PRIMITIVES I) Définition et exemples II) Existence d`une primitive III
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PRIMITIVES I) Définition et exemples II) Existence d`une primitive III
PRIMITIVES I) Définition et exemples Définition : f est une fonction définie sur un intervalle I. Une primitive de f sur I est une fonction F dérivable sur I et telle que : F ′ ( x ) = f ( x ) . Exemples : • La fonction F: x a 3x + 4 est une primitive sur R de f :x a 3 . • La fonction F: x a x 2 est une primitive sur R de f : x a 2x . 1 • La fonction F: x a est une primitive sur ]0 ;+∞[ de x 1 f :x a − 2 . x II) Existence d’une primitive 1) L’idée de continuité : f est une fonction définie sur l’intervalle I . Lorsque la courbe représentant f se trace d’un trait continu c’est-à-dire sans lever le crayon (sans sauts), on traduit cette idée intuitive en disant que : la fonction f est continue sur l’intervalle I. 2) Etudie-t-on des fonctions continues en TES ? La plupart des fonctions étudiées cette année sont continues , notamment : Propriété : les polynômes et les fractions rationnelles sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition. 3) Quelles fonctions admettent une primitive ? Théorème : Toute fonction continue sur un intervalle I admet une primitive sur I. III) Les primitives d’une fonction Théorème : 1) Si F est une primitive de f sur I, alors toutes les primitives de f sur I sont les fonctions x a F ( x ) + k , où k est une constante quelconque. 2) I étant un intervalle contenant une valeur x0 et y0 étant connu, il existe une et une seule primitive F de f sur I vérifiant la condition F( x 0 ) = y 0 . IV) Détermination de primitives 1) Primitives de f + g, de k f avec k réel Propriétés : • F et G sont des primitives respectives de f et g sur I. Alors F + G est une primitive de f + g sur I. • F est une primitive de f sur I et k est un réel. Alors k F est une primitive de k f sur I. 2) Les formules tant attendues : u désigne une fonction. f(x) a (constante) x n x ,n>0 1 xn ,n≥2 1 x 1 x ex une primitive F(x) ax 1 2 x 2 n+1 x n +1 1 1 − n − 1 x n −1 2 x ln x ex fonction f u ′u n , n > 0 u′ un ,n≥2 u′ u u′ u u ′e u fonction F 1 u n +1 n +1 1 1 − n n − 1 u −1 2 u ln u , u > 0 eu