Définition de l`intégrale

Activité de mathématiques
Définition de l’intégrale
Définition. Soit f une fonction continue et positive
sur un intervalle [a; b]. Le plan est muni d’un repère
orthogonal. L’aire (exprimée en unités d’aire) du domaine délimité par la courbe représentative Cf de la
fonction f , l’axe des abscisses et les droites d’équations x = a et x = b est appelée intégrale de la fonction f entre a et b et est notée :
Z
Cf
b
f (x)dx
a
a
b
Théorème. Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a; b] et F une primitive quelconque
de f sur [a; b], alors :
Z b
f (x)dx = F (b) − F (a)
a
Démontrer et interpréter graphiquement les propriétes suivantes :
Propriété 1. Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle I et trois réels a 6 b 6 c de
l’intervalle I, alors :
Z b
Z c
Z c
f (x)dx +
f (x)dx =
f (x)dx
a
b
a
Propriété 2. Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a; b] et k un réel positif, alors :
Z
b
kf (x)dx = k
a
Z
b
f (x)dx
a
Propriété 3. Soit f et g deux fonctions continues et positives sur un intervalle [a; b], alors :
Z
b
(f (x) + g(x)) dx =
a
Z
b
f (x)dx +
a
Z
b
g(x)dx
a
Calculer les intégrales suivantes :
Z
Z
1
2
3
x dx
1
π
2
Z
sin(t)dt
0
2
2
Z
2
(x + x + 1) dx
Z
π
4
tan(t)dt
0
1/1
5
3
Z
Z
dx
x
e2
e
2
e3x dx
0
dx
x ln x
Z
0
π
2
cos3 (t)dt