Université Antilles–Guyane DEUG MIAS 1e année UFR Sciences

DEUG MIAS 1e année
Module MIP 2
Université Antilles–Guyane
UFR Sciences Exactes et Naturelles
Dépt de Mathématiques et Informatique
Dépt Scientifique Interfacultaire
2e semestre 2002–2003
Mathématiques 2 / Analyse — T.D. série n◦ 1 : Intégration.
Exercice 1. Calculer, à l’aide d’intégration par parties, les primitives
Z
Z
Z
(a)
ln x dx ,
(b)
arctan x dx , (c)
ex sin x dx ,
Z
Z
Z
x ex
1
2 x+1
(d)
dx ,
(e)
xe
dx ,
(f)
dx .
x
3
2
(1 + e )
(x + 1)2
Z
1
(Indication pour (f) : intégrer par parties
dx.)
2
x +1
Z
Exercice 2. On pose In (x) = (ln x)n dx pour tout n ∈ N. Etablir une relation
de récurrence entre In (x) et In−1 (x) (pour n ∈ N∗ ). Calculer I3 (x).
Exercice 3. Démontrer la formule de Taylor avec reste intégral : Pour tout
a, x ∈ R et f ∈ C n+1 ([a, x]) (n + 1 fois continûment dérivable), on a
Z
1 (n)
1 x (n+1)
0
n
f (x) = f (a)+f (a) (x−a)+···+ f (a) (x−a) +
f
(t) (x−t)n dt .
n!
n! a
(Indication : utiliser une récurrence sur n, et une intégration par parties.)
Exercice 4. Soit f une fonction de classe C 3 sur un intervalle I de R telle que
∃M > 0 , ∀t ∈ I : |f (3) (t)| ≤ M .
En utilisant la formule de Taylor avec reste intégral, montrer
M
1
0
00
2
∀a, x ∈ I : f (x) − f (a) − f (a) (x − a) − f (a) (x − a) ≤
|x − a|3 .
2
6
Exercice 5. On pose f (x) = ln(1 + x2 ). En appliquant à f la formule de Taylor
avec reste intégral sur [0, 1], à un ordre convenable, montrer que :
Z 1
(1 + t) (1 − t)2
ln 2
dt =
.
2
2
(1 + t )
2
0
Exercice 6. Montrer que pour f, g ∈ C([a, b]), si g > 0 sur ]a, b[, alors
Z b
Z b
∃ξ ∈ [a, b] :
f (x) g(x) dx = f (ξ)
g(x) dx
a
a
Rx
(théorème de la moyenne généralisé). [Indication : étudier G(x) = a g(t) dt
pour justifier le changement de variable u(x) = a + G(x) · (b − a)/G(b).]
1
2
Exercice 7. Soit f une fonction de classe
Z x C sur R, telle que f (0) = 0.
x
Pour tout x ∈ R, on pose F (x) =
f (t) dt − f (x).
2
0
2
(a) Montrer que F est de classe C sur R, et calculer F 00 (x) , (x ∈ R).
(b) En appliquant à F la formule de Taylor avec reste intégral à l’ordre 1,
montrer que pour tout x ∈ R :
Z
1 x
t (x − t) f 00 (t) dt .
F (x) = −
2 0
Exercice 8. Calculer les primitives suivantes (intégration à vue) :
Z Z
Z
1 2
ln x
1
I1 =
x+
dx , I2 =
dx , I3 =
dx ,
x
x
x ln x
Z
Z
2x − sin x
cos x
√
I4 =
dx , I5 =
dx (n > 1) .
(sin x)n
x2 + cos x
Exercice 9. Calculer, à l’aide d’un changement de variable, les primitives :
Z
Z
dx
3
2
A = (sin x cos x − 2 sin x cos x) dx , B =
,
x ln x ln(ln x)
Z
Z
Z
ex dx
2 x dx
dx
√ x
√
D=
, E=
.
, F =
x
5 ch x + 3 sh x + 4
(1 + e ) e − 1
2x + 1
Exercice 10. Décomposer en éléments simples (sur R) les fractions rationnelles
f (x) =
x+3
2x2 + 3x − 1
x2 − 2x + 2
,
g(x)
=
,
h(x)
=
,
x2 − 4
(x − 2)(x2 + 2x + 5)
(x + 1)2
v(x) =
6x2 + 12x + 4
x2 + x + 1
,
w(x)
=
.
x(x + 2)2
(x2 + 1)(x − 1)3
Exercice 11. Calculer les primitives :
Z
Z 3
x+2
x −2
A=
dx , B =
dx ,
2
x +x−6
x3 − x2
Z
Z
Z
3x + 2
x3 + 1
2
C=
dx , D =
dx , E =
dx .
2
2
2
2
x +x+1
x (x − 1)
x (x + 1)2
Exercice 12. Décomposer en éléments simples et calculer la primitive de
f (x) =
x2 − x + 2
x5 + x2
et g(x) =
x5 − x3 + 3x2 + 5x + 2
.
(x − 1)2 (x2 + 2x + 2)
Exercice 13. Calculer les primitives
Z
Z x
x3 + 1
e −1
A=
dx , B =
dx ,
2
x(x − 1)
ex + 1
Z
Z
Z r
x3
dx
x−1
D=
dx
,
E
=
,
F
=
dx .
(x2 + 1)3
sin x
x+1
2