
u’(x) =
u’(x)×v(x) – u(x)×v’(x)
(v(x))²
1
et v’(x) = 2x
x
1
×x² - (ln x)×2x
x
x – 2x×ln x x(1 – 2 ln x) - 2 ln x + 1
=
=
=
Donc v’(x) =
x4
x×x3
x3
(x²)²
b) -2 ln x + 1 ≥ 0
- 2 ln x ≥ - 1
ln x ≤
1
2
x ≤ e0,5
3
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IE3 fonction logarithme népérien
CORRECTION
e0,5 =
S1 2012-2013
e
L’ensemble des solutions de cette inéquation est S = ]0 ; e]
c) Pour x > 0 , f’(x) est du signe de -2 ln x + 1.
On en déduit que f est croissante sur ]0 ; e] et décroissante sur [ e ;+ ∞[.
Vérification en visualisant la représentation graphique de f :
e
Exercice 3 : Recherche d’un bénéfice maximal (4 points)
Une entreprise produit et vend des pièces pour hélicoptères. Sa production mensuelle,
comprise entre 100 et 600 pièces, est intégralement vendue. Le bénéfice mensuel, en dizaines
de milliers d’euros, est modélisé par la fonction f définie sur l’intervalle [1 ;6] par :
f(x) = -x² + 10x – 9 – 8 ln x.
où x est le nombre de pièces produites et vendues, exprimé en centaines de pièces.
a) Montrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle [1 ;6], f’(x) =
-2(x – 1)(x – 4)
.
x
b) Etudier le signe de f’(x) sur l’intervalle [1 ;6].
c) En déduire le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [1 ;6].
d) Quelle est la quantité de pièces à produire pour obtenir un bénéfice mensuel maximal ?
Calculer ce bénéfice arrondi à l’euro près.
a) f est dérivable sur [1 ;6] car les fonctions x
fonction x
-x² + 10x – 9 est dérivable sur Y et la
-8 ln x est dérivable sur ]0 ; + ∞[.
f’(x) = -2x + 10 –
8 -2x² + 10x – 8 -2(x² - 5x + 4) -2(x – 1)(x – 4)
=
=
=
x
x
x
x
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IE3 fonction logarithme népérien
CORRECTION
S1 2012-2013
b) Sur l’intervalle [1 ;6], f’(x) est du signe de P(x) = -2(x – 1)(x – 4)
Tableau de signes :
x
-2(x – 1)
x-4
P(x)
1
0
4
+
0
6
+
-
0
0
c) Tableau de variation de f :
x 1
f'
4
+
6
-
15 - 8×ln 4
f(x)
0
15 - 8×ln 6
f(1) = -1² + 10×1 – 9 - 8×ln 1 = -1 + 10 – 9 - 8×0 = 0
f(4) = -4² + 10×4 – 9 - 8×ln 4 = -16 + 40 – 9 - 8×ln 4 = 15 - 8×ln 4
f(6) = -6² + 10×6 – 9 -8×ln 6 = -36 + 60 – 9 - 8×ln 6 = 15 - 8×ln 6
d) Le maximum de f est atteint pour x = 4 soit pour 400 pièces produites.
La valeur de ce maximum est 15 - 8×ln 4 ≈ 3,9096 ce qui correspond au bénéfice
maximum de 39 010 €.
Vérification en visualisant la représentation graphique de f :
5
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CORRECTION
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Exercice 1 : (3 points)
Déterminer la valeur exacte, puis si nécessaire, l’arrondi au centième de la (ou des) solution(s)
des équations suivantes :
a) e2x = 2
a) e2x = 2
b)
e3x+ 1 =
ln(e2x) = ln 2
La solution de cette équation est
b) e3x+ 1 =
5
3
ln(e3x+ 1) = ln
5
3
2x = ln 2
x=
c)
e(x²) = 3
ln 2
2
ln 2
≈ 0,35
2
ln 2
.
2
5
3
3x + 1 = ln 5 – ln 3
x=
c) e(x²) = 3
-
ln 5 – ln 3 – 1
3
ln(ex²) = ln 3
ln 3 ≈ -1,05 et
ln 5 – ln 3 – 1
≈ -0,16
3
x² = ln 3
x=-
ln 3 ou x =
ln 3
ln 3 ≈ 1,05
Les solutions de cette équation sont -
ln 3 et
ln 3.
Exercice 2 : (3 points)
a) Justifier l’affichage ci-dessous obtenu avec le logiciel XCas :
b) Résoudre l’inéquation -3 ln(x) + 1 ≥ 0.
c) En déduire le sens de variation de la fonction f définie sur ]0 ; + ∞[ par f(x) =
a) Pour x > 0, f(x) =
ln x
.
x3
ln x u(x)
=
avec u(x) = ln x et v(x) = x3
x3 v(x)
u est dérivable sur ]0 ;+ ∞[ et v est dérivable sur
.
Donc f est dérivable sur ]0 ;+ ∞[.
Pour x > 0, v’(x) =
u’(x) =
u’(x)×v(x) – u(x)×v’(x)
(v(x))²
1
et v’(x) = 3x²
x
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CORRECTION
S2 2012-2013
1 3
×x - (ln x)×3x²
x
x² - 3x²×ln x x²(1 - 3×ln x) – 3 ln x + 1
Donc v’(x) =
=
=
=
3
(x )²
x6
x²×x4
x4
b) -3 ln x + 1 ≥ 0
e1/3 =
3
1
ln x ≤
3
- 3 ln x ≥ - 1
x ≤ e1/3
e (racine cubique de e) ≈ 1 ,936
L’ensemble des solutions de cette inéquation est S = ]0 ;
3
e]
c) Pour x > 0 , f’(x) est du signe de -2 ln x + 1.
On en déduit que f est croissante sur ]0 ;
3
e] et décroissante sur [
3
e ;+ ∞[.
Vérification en visualisant la représentation graphique de f :
3
e
Exercice 3 : Recherche d’un bénéfice maximal (4 points)
Une entreprise produit et vend des pièces pour hélicoptères. Sa production mensuelle, comprise
entre 200 et 1000 pièces, est intégralement vendue. Le bénéfice mensuel, en milliers d’euros,
est modélisé par la fonction f définie sur l’intervalle [2 ;10] par :
f(x) = -x² + 20x – 10 – 32 ln x.
où x est le nombre de pièces produites et vendues, exprimé en centaines de pièces.
a) Montrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle [2 ; 10], f’(x) =
-2(x – 2)(x – 8)
.
x
b) Etudier le signe de f’(x) sur l’intervalle [2 ;10].
c) En déduire le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [2 ;10].
d) Quelle est la quantité de pièces à produire pour obtenir un bénéfice mensuel maximal ?
7
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IE3 fonction logarithme népérien
CORRECTION
S2 2012-2013
Calculer ce bénéfice arrondi à l’euro près.
a) f est dérivable sur [2 ;10] car les fonctions x
-x² + 20x – 10 est dérivable sur Y et la
-32 ln x est dérivable sur ]0 ; + ∞[.
fonction x
32 -2x² + 20x – 32 -2(x² - 10x + 16) -2(x – 2)(x – 8)
f’(x) = -2x + 20 –
=
=
=
x
x
x
x
b) Sur l’intervalle [2 ;10], f’(x) est du signe de P(x) = -2(x – 2)(x – 8)
Tableau de signes :
x
-2(x – 2)
x-8
P(x)
2
0
8
+
0
+
-
0
0
c) Tableau de variation de f :
x 2
f'
10
8
10
+
86 - 32×ln 8
f(x)
26 - 32×ln 2
90 - 32×ln 10
f(2) = -2² + 20×2 – 10 - 32×ln 2 = -4 + 40 – 10 - 32×ln 2 = 26 - 32×ln 2
f(8) = -8² + 20×8 – 10 - 32×ln 8 = -64 + 160 – 10 - 32×ln 8 = 86 - 32×ln 8
f(10) = -10² + 20×10 – 10 - 32×ln 10 = -100 + 200 – 10 - 32×ln 10 = 90 - 32×ln 10
d) Le maximum de f est atteint pour x = 8 soit pour 800 pièces produites.
La valeur de ce maximum est 86 - 32×ln 8 ≈ 19,458 ce qui correspond au bénéfice
maximum de 19 458 €.
Vérification en visualisant la représentation graphique de f :
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