Intégration - Examen Terminal

Université de Rennes 1
..
L
Intégration - Examen Terminal
Durée :  heures
. Questions de cours
1. Rappeler la formule du changement de variables.
2. Soient (E, A), (F, F) deux espaces mesurables, µ une mesure sur A et φ : E → F une fonction
(A, F)-mesurable. Rappeler la définition de la mesure image ν de µ par φ.
3. Interprêter alors la formule du changement de variables en termes de mesures à densités.
. Mesure exponentielle - mesure géométrique
Soient α > 0 et fα : x ∈ R → αe−αx 1[0,∞[ . On définit l’application :
Z
µ : A ∈ B(R) 7→
fα (x) dx.
A
1. Montrer que µ est une mesure de probabilité sur R et calculer sa fonction de répartition.
2. Soit ϕ : x ∈ R 7→ [x], où [x] désigne la partie entière de x ∈ R. Montrer que l’image µϕ de µ par ϕ est
donnée par
∞
X
p(1 − p)k−1 δk
µϕ =
k=1
pour un certain p ∈]0, 1] que l’on exprimera à l’aide de α.
. Equation de la chaleur
Soit f : R → R une fonction continue, positive, Lebesgue-intégrable et d’intégrale égale à 1. On s’intéresse à
l’évolution de la température u(t, x) d’un fil infini (assimilé à R) en un point x ∈ R à l’instant t > 0, sachant
que la température initiale en x ∈ R est f (x). La température u vérifie alors l’équation aux dérivées partielles
suivante :

1 2

u(t, x), ∀t > 0, x ∈ R,
 ∂t u(t, x) = ∂xx
2
(1)

 u(t, x) −→ f (x),
∀x ∈ R.
t→0+
Pour t > 0 et x ∈ R, on pose
Z
v(t, x) :=
R
(x−y)2
2t
e−
f (y) √
2πt
dy.
Z
On se propose de montrer que v est solution du problème (1). On rappelle que
2
e−z dz =
√
π.
R
1. Montrer que, pour tout t > 0, l’application x 7→ v(t, x) est continue, positive, Lebesgue-intégrable et
d’intégrale égale à 1.
2. Soit x ∈ R. Montrer que la fonction t 7→ v(t, x) est dérivable et calculer sa dérivée partielle ∂t v. On
détaillera la démonstration et on précisera les théorèmes utilisés.
2
2
3. Calculer sans justification la dérivée seconde ∂xx
v. Quel est le lien entre ∂t v et ∂xx
v?
4. On suppose dans cette question que f est bornée par une constante M . Montrer qu’il en est de même
pour la fonction x 7→ v(t, x) pour tout t > 0. Déterminer la limite de v(t, x) lorsque t tend vers 0+ . En
déduire que la fonction v est solution de (1).
5. Montrer que le résultat de la question précédente reste vrai si f n’est plus supposée bornée.