cours intégrale IPP

IPP – Méthode et conseils
On cherche à calculer une intégrale ou à déterminer une primitive (la fonction à intégrer ressemble souvent à un produit)
Notation :
Si f est une fonction définie en a et b, on note [f(x)]ba = f(b) – f(a).
En particulier, ⌡
⌠ab f(x)dx = F(b) – F(a) = [F(x)]ba avec les conditions et notations habituelles.
Théorème : si u et v sont 2 fonctions dérivables sur [a ;b], alors
⌠ab u’(x).v(x)dx = [u(x).v(x)] ba - ⌡
⌠ab u(x).v’(x)dx
⌡
Corollaire : (autre façon de formuler un théorème)
Si f est une fonction s’écrivant f = u’.v avec u et v 2 fonctions dérivables sur I,
Alors pour tout x de I (on suppose aussi a є I), l’unique primitive de f qui s’annule en a est :
F(x) = ⌡
⌠ax f(t) dt = [u(t).v(t)]xa - ⌡
⌠ax u(t).v’(t) dt.
Preuve :
Puisque u et v sont dérivables, on a (u.v)’ = u’.v + v’.u soit u’.v = (u.v)’ – v’u. Or :
x
L’unique primitive de u’.v qui s’annule en a est ⌠
⌡a u’(t).v(t)dt
L’unique primitive de (u.v)’ qui s’annule en a est u.v(x) – u.v(a) = [u.v(x)] ba
x
L’unique primitive de u’.v qui s’annule en a est ⌠
⌡a u’(t).v(t)dt
D’où le
résultat.
Remarque : le choix de u est à priori multiple, en tant que primitive de u’ ; mais une autre primitive de u’ serait du type u + c.
Exercice : prouver que cette primitive n’influe pas sur le résultat. On choisit en pratique c = 0.
Application : calculer
2
⌠
⌡1 x.ln(x) dx.
Conseils : la difficulté de l’IPP réside dans le choix de u et v. Il est indispensable d’écrire leurs valeurs ainsi que celles de
leurs dérivées.
Ici on a 2 possibilités « évidentes » :
Soit
Soit
u’(x) = x
et v(x) = ln(x)
u’(x) = ln (x)
et v(x) = x
1
1
u(x) = ???
et
v’(x) = 1
u(x) = x² et
v’(x) =
2
x
On est bloqué… : le choix de u impose que l’on en
Alors :
connaisse une primitive facilement.
1
2
2
2 1
⌠
⌡1 x.ln(x)dx = [2x².ln(x)]1 - ⌠
⌡1 2x dx
1
= 2ln 2 – [ x²]21 = 2 ln2 –
4
3
4
Inversement, v a été bien choisie car sa dérivée est
plus que la fonction elle – même
Autre exemple : calculer
⌠
⌡ ln(x)dx. Indication : c’est bien une IPP ! Face à ce type (relativement courant) de problème, la
solution vient en écrivant ln(x) = 1.ln(x)
A partir de ce résultat, vous pouvez essayer de reprendre le calcul précédent.
EXERCICE : il n’y a pas seulement des IPP.
3 ln x
π
A= ⌠
B= ⌠
 2 x² dx
⌡0 (x – 1) sin(3x) dx
⌡1
(x3 – 6x² + x)
ln (x – 1)dx
∆= ⌠
⌡
x–1
Les astucieuses et donc faciles
E=
π
⌠
⌡0 sin²(x) dx (f.trigo.)
F=
C=
ln 3 t
⌠
⌡ln 2 t.e dt
1
5
1
5
18
⌠
⌡-5 sin(x) cos(x) dx (parité) G = ⌠
⌡0 x – 2dx
D=
-x
0
⌠
⌡-1 (-2x + 1)e dx
H=
2π
⌠
⌡0 tan (t) dt
Doubles IPP :
I=
x
1
⌠
⌡0 x²e dx
J=
⌠ 3π x
 4 e cos(x) dx
⌡-π
4
Avec des suites :
π
- nx
• Ln = ⌠
⌡ 2 e cos(x) dx et Mn =
0
•
- nx
– n.
⌠
⌡02 e sin(x) dx. Prouver que : Mn = 1 – n.Ln et Ln = e 2 + n Mn. En
π
π
déduire Ln et Mn en fonction de n
Kn ≥ 1 = ⌡
⌠ e (ln x)n dx. Prouver que Kn = e – nKn – 1 . On ne demande pas plus
1
Volumes de solides de révolution
Un solide de révolution est un solide engendré par la rotation d’une courbe autour d’un axe.
Le volume d’un solide de révolution déterminée par la courbe représentant Cf entre a et b peut se calculer en « empilant des
b
disques » : V = π ⌠
⌡a f ²(x) dx
Calculer les volumes engendrés par les courbes représentant les fonctions suivantes : interpréter géométriquement.
1
f(x) = R² – x² sur [-R ;R]
g(x) = R sur [o ;h]
h(x) = - x + 3 sur [0 ; 6]
i(x) = e-x cos(x)
2
Réponses :
π
2
B=
–
C = 3 ln(3) – 2 ln(2) – 1
D= e+1
3
3
2x3 – 15x² - 24x + 37
x3
13x²
37x
π
∆ = -2 ln(x – 1)² +
ln (x – 1) –
+
+
E=
(linéariser sin²(x))
6
9
12
6
2
F = 0 car ⌡
G = -ln (2) attention au domaine de définition
⌠ 0 .. = - ⌡
⌠ 5 .. car la fonction est impaire
2 2
1
A = ln( ) +
3 3
3
-5
0
H n’existe pas (tan pas continue sur [0 ; 2π])
π
1 – n.e
Mn =
–n
1 + n²
n+e
2
Ln =
– n.
I=e–2
π
2
1 + n²
4 3
πR (volume d’une sphère : rotation d’un demi cercle de rayon R).
3
Vg = π r².h (volume d’un cylindre, obtenu par rotation d’un segment
autour d’un axe).
π
Vh = 18π (volume d’un cône)
Vi =
( 3 – e –π )
voir L et
8
M.
Vf =
J=0