CHAPITRE 1 PRIMITIVES
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CHAPITRE 1 PRIMITIVES
e Mathématiques 4 niveau 1 ANALYSE CHAPITRE 1 PRIMITIVES § 1.1 Primitives Définition Une fonction F est une primitive d'une fonction donnée f sur un intervalle [ a ; b ], si F'(x) = f(x) pour tout point x de cet intervalle. Exemples ( )" = 2x = f(x). 1. F(x) = x est une primitive de f(x) = 2x, car F'(x) = x2 2. F1(x) = 3x + 2 et F2(x) = 3x sont des primitives de f(x) = 3, car F1" (x) = 3 et F2 " (x) = 3. 3. F(x) = sin(x) est une primitive de f(x) = cos(x), car sin’(x) = cos(x) € 2 € € Les exemples précédents montrent que si F est une primitive de f sur [ a ; b ], alors toute fonction G, obtenue à partir de F par addition d'une constante, est aussi une primitive de f. En effet, si G(x) = F(x) + k, alors G'(x) = (F(x) + k)" = F'(x) + k' = f(x) + 0 = f(x). Mais la réciproque est aussi vraie ! Théorème € Si F et G sont deux primitives d'une même fonction f (sur un intervalle [ a ; b ]), alors ces deux fonctions ne diffèrent que d'une constante. Démonstration : Ce théorème est une conséquence du théorème des accroissements finis. Soit donc F et G deux primitives de f sur [ a ; b ]. On a donc F'(x) = f(x) et G'(x) = f(x) pour tout x de [ a ; b ]. On voit que F et G doivent être dérivables sur l'intervalle et comme telles ce sont des fonctions continues sur cet intervalle. Considérons maintenant la fonction H, définie sur [ a ; b ] par H(x) = F(x) – G(x). H est une différence de fonctions continues et dérivables. Elle vérifie donc les hypothèses du théorème des accroissements finis. Mais H'(x) = (F(x) − G(x))# = F'(x) – G'(x) = f(x) – f(x) = 0. Selon une des conséquences du théorème des accroissements finis, H est une fonction constante sur [ a ; b ] et alors, F(x) – G(x) = H(x) = k, d'où F(x) – G(x) = k. € Exemples : 1. Toutes les primitives de la fonction f(x) = 2x sont de la forme F(x) = x2 + k. 2. Toutes les primitives de la fonction f(x) = 3 sont de la forme F(x) = 3x + k. Collège Sismondi (S.Z., base cours G.E.) 2014 - 2015 chapitre 1, p.1 e Mathématiques 4 niveau 1 3. ANALYSE Déterminer la primitive de la fonction définie sur Les primitives F de f sont de la forme F(x) = 3 par f(x) = 2x - 5x + 1 s'annulant pour x = 1. x 4 5x2 + x + k; de plus l'on doit avoir F(1) = 0. 2 2 Par conséquent, on obtient F(1) = k - 1 = 0 ; k = 1 La primitive cherchée est donc la fonction F définie par F(x) = x 4 5x2 +x+1 2 2 Propriétés et recherche des primitives Il résulte directement de la définition des primitives que nous pourrons leur appliquer les propriétés démontrées pour les dérivées. En particulier nous aurons : P1 : Primitive de (f(x)+g(x)) = Primitive de f(x) + Primitive de g(x) P2 : Primitive de k⋅f(x) = k fois Primitive de f(x) où k est une constante Remarques : Il n'y a pas de méthode infaillible pour trouver une primitive d'une fonction donnée ; seule une bonne pratique de la dérivation peut permettre de "deviner" certaines primitives !!! Concrètement, nous rencontrerons principalement 3 types de situation : a) le cas trivial où la fonction f est directement connue comme étant la dérivée d'une fonction F (un peu comme le calcul de b) 25 est trivial). le cas moins évident où la fonction f est bien le résultat direct d'une formule de dérivation, mais dans laquelle intervient une composition de fonction. Il s'agit alors de trouver la partie de f qui peut représenter une dérivée € interne. c) le cas "intéressant" où f n'est manifestement pas reconnaissable comme dérivée d'une fonction. Il faudra alors chercher à se ramener, au moyen de transformations appropriées, à des cas connus. Nous aborderons plus tard certaines de ces techniques. Exemples illustrant les différents cas de la remarque ci-dessus: a) Soit f définie par f(x) = 2x ; on sait que 2x est la dérivée de x2, donc F(x) = x2 + k b) Soit la fonction f définie par f(x) = 5(x3 - 1)4⋅3x2; on remarque que (x3 - 1)‘ = 3x2 et donc F(x) = (x3 - 1)5 + k Soit la fonction g définie par g(x) = (2x4 - 7)5⋅x3 ; Si l’on imagine comme une partie de la dérivée interne, on peut poser qu’une primitive G de g sera de la forme G(x) = a(2x4 - 7)6. En dérivant G, on obtient G’(x) = 6a(2x4 - 7)5⋅8x3 = 48a(2x4 - 7)5⋅x3 En prenant a = 1 , on obtient bien G’(x) = (2x4 - 7)5⋅x3 = g(x). 48 Remarques (suite) € Nous pouvons, pour les cas a) et b), récrire les formules de dérivation comme formules de primitives: F1 Primitive de a = ax F2 Primitive de xp = 1 xp+1+ k p +1 F3 Primitive de fp ⋅ f# = 1 fp+1+ k p +1 (p ≠ -1) etc. € € € Collège Sismondi (S.Z., base cours G.E.) 2014 - 2015 chapitre 1, p.2