Résumé de cours : Primitives et intégrales.

Résumé de cours : Primitives et intégrales.
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http://www.chez.com/myismail
Maths-Terminales ES.
Mr Mamouni : [email protected]
Vendredi 13 Janvier 2006.
Définition.
On appelle primitive de f sur un intervalle I, toute fonction F , dérivable sur
I telle que :
La fonction
F0 = f
Remarque.
Si F est une primitive de f sur I, toutes les autres primitives de f s’écrivent
sous la forme :
F + c où c est une constante.
k (Constante)
kx
x
xn
xn+1
n+1
1
x2
−
1
xn
−
1
√
x
√
2 x
– Situations composées.
1
La fonction Sa primitive
x2
2
Tableau des primitives.
– Situations simples.
Sa primitive
1
(n − 1)xn−1
1
x
–
La fonction Sa primitive
La fonction Sa primitive
un+1
n+1
u0 un
u0
u2
−
–
–
1
u
–
u0
un
−
1
(n − 1)un−1
u0
√
u
√
2 u
–
–
Z b
1
La valeur moyenne de f sur [a, b] est
f (t) dt.
b
−
a
a
Z b
Z b
Z b
(f (t) + g(t)) dt =
f (t) dt +
g(t) dt.
a
a
a
Z b
Z b
cf (t) dt = c
f (t) dt.
a
a
Z b
f (t) dt ≥ 0.
Si f ≥ 0 sur [a, b], alors
a
Z b
f (t) dt ≤ 0.
Si f ≤ 0 sur [a, b], alors
Z b
Za b
f (t) dt ≤ 0
g(t) dt.
Si f ≤ g sur [a, b], alors
a
a
Z
a
b
a
a
– L’aire, (la surface) de la partie située entre l’axe des abscisses et la courbe
de f sur [a, b] est :
Z b
f (t) dt.
A=
Notion d’intégrale.
Si f est continue sur [a, b], son integrale sur [a, b] est le nombre réel noté
Z b
f (t) dt, défini par :
f (t) dt = F (b) − F (a) où F est une primitive de f sur [a, b]
F (b) − F (a) est souvent noté par [F (t)]ba , crochet de F sur [a, b].
Propriétés
desZ intégrales. Z
Z c
b
c
f (t) dt =
f (t) dt +
f (t) dt. Relation de Chasles.
–
a
b
Z a
Z b
Za a
f (t) dt = 0 et
f (t) dt = −
f (t) dt.
–
a
b
Fin.
a
2