Examen type 2007

MAT-10364 – Mathématiques de l’ingénieur II
Examen type I
Question 1
Soit I =
Z
2
0
Z
√
2x−x2
0
x+y
dy dx.
x2 + y 2
a) Identifier le domaine d’intégration et en donner une représentation graphique.
b) Transformer I en une intégrale en coordonnées polaires.
(Ne pas évaluer)
Question 2
Inverser l’ordre d’intégration pour l’intégrale suivante :
Z π Z sin x
I=
f (x, y)dy dx
0
0
Question 3
Exprimer en coordonnées polaires le moment d’inertie par rapport à 0x de la plaque de
masse spécifique (densité) σ = 1 délimitée par y = x et y = x2 puis calculer sa valeur.
Question 4
Calculer le volume du solide délimité supérieurement par la sphère d’équation
x2 + y 2 + z 2 = z
et latéralement par le cône d’équation
z 2 = 3(x2 + y 2 )
avec
z ≥ 0.
Question 5
Calculer le volume du solide D délimité par les cônes
p
p
z = 2 x2 + y 2
et
z = 1 − x2 + y 2
Question 6
Soit l’intégrale triple
I=
ZZZ
f (x, y, z)dx dy dz
D
où f (x, y, z) est une fonction donnée, continue sur D et D est le tétraèdre de sommets
A = (0, 1, 0), B = (0, 2, 0), C = (1, 1, 0), E = (1, 1, 1)
Ecrire I sous la forme d’une intégrale itérée.
Question 7
On désigne par D le solide borné inférieurement par le cône z =
supérieurement par la sphère x2 + y 2 + z 2 = 4.
p
3(x2 + y 2 ) et
Exprimer le volume de D en coordonnées sphériques. Ne pas calculer.
Question 8
Soit h une constante positive, exprimer le volume du solide borné inférieurement par
la surface
hz = x2 + y 2
et supérieurement par z = h, à l’aide d’une intégrale triple puis calculer sa valeur en
fonction de h.
Question 9
Soit D le solide délimité par
– les plan y = 0 et y = 1 ;
– les plan x = 0 et z = 0 ;
– le plan x + z = 1.
a) Calculer le volume V de D.
b) Calculer les coordonnées x̄ et ȳ de D supposé homogène de masse spécifique 1.
Question 10
Un solide homogènepS de masse M est obtenu en perçant dans le cône tronqué de
2
2
surface
√ latérale z = x + y , z ∈ [1, 2], un trou cylindrique de même axe et de rayon
1/ 3 calculer le moment d’inertie de ce solide par rapport à Oz.
(Suggestion : déterminer d’abord la densité.)
Question 11
Soit Q la région délimitée par les droites
x + 2 y = 2,
y = x,
x = 4 − 2 y,
y = x + 1.
En utilisant le changement de variables approprié u = u(x, y), v = v(x, y), écrire
l’intégrale
ZZ
x−y
I=
dx dy,
2y +x
Q
comme une intégrale itérée sur un rectangle du plan des (u, v) (c’est-à-dire que les
bornes d’intégration sont constantes). Ne pas évaluer.
Question 12
Soit D le domaine limité par les courbes y = ex , y = 3 ex , y = e−x , y = 2 e−x . On
propose d’utiliser le changement de variables
u = y ex , v = y e−x ,
pour calculer l’aire de D.
a) Exprimer l’élément d’aire dx dy en termes de u, v, du, dv.
b) Exprimer l’aire de D à l’aide d’une intégrale itérée par rapport aux variables u, v.