Intégration et calcul de primitives

Intégration et calcul de primitives
C. Ducourant
September 13, 2007
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Intégrale d’une fonction continue
•Définition :
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle [a,b].
Rb
Le réel noté a f (x)dx est appellé intégrale de a à b de f .
•Signe de l’intégrale :
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I contenant les reels a et b tels que a≤b.
Rb
- Si f est positive sur [a,b], ⇒ a f (x)dx ≥ 0
Rb
- Si f est négative sur [a,b], ⇒ a f (x)dx ≤ 0
•Intégrale et Aire :
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle [a,b] et soit (Cf ) sa courbe représentative.
Soit (D), l’aire comprise entre l’axe des abscisses, la courbe (Cf ) et les droites d’équation x=a et
x=b.
• Si f est toujours positive sur [a,b] :
Rb
a
f (x)dx = aire(D) (unités d’aire)
Rb
• Si f est toujours négative sur [a,b] : a f (x)dx = −aire(D)
Rb
• Si f a un signe variable sur [a,b] : a f (x)dx = aire(D1) − aire(D2) + aire(D3)
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Propriétes des intégrale
•Relation de chasle :
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I. Pour tout réel a, b, et c de I :
Rb
Rc
Rc
a f (x)dx + b f (x)dx = a f (x)dx
•Linéarité de l’intégrale :
Soient f et g deux fonctions définies et continues sur un intervalle I contenant a et b. Pour tous
réels α et β on a :
Rb
Rc
Rc
a [αf (x) + βg(x)]dx = α a f (x)dx + β a f (x)dx
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Intégrales et Primitives
•Définition d’une primitive :
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I toute
application F dérivable sur I telle que f soit l’application dérivée de F sur I.
0
F est primitive de f sur I ⇔ ∀x ∈ I, F (x) = f (x)
Par exemple:
F : x → x3 est une primitive de f : x → 3x2 surR
Mais
G : x → x3 − 12 est aussi une primitive de f.
R
⇒ on dit que F est une primitive de f sur R On note l’ensemble des primitives de la fonction f : f (x)dx
R
f (x)dx = F (x) + C
En
R particulier : 1
(ax + b)dx = a F (ax + b) + C
•Calcul d’une intégrale à l’aide d’une primitive :
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I et F une primitive de f sur I. Soient deux
réels a et b de I, alors:
Rb
b
a f (x)dx = [F (x)]a = F (b) − F (a)
•Primitives
classiques:
R
P
(x)
=
Q
n+1 (x) + C, n est le degrés du polynome Pn (x)
R n
ax
ax + C
R Pn (x)e = Qn (x)e kx
[Asin(x) + Bcos(x)]e dx = [Dsin(x) + Ecos(x)]ekx + C
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Méthodes de calcul d’une intégrale
•Intégration par partie :
0
0
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I telles que leurs dérivées u et v soient
continues sur I.
Pour tout réel a et b de I :
Rb
a
0
u (x)v(x)dx = [u(x)v(x)]ba −
Rb
a
0
u(x)v (x)dx
Par
:
R b nexemple
Rb
kx
x e dx = [ k1 ekx xn ]ba − k1 a nxn−1 ekx ...etc...
a
Rb
1
kx
kx b
a sin(x)e dx = 1+k2 [(ksinx − cosx)e ]a
•Décomposition en élements simples :
R
x5
D
C
+ (x+1)
+
= Pn (x) + (x−3)
(x−3)(x+1)2
E
(x+1)2
avec n =différence de degrés entre numérateur et dénominateur, ici n=2. Si négatif alors pas
de polynome.
Exemple :
5
Rb
1
a (x−a)(x−b)
=
1
a−b
R
1
( x−a
−
1
x−b )dx
Intégrales généralisées
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle ouvert I, inégrable sur tout segment contenu
dans I. On peut calculer l’intégrale de f sur des segments de plus en plus grands , contenus dans
I, dont les bornes se rapprochent de celles de I. Quand l’intégrale a une limite on dit qu’elle est
convergente, sinon on la dit divergente.
Par exemple :
R∞
RB
lim
a f (x)dx =B→∞ a f (x)dx
Ainsi
pour k > 0 :
R ∞ −kx
e
dx = k1
0
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Tableau des dérivées usuelles
Figure 1: De Y. Villessuzanne - Bordeaux
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