Intégrale de Wallis - Thomas Belhalfaoui

Suites et intégration
Intégrale de Wallis
∀n ∈ N Wn =
Z
π
2
sinn (t)dt
0
1
Etude préliminaire
1. Calculer W0 , W1 et W2 .
2. Montrer que la suite (Wn )n∈N est bornée.
3. Montrer que la suite (Wn )n∈N est décroissante.
4. En déduire que la suite (Wn )n∈N est convergente. On appellera ℓ sa
limite.
Rπ
5. (a) Pour tout n > 2, exprimer l’intégrale 02 sinn−2 (t)cos2 (t)dt en
fonction de n et de Wn .
(b) Etablir la relation suivante :
∀n > 2 nWn = (n − 1)Wn−2
2
Calcul de la limite
On pose :
∀n > 1 In = nWn Wn−1
1. Montrer que la suite (In )n∈N\{0} est constante.
2. Conclure quant à la limite de la suite (Wn )n∈N .
3
Calcul de Wn
On définit la suite (Km )m∈N par K0 = 1 et :
∀m > 1 Km =
1 × 3 × 5 × ... × (2m − 1)
2 × 4 × 6 × ... × (2m)
1. Exprimer Km+1 en fonction de Km .
2. A l’aide de l’expression de la question 1.5.b, conjecturer une expression
de W2m en fonction de Km , puis la démontrer par récurrence.
3. En déduire, sans faire de raisonnement par récurrence, une expression
de W2m+1 en fonction de Km .
4. Simplifier l’expression de Km (on l’exprimera d’abord à l’aide de factorielles, puis en fonction d’un coefficient binomial).
Thomas Belhalfaoui
1
2011