PRIMITIVES

PRIMITIVES
Reconnaitre la courbe d'une primitive
On a :
Définition :
f est une fonction définie sur un intervalle I.
Une primitive de f sur I est une fonction F, dérivable sur I, et telle que :
pour tout x  I,
F’(x) = f(x).
et :
Théorème : Soit f une fonction définie sur un intervalle de IR, C la courbe
représentative de f et x 0 un élément de I.
f ’(x0)> 0 sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle.

Si

Si f ’(x0) <0 sur un intervalle, alors
intervalle.

f ’(x0) = et f  change de signe en x0 alors f admet un extremum
(maximum ou minimum) en x0 .
f est décroissante sur cet
Pour reconnaitre la courbe la primitive de f, on étudie donc le signe de la fonction f. Le signe
de f détermine les variations de F.
Exemple :
Le tableau de signe d’une fonction
x
f(x)
–∞
f est :
–2/3
+
0
–1/4
–
0
+∞
+
Les variations de la fonction F sont donc :
– Croissante de –∞ à –2/3
– Décroissante de –2/3 à –1/4
– Croissante de –1/4 à +∞
La démarche est l’inverse de celle utilisée pour déterminer la courbe de la dérivée.
Il est utile de bien maitriser les méthodes de seconde :
Déterminer un tableau de signes par lecture graphique
Déterminer un tableau de variation par lecture graphique
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Reconnaitre la courbe d'une primitive
Fiche originale réalisée par Thierry Loof
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Reconnaitre la courbe d'une primitive
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Exercice 1 Asie 2011
On considère une fonction f :
− définie,
continue
et
dérivable sur l’intervalle [
− 1 ; +∞ [ ;
− strictement
croissante
sur l’intervalle [0 ; 2] ;
− strictement décroissante
sur les intervalles [−1 ;
0] et [2 ; +∞ [.
On note F la primitive de f
sur l’intervalle [ − 1 ; +∞ [
qui s’annule en 0.
La courbe C, tracée cicontre,
représente
la
fonction f dans le plan muni
d’un repère orthogonal.
Elle passe par les points : A(
− 1 ; 6), B(0 ; − 2), D(1 ;
2) et E(2 ; 6).
Elle admet au point D une
tangente passant par le
point G(0 ; − 4).
Elle admet au point B et au
point
E
une
tangente
horizontale.
7
6
E
5
4
3
2
D
1
0
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
-2
B
-3
-4
G
-5
1. Parmi les trois courbes suivantes, C1, C2, C3, préciser, en justifiant la réponse, celle qui
représente F .
-1
7
8
5
6
7
4
5
6
3
4
5
2
3
4
1
2
3
1
2
0
-1 0
-1
1
1
2
3
-2
-1
-1 0
2
3
-3
1
2
3
4
-4
-3
-2
-5
-4
-3
-6
-5
-4
-7
Courbe C1
1
-2
0
-2
0
-1 0
Courbe C2
Courbe C3
Corrigé – Revoir les explications du cours
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Reconnaitre la courbe d'une primitive
Exercice 2 France métropolitaine 2011
La courbe C donnée ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction h définie et
dérivable sur l’intervalle ]0 ; +∞ [. La droite (AB), tracée sur le graphique, est tangente à la
courbe C au point B d’abscisse 1.
4
A
3
2
1
B
0
-1
0
1
2
3
4
5
-1
6
7
C
-2
-3
Une seule des trois courbes ci-après est la représentation graphique d’une primitive de la
fonction h sur l’intervalle ]0 ; +∞ [. Préciser laquelle.
a.
b.
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
0
-1
c.
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1
-1
0
0
1
2
3
-2
-2
4
5
6
-1
-1
0
1
2
3
4
5
-2
Corrigé– Revoir les explications du cours
Exercice 3 Antilles 2011
Soit f une fonction définie et dérivable sur
. On appelle C la courbe représentative de
un repère du plan.
On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction f sur
.
x
−∞
3
1
f dans
+∞
+∞
f (x)
−1
On donne de plus : f (−2) = 0 , f (5) = 0 et f (10) = 3.
On appelle F une primitive de la fonction f sur
. Déterminer les variations de la fonction F
sur
.
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Reconnaitre la courbe d'une primitive
Exercice 4 Polynésie 2011
Soit f une fonction définie sur l’ensemble ]–∞ ; 1[]1 ; +∞ [.
On note (Cf) la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthonormal.
On suppose que f est dérivable sur chacun des intervalles ]–∞ ; 1[et ]1 ; +∞ [
On suppose que f admet le tableau de variation ci-dessous :
x
−∞
1
2
6
+∞
+∞
+∞
f
−∞
3
Pour l’affirmation ci-dessous, une seule des trois propositions convient :
VRAIE ou FAUSSE ou LES INFORMATIONS DONNEES NE PERMETTENT PAS DE CONCLURE
 La fonction F est décroissante sur l’intervalle ]1 ; 6].
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Reconnaitre la courbe d'une primitive
Corrigé 1
Le tableau de signe de la fonction
x
–1
f est :
–0,5
f(x)
+
0,7
0
–
2,8
0
+
+∞
0
–
La fonction F doit donc être croissante de –1 à –0,5 environ, décroissante de –0,5 à 0,7
environ, croissante de 0,7 à 2,8 environ et décroissante de 2,8 à +∞. La primitive de f est
donc la fonction de la courbe C2.
7
8
5
6
7
4
5
6
3
4
5
2
3
4
1
2
3
1
2
0
-1
-1 0
0
-1
1
1
2
3
-2
-2
-1
0
-1 0
-1 0
2
3
-2
-3
1
2
3
4
-4
-3
-2
-5
-4
-3
-6
-5
-4
-7
Courbe C1
1
Courbe C2
Courbe C3
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4
Corrigé 2
A
3
Le tableau de signe de la fonction
2
h est :
1
x
0
1
2,7
+∞
B
0
h(x)
–
0
+
0
–
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1
7
C
-2
-3
Une primitive de h doit donc être décroissante de 0 à 1, 1croissante de 1 à 2,7 environ, et
décroissante de 2,7 à +∞. La primitive de h est donc la fonction de la courbe a.
a.
b.
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
0
-1
c.
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1
-1
-2
-2
0
0
1
2
3
4
5
6
-1
-1
0
1
2
3
4
5
-2
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Reconnaitre la courbe d'une primitive
Corrigé 3
Soit f une fonction définie et dérivable sur
. On appelle C la courbe représentative de
un repère du plan.
On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction f sur
.
x
−∞
3
f dans
+∞
1
+∞
f (x)
−1
On donne de plus : f (−2) = 0 , f (5) = 0 et f (10) = 3.
On appelle F une primitive de la fonction f sur
. Déterminer les variations de la fonction F
sur
.
Le tableau de signe de la fonction
x
–∞
f(x)
x
–2
+
Une primitive de
de 5 à +∞.
f est :
0
5
–
0
+∞
+
h doit donc être croissante de –∞ à –2, décroissante de –2 à 5, et croissante
–∞
–2
5
+∞
F(x)
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Reconnaitre la courbe d'une primitive
Corrigé 4
Soit f une fonction définie sur l’ensemble ]–∞ ; 1[]1 ; +∞ [.
On note (Cf) la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthonormal.
On suppose que f est dérivable sur chacun des intervalles ]–∞ ; 1[et ]1 ; +∞ [
On suppose que f admet le tableau de variation ci-dessous :
x
−∞
1
2
6
+∞
+∞
+∞
f
−∞
3
Pour l’affirmation ci-dessous, une seule des trois propositions convient :
VRAIE ou FAUSSE ou LES INFORMATIONS DONNEES NE PERMETTENT PAS DE CONCLURE
 La fonction F est décroissante sur l’intervalle ]1 ; 6].
FAUX : sur ]1 ; 6], la fonction
f est positive (entre +∞ et 3) donc la fonction F est croissante.
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