1 Intégrale triple sur un rectangle

Mth1102 - Hiver 2010 - Fiche de travail 7
Veuillez lire et compléter ce document avant le cours du 23 février.
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Intégrale triple sur un rectangle
Exemple 1
Soit la fonction de trois variables f (x, y, z) = x + y − z et E = [0, 1] × [0, 2] × [0, 4] un parallélépipède dans l’espace
R3 . Explicitement, E est défini par
E = {(x, y, z) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 4} .
Comment définir et calculer l’intégrale de f sur le domaine E ?
Définition générale
L’intégrale triple d’une fonction f sur un domaine E = [a, b] × [c, d] × [e, f ] se définit de façon semblable à
l’intégrale double. Les ingrédients sont :
• Une subdivision des intervalles [a, b], [c, d] et [e, f ] en n, m et p sous-intervalles égaux, respectivement. Ceci
donne une subdivision de E en sous-régions Eijk = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] × [zk−1 , zk ] chacune d’aire égale à
(b − a)(d − c)(f − e)
dV = ∆x∆y∆z =
.
nmp
∗
∗
∗
• Un point (xijk , yijk , zijk ) ∈ Eijk pour chaque sous-région.
On construit une triple somme de Riemann à partir de ces données :
p
n X
m X
X
∗
∗
f (x∗ijk , yijk
, zijk
) ∆x∆y∆z
i=1 j=1 k=1
puis on prend la limite quand le nombre de sous-régions devient très grand (et donc leur aire tend vers 0). On
obtient la définition suivante :
Définition. Avec les données ci-dessus, l’intégrale triple de f sur E est définie par
ZZZ
f (x, y, z) dV =
E
lim
n,m,p→∞
p
n X
m X
X
∗
∗
f (x∗ijk , yijk
, zijk
) ∆x∆y∆z
i=1 j=1 k=1
si la limite existe.
Exemple 1 (suite)
En utilisant le coin (xi , yj , zk ) de chaque sous-région
comme point d’évaluation de f , et à l’aide de la formule de
P
la fiche de travail 1 pour calculer la somme ni=1 i, on peut évaluer l’intégrale de f sur E. Savez-vous le faire ?
ZZZ
(x + y − z) dV =
.
E
Intégrales itérées
Bien qu’il soit possible de calculer l’intégrale de l’exemple à partir de la définition, cela demande beaucoup de
calculs. Pour une fonction quelconque, le calcul est généralement très difficile ou impossible. C’est pourquoi,
comme pour l’intégrale double, il est préférable d’utiliser le théorème de Fubini pour réduire le calcul d’une
intégrale triple à celui de trois intégrales itérées :
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Théorème 1.1. Si f est une fonction continue de trois variables définie sur un paralléléppipède E =
[a, b] × [c, d] × [e, f ] alors
ZZZ
f (x, y, z) dV =
Z
f
e
E
Z
c
d
Z
b
f (x, y, z) dxdydz.
a
En fait, on peut intégrer selon n’importe quel ordre des variables x, y, z. Il y a donc
ordres d’intégration
possibles. Comme pour l’intégrale double, l’ordre d’intégration n’est pas important en théorie mais en pratique
intégrer selon un ordre donné peut être beaucoup plus simple que selon un autre.
Exemple 1 (suite)
On peut calculer l’intégrale de f sur E comme suit :
Z
ZZZ
Z 4Z 2Z 1
(x + y − z) dV =
(x + y − z) dxdydz =
0
E
Z
=
0
0
4
0
Z
0
2
1
+y−z
2
dydz
4
0
(3 − 2z) dz = 12 − 16 = −4.
On peut aussi calculer cette intégrale comme suit :
ZZZ
(x + y − z) dV
=
Z
0
E
1
Z
0
2
4
Z
0
(x + y − z) dzdydx
=
=
2
=
=
.
Intégrale triple sur un domaine quelconque
Exemple 2
Considérons la même fonction f (x, y, z) = x + y − z qu’à l’exemple 1, mais cette fois sur le domaine E de l’espace
R3 borné par les plans de coordonnées z = 0, y = 0, x = 0 et la surface z = 1 − x2 − 12 y (voir figure 1). Comment
calculer l’intégrale de f sur E ?
Domaines d’intégration admissibles
On peut utiliser des intégrales itérées pour calculer une intégrale triple sur un domaine E quelconque à condition
que ce dernier ait une forme particulière : sa projection sur l’un des plans de coordonnées est une région de type
I ou II dans ce plan. Dans ce cas, on peut décrire E de façon à ce que
• L’une des variables ait des bornes constante
• Une deuxième variable ait des borne ne dépendant que de la variable à bornes constantes
• La troisième variable ait des bornes dépendant des deux autres variables.
Exemple 2 (suite)
Dans notre exemple on peut exprimer E de (au moins) trois façons. Chacune correspond à la projection de E
sur un plan de coordonnées, tel qu’illustré ci-dessous, et détermine l’ordre d’intégration.
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Figure 1 –
Projection sur le plan z = 0.
Projection sur le plan x = 0.
Projection sur le plan y = 0.
• Projection dans le plan des (x, y). L’intersection de la surface z = 1 − x2 − y2 avec le plan z = 0 est la courbe
d’équation 0 = 1 − x2 − 21 y ⇔ y = 2 − 2x2 , qui est une parabole. Le domaine du plan borné par celle-ci et les
deux axes de coordonnées est de type I :
D = (x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 − 2x2 .
Les bornes sur z dépendent de x et y et sont déterminées géométriquement par le plan z = 0 (borne inférieure)
et la surface z = 1 − x2 − y2 (borne supérieure). Lorsque les bornes sur z dépendent ainsi de x et y, la région
E est dite de type 1. On a
n
yo
E = (x, y, z) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 − 2x2 , 0 ≤ z ≤ 1 − x2 −
2
et
ZZZ
f (x, y, z) dV
=
Z
1
Z
1
0
E
=
0
Z
2−2x2
0
Z
2−2x2
0
Z
1−x2 −y/2
0
(x + y − z) dzdydx
1
x(1 − x2 − y/2) + y(1 − x2 − y/2) − (1 − x2 − y/2)2
2
dydx
=
=
=
67
.
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Attention : les calculs, bien qu’élémentaires, sont un peu longs. Ils sont faits en détails dans le fichier Maple
Fiche7 sur ma page web.
• Projection dans le plan des (y, z). L’intersection de la surface z = 1 − x2 − y2 avec le plan x = 0 est la droite
z = 1 − y2 . Les bornes sur x dépendant de y et z, la région E est dite de type 2. On a
n
o
p
E = (x, y, z) | 0 ≤ x ≤ 1 − y/2 − z, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 1 − y/2
et
ZZZ
f (x, y, z) dV
=
Z
0
E
2
Z
0
1−y/2
Z √1−y/2−z
0
=
(x + y − z) dxdzdy
=
3
67
.
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• Projection dans le plan des (x, z). L’intersection de la surface z = 1 − x2 − y2 avec le plan y = 0 est la parabole
z = 1 − x2 . Les bornes sur y dépendant de x et z, la région E est dite de type 3. On a
E = (x, y, z) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 − 2x2 − 2z, 0 ≤ z ≤ 1 − x2
et
ZZZ
f (x, y, z) dV
=
Z
1
0
E
Z
1−x2
0
Z
√
2−2x2 −2z
0
(x + y − z) dydzdx
=
3
=
67
.
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Interprétation
L’intégrale triple d’une fonction f quelconque ne possède pas d’interprétation géométrique immédiate car le
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graphe d’une fonction de trois variables est une
RRR“hypersurface” dans l’espace R , que l’on ne peut pas facilement
visualiser. Cependant, si f (x, y, z) = 1 alors
E 1 dV est la dimension du domaine d’intégration, c’est-à-dire le
volume de la région E. Par exemple, dans le cas d’une région E de l’espace comprise entre les surface z = f (x, y)
et z = g(x, y) et au-dessus d’un domaine D du plan z = 0, nous avons maintenant deux façons de calculer son
volume : une intégrale double et une intégrale triple. Ces deux façons sont équivalentes. Si
E = {(x, y, z) | (x, y) ∈ D, g(x, y) ≤ z ≤ f (x, y)}
alors on peut calculer le volume comme suit
ZZ
vol(E) =
[f (x, y) − g(x, y)] dA
et
vol(E) =
D
4
ZZZ
dV.
E
Exercices
1. Choisissez un ordre d’intégration approprié pour calculer
ZZZ
xzeyz dV
E
où E = [0, 1] × [0, 2] × [0, 2] et effectuez le calcul.
2. Écrivez explicitement l’intégrale triple de la fonction f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 sur la région E de l’espace
bornée par les surfaces z = 0 et z = 1 − x2 − y 2 , de deux façons différentes (deux ordres d’intégration).
Vous n’avez pas à calculer l’intégrale.
Z 1 Z 1
3. Quelle intégrale triple parmi les suivantes a la même valeur que J =
(y 2 + y − 2) dxdy ?
−1
a)
Z
1
Z
1
−1
c)
−1
Z
1
Z
2
−2
−2
Z
y2
dzdxdy
b)
y−2
Z
1
1
Z
1
−2
2
(y 2 + y − 2) dxdzdy
Z
d)
−1
Z
1
Z
1
−1
−2
Z
−2
y2
dzdydx
2−y
Z
y 2 +y−2
dzdydx
0
Indice : pensez à une interprétation géométrique. Il n’est pas nécessaire de faire de calculs.
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