Calcul de la mensualité d`un crédit

- Calcul de la mensualité d’un crédit -
On suppose que l’on doit rembourser un capital K à un taux annuel fixe
égal à t. La durée du crédit est fixé à N mois. La mensualité m doit être
constante.
1. On calcule un taux mensuel équivalent τ . Ce calcule diffère selon les
organismes de prêts :
1+
τ 12
t
=1+
.
100
100
ou
t
.
12
2. Au bout d’un mois (après une échéance), le capital restant dû, noté R1
vaut :
τ
R1 = K × (1 +
) − m.
100
3. Au bout de n + 1 mois, le capital restant dû, noté Rn+1 vaut :
τ=
Rn+1 = Rn × (1 +
τ
) − m.
100
4. Reste donc à déterminer m pour que la suite (Rn )n∈J0,N K vérifie les
conditions suivantes :
– R0 = K,
– RN = 0,
τ
) × Rn − m.(1)
– ∀n ∈ J0, N − 1K, Rn+1 = (1 + 100
La suite (Rn )n∈J0,N K est une suite arithmético-géométrique.
5. On obtient, en écrivant la relation (1) à tous les rangs et en effectuant
le calcul, la formule suivante (voir page suivante pour les détails du
calcul) :
τ
K × 100
m=
τ −N
1 − 1 + 100
1
Détails du calcul précédent :
Comme
∀n ∈ J0, N − 1K, Rn+1 = (1 +
on a en particulier
RN = (1 +
τ
) × Rn − m,
100
τ
) × RN −1 − m.
100
Comme de plus
RN = 0,
on peut écrire au rang suivant :
0 = (1 +
τ
τ
) × (1 +
) × RN −2 − m − m.
100
100
0 = (1 +
τ
τ 2
) × RN −2 − (1 +
)m + 1 m.
100
100
Soit
En réitérant ce procédé, on obtient finalement la relation suivante :
N −1
0 = (1 +
X
τ N
τ j
) ×K−m
(1 +
)
100
100
j=0
D’où, par sommation des termes d’une suite géométrique,
0 = (1 +
1+
τ N
) ×K −m×
100
τ N
)
100
τ
100
−1
et finalement,
m=
(1 +
τ
100
τ N
)
100
−1
× K × (1 +
Après simplification, on obtient le résultat final :
m=
K×
1− 1+
2
τ
100
τ −N
100
τ N
) .
100
,
Calcul de la part d’intérêts et de capital dans chaque mensualité :
tableau d’amortissement.
1. Le premier mois, la part des intérêts dans la mensualité versée vaut
I1 = K ×
τ
.
100
La part du capital alors remboursé vaut donc
C1 = m − I1 .
2. Le mois suivant, la part des intérêts vaut
I2 = (K − C1 ) ×
τ
.
100
3. On obtient alors la formule suivante :
∀n ∈ J1, NK, In = (K − Cn−1 ) ×
τ
,
100
que l’on peut tranformer en une relation de récurrence arithméticogéométrique :
∀n ∈ J1, NK, In = (K − m) ×
τ
τ
+ In−1 ×
.
100
100
4. On peut ”facilement” remplir un tableau d’amortissement sur un tableur, ou bien chercher une formule générale pour In ...
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