Méthodes classiques d`intégration 1 L`integration par partie. 2

1
le 18 Février 2010 UTBM MT12
Arthur LANNUZEL
http ://mathutbmal.free.fr
Méthodes classiques d’intégration
1
L’integration par partie.
(u.v)′ = u′ .v + u.v ′ donc
2
∫
u.v ′ = [u.v] −
∫
u′ .v.
Changement de variable.
Dans I =
obtient
∫b
a
f (x)dx, en posant x = ϕ(t) avec ϕ bijective de [α, β] sur [a = ϕ(α), b = ϕ(β), on
∫ β
I=
f (ϕ(t)).ϕ′ (t)dt.
α
3
Integration des fonctions rationnelles.
On décompose en éléments simples pour ensuite intégrer chaque élément simple.
3.1
∫
Eléments simples de première espèce.
{
dx
(x−a)n
3.2
=
1
− (n−1)(x−a)
si n ≥ 2
n−1
ln |x − a|
si n = 1
Eléments simples de seconde espèce.
∫
On cherche à calculer (x2Ax+B
dx.
+px+q)n
∫
p
dx
On écrit Ax + B = A.(x + 2 ) + B − Ap
.
On
doit
alors
intégrer
que l’on ramène,
(x2 +px+q)n
∫ 2 dt
grâce à un changement de variable à (t2 +k2 )n .
Si n = 1, pas de problème (Arctan).
∫
Si n > 1, On pose θ = Arctan( kt ). On doit alors intégrer cos2n−2 (θ)dθ.
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Integration des fonctions rationnelles en sin(x), cos(x).
Utiliser le changement de variable u = tan x2 puis intégrer la fraction rationnelle.
dx =
2u
1 − u2
2u
2
du,
sin(x)
=
,
cos(x)
=
, tan(x) =
.
2
2
2
1+u
1+u
1+u
1 − u2
Remarque 4.1 Le même genre de méthode est valable pour les fonctions rationnelles en Ch(x)
et Sh(x).
2
5
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