Primitives de P(x)e

Primitives
Base raisonnée d’exercices de mathématiques (Braise)
Méthodes et techniques des exercices
Primitives de P (x)ex
Par intégration par parties successives
Quand une fonction f s’écrit sous la forme f (x) = P (x)ex ,
polynômiale, on peut calculer une primitive de f sur R par des
successives.
on obtient
u(x) = P (x)
et
On pose
′
x
on choisit
v (x) = e
où P est une fonction
intégrations par parties
u′ (x) = P ′ (x)
v(x) = ex
Les fonctions u et v ainsi définies sont bien continûment dérivables sur R. On peut
donc appliquer la méthode d’intégration par parties et on a :
Z
Z
x
x
P (x)e dx = P (x) e − P ′ (x) ex dx
R
R
P ′ (x)ex dx est du même type que P (x)ex dx, mais avec un polynôme de degré
plus bas. On réitère des intégrations par parties jusqu’à obtenir un polynôme constant.
Exemple. Soit f (x) = (x2 + x + 1)ex . On cherche une primitive de f sur R. On fait
deux intégrations par parties en dérivant à chaque fois la fonction polynôme :
Z
Z
2
x
2
x
(x + x + 1)e dx = (x + x + 1)e − (2x + 1)ex dx
Z
x
x
= (x + x + 1)e − (2x + 1)e − 2e dx
2
x
= (x2 + x + 1)ex − ((2x + 1)ex − 2ex )
= (x2 − x + 2)ex .
Par la méthode des coefficients indéterminés
Une autre méthode, souvent plus rapide, consiste à utiliser des coefficients indéterminés.
Soit f une fonction qui est le produit d’un polynôme P de degré n et de la fonction
exponentielle. On peut montrer qu’une primitive de f sera aussi de cette forme, c’està-dire le produit d’un polynôme Q de degré n et de l’exponentielle.
On présente le polynôme Q avec des coefficients indéterminés :
Q(x) = an xn + · · · + a1 x + a0 .
On calcule alors la dérivée de x 7→ Q(x)ex : on obtient (Q(x) + Q′ (x))ex . Ensuite on
identifie les coefficients des polynômes Q(x)+Q′ (x) et P (x), ce qui permet de calculer
les ai .
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Primitives
Exemple. Soit f (x) = (x2 + x + 1)ex . On cherche une primitive de f sur R de la
forme F (x) = (ax2 + bx + c)ex . On a
F ′ (x) = (ax2 + (2a + b)x + c + b)ex .
Donc F ′ = f si et seulement si


a = 1
2a + b = 1

b+c = 1
Après calculs, on obtient a = 1, b = −1 et c = 2.
Une primitive de x 7→ (x2 + x + 1)ex est x 7→ (x2 − x + 2)ex .
Remarque. On peut utiliser les mêmes méthodes pour le calcul d’une primitive des
fonctions x 7→ P (x)eαx où α est un réel non nul.
Plus généralement, si on veut calculer une primitive sur un intervalle I d’une fonction
x 7→ f (x)ex ,
où f est une fonction dérivable sur I, on peut essayer de faire une intégration par
parties en posant
u(x) = f (x) et v ′ (x) = ex .
Cette démarche sera performante si la dérivée de f est plus “simple” que f . C’est par
exemple le cas si f est une fonction polynôme, comme dans ce qui précède.
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