CALCULS DE PRIMITIVES ET D`INTÉGRALES

Transcription

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
CALCULS
DE PRIMITIVES ET D ’ INTÉGRALES
Ce chapitre vise à renforcer votre pratique du calcul intégral au moyen de révisions ciblées et grâce à deux nouveautés,
l’intégration par parties et le changement de variable. Le point de vue adopté n’est pas théorique. Nous définirons proprement
la notion d’intégrale et nous démontrerons le théorème fondamental du calcul intégral sur lequel ce chapitre repose au
chapitre « Intégration sur un segment » en fin d’année.
Dans tout ce chapitre, K est l’un des ensembles R ou C et I et J sont des intervalles.
1
CALCULS SIMPLES DE PRIMITIVES
Définition (Primitive) Soit f : I −→ K une fonction. On dit qu’une fonction F : I −→ K est UNE primitive de f sur I si
F est dérivable sur I de dérivée f .
Exemple
La fonction x 7−→
1
x2
est UNE primitive de x 7−→ x sur R et Arctan est UNE primitive de x 7−→
sur R.
2
1 + x2
Théorème (« Unicité » des primitives à constante additive près) Soit f : I −→ K une fonction. On suppose que f
possède une primitive F : I −→ K. Les primitives de f sur I à valeurs dans K sont alors toutes les fonctions F + λ, λ
décrivant K.
Il n’existe jamais une seule primitive, on ne dit jamais « la » primitive mais UNE primitive. Il peut ne
$ ATTENTION ! $
pas en exister, mais s’il en existe, il en existe une infinité et elles sont toutes égales à constante additive près.
Pour tout Fe ∈ D(I , K) :
′
⇐⇒
Fe − F = 0 ⇐⇒
Démonstration
Fe est une primitive de f
Fe − F est constante
⇐⇒
⇐⇒
Fe′ = f
∃ λ ∈ K/
⇐⇒
Fe = F + λ.
Fe′ = F ′

Les fonctions que l’on manipule couramment sont un empilement de fonctions usuelles liées entre
$ ATTENTION ! $
elles par des additions, des multiplications, des passages à l’inverse et des compositions. Vous savez toutes les dériver car
vous savez dériver les fonctions usuelles et disposez des formules de dérivation d’une somme, d’un produit, d’un inverse et
d’une composée.
La primitivation des fonctions est autrement plus difficile :
— vous savez primitiver la fonction x 7−→ x, mais pour primitiver son inverse x 7−→
une nouvelle fonction usuelle, la fonction logarithme,
1
, il a fallu qu’on vous introduise
x
— vous savez primitiver la fonction x 7−→ 1 + x 2 , mais pour primitiver son inverse x 7−→
1
, il a fallu qu’on vous
1 + x2
introduise une nouvelle fonction usuelle, la fonction arctangente.
1
1
soient compliquées ! Le problème de la primitivation,
On ne peut pas dire pourtant que les fonctions x 7−→ et x 7−→
x
1 + x2
c’est qu’on ne peut pas primitiver explicitement toutes les fonctions qu’on utilise couramment. On peut montrer — mais
2
c’est difficile — que les primitives d’une fonction simple comme x 7−→ e−x ne peuvent en aucune manière être écrites
explicitement comme un empilement de fonctions usuelles — à moins bien sûr de considérer une telle primitive comme
nouvelle fonction usuelle ! On retiendra notamment de ces remarques la mise en garde suivante :
En général, même quand on sait primitiver deux fonctions,
on NE sait PAS primitiver leur PRODUIT, leur QUOTIENT, leur COMPOSÉE.
1
La mise en garde précédente ne signifie heureusement pas qu’on ne sait rien faire. En particulier,
En pratique toute fonction de la forme f ′ × g ′ ◦ f admet g ◦ f pour primitive et on attend de vous que vous sachiez repérer une telle
forme. Mentionnons rapidement quelques cas très courants :
uα+1
u′
u′
en ln |u|,
u′ uα (α 6= −1) en
,
u′ cos u en sin u,
en Arctan u,
etc.
u
α+1
1 + u2
F
(a
x
+
b)
est une primitive de x 7−→ f (a x + b).
Si F est une primitive de f , alors pour tout a ∈ C∗ et b ∈ C, x 7−→
a
u′ eu se primitive en eu ,
p
1
e x
sin x
admet x 7−→ ln 5− 3 cos x pour primitive sur R, la fonction x 7−→ p admet
5 − 3 cos x
3
x
1
1
∗
pour primitive sur R+ et la fonction x 7−→
admet x 7−→ Arctan(2x) pour primitive sur R.
4x 2 + 1
2
Exemple
p
x 7−→ 2 e
x
1
avec
Le programme exige que vous sachiez primitiver les fonctions de la forme x 7−→
En pratique 2
a x + bx + c
2
a, b, c ∈ R, a 6= 0 et b − 4ac < 0 — discriminant négatif, le dénominateur ne s’annule pas sur R. C’est très simple, on écrit
« a x 2 + bx + c » sous FORME CANONIQUE, on fait apparaître la dérivée d’arctangente et enfin on primitive. Il est ici assez
utile de savoir que :
x
1
1
.
Pour tout a > 0, x 7−→ Arctan est une primitive de x 7−→ 2
a
a
x + a2
Exemple
2
6x − 1
1
admet x 7−→ p
Arctan p
pour primitive sur R.
3x 2 − x + 1
11
11
1
1
1
1
1
1
1
= ×
= ×
= ×
En effet Pour tout x ∈ R :
2
p 2 ,

1
x
2
3x 2 − x + 1
3
3
3
11
1
1
11
x2 − +
+
x−
+
x−
3 3
6
36
6
6

2
1
1
6
6
6x − 1
1
= p Arctan p
x−
admet pour primitive x 7−→ × p Arctan p
.
donc x 7−→
3x 2 − x + 1
3
6
11
11
11
11
On a souvent besoin de primitiver les fonctions de la forme x 7−→ eax cos(bx) et x 7−→ eax sin(bx)

e(a+ib)x
avec a, b ∈ R∗ . C’est très simple. Pour tout x ∈ R : eax cos(bx) = Re e(a+ib)x . Or x 7−→ e(a+ib)x admet x 7−→
a + ib
pour primitive, donc x 7−→ eax cos(bx) admet pour primitive :
(a+ib)x

eax
eax
e
= 2
Re
cos(bx)
+
i
sin(bx)
×
(a
−
ib)
=
a
cos(bx)
+
b
sin(bx)
.
x 7−→ Re
a + ib
a + b2
a 2 + b2
En pratique Autre technique bien utile, la LINÉARISATION. Grâce à elle, nous savons calculer toutes les primitives
En pratique de fonctions telles que x 7−→ sin2 x cos3 (4x) — produits de sinus et de cosinus.
Pour finir, on primitive les fractions rationnelles en primitivant leur DÉCOMPOSITION EN ÉLÉMENTS
En pratique SIMPLES. Nous nous contenterons de calculs simples à ce stade, conformes à l’esprit du petit chapitre « Introduction à la
décomposition en éléments simples ».
Exemple
En effet
|x|
admet x 7−→ ln p
pour primitive sur R∗ .
+1
x2 + 1
1
x
x2
donc pour certains a, b, c ∈ R :
1
a une partie entière nulle,
X
+1
a
1
bX + c
= + 2
.
X
X +1
X X2 + 1
• Forme de la décomposition en éléments simples : La fraction
Æ
• Calcul de a : On multiplie Æ par X puis on évalue en 0 :
X2
a = 1.
• Calcul de b : On multiplie Æ par X , puis on évalue en un réel x qu’on fait tendre vers +∞ :
donc b = −1.
b+c
1
= a+
, donc c = 0.
• Calcul de c : On évalue Æ en 1 :
2
2
2
0 = a+ b,
1
X
1
1
= − 2
. La fonction x 7−→
2
X X +1
X
+1
x x +1
1
|x|
admet ainsi comme voulu x −
7 → ln |x| − ln x 2 + 1 = ln p
2
x2 + 1
• Primitivation : Nous venons d’établir que :
2
X2
LIEN ENTRE LES NOTIONS DE PRIMITIVE ET D’INTÉGRALE
Définition (Fonction complexe continue) Soit f : I −→ C une fonction. On dit que f est continue sur I si Re( f ) et
Im( f ) le sont.
L’ensemble des fonctions complexes continues sur I est noté C (I , C).
L’intégrale d’une fonction continue vous a été définie en Terminale comme une aire ALGÉBRIQUE sous la courbe — ce
qui veut dire que les portions de la courbe situées SOUS l’axe des abscisses contribuent négativement au calcul de l’aire.
Cette définition est totalement bancale car nous sommes au fond bien incapables de définir la notion d’aire, mais nous nous
contenterons de cette approche pour le moment. L’intégrale sera définie proprement plus tard au chapitre « Intégration sur
un segment ».
Définition (Intégrale sur un segment d’une fonction complexe continue) Soient f ∈ C (I , C) et a, b ∈ I . On appelle
Z b
Z b
Z b
f (t) dt =
intégrale de f de a à b le nombre complexe
Re( f )(t) dt + i
a
a
Im( f )(t) dt.
a
Une intégrale de fonction complexe ne peut pas être interprétée comme une aire algébrique, c’est
$ ATTENTION ! $
un nombre complexe !
Théorème (Propriétés de l’intégrale d’une fonction continue) Soient f , g ∈ C (I , C) et a, b, c ∈ I .
Z b
Z b
Z b
g(t) dt.
f (t) dt + µ
λ f (t) + µg(t) dt = λ
• Linéarité : Pour tous λ, µ ∈ C :
• Relation de Chasles :
Z
a
c
f (t) dt =
a
• Inégalité triangulaire : Si a ¶ b :
Z
b
f (t) dt +
a
b
Z
a
a
c
f (t) dt.
b
Z
Z
b
f (t) dt.
f (t) dt ¶
a
a
Les trois propriétés qui suivent, parce qu’elles cachent l’utilisation d’inégalités, n’ont de sens que pour des fonctions
RÉELLES.
Théorème (Propriétés de l’intégrale d’une fonction réelle continue) Soient f , g ∈ C (I , R) et a, b ∈ I .
Z b
• Positivité : Si f ¾ 0 et si a ¶ b, alors
f (t) dt ¾ 0.
a
• Positivité stricte : Si f est strictement positive sauf éventuellement en un nombre fini de points et si a < b, alors
Z b
f (t) dt > 0.
a
• Croissance : Si f ¶ g et a ¶ b, alors
Z
b
f (t) dt ¶
a
Z
3
b
g(t) dt.
a
Théorème (Théorème fondamental du calcul intégral) Soient f ∈ C (I , C) et a, b ∈ I .
Z x
(i) La fonction x 7−→
f (t) dt est une primitive de f sur I .
Z
a
x
Pour tout A ∈ C, il existe une et une seule primitive de f sur I de valeur A en a, la fonction x 7−→ A +
f (t) dt.
a
Z b
x=b
f (t) dt = F (b)−F (a). On note [F ]ab ou F (x) x=a cette quantité F (b)−F (a).
(ii) Pour toute primitive F de f :
a
L’assertion (ii) découle de l’assertion
Z (i). La fonction F est une primitive de f qui vaut F (a)
Démonstration
x
en a et c’est la seule, donc d’après (i), F (x) = F (a) +
a
Explication
f pour tout x ∈ I . Il reste à évaluer en b.

• L’assertion (i) est un théorème d’EXISTENCE de primitives pour les fonctions CONTINUES.
• Fondamental, ce théorème l’est parce qu’il établit un lien entre des notions apparemment totalement étrangères — la
notion d’aire/intégrale et la notion de primitive, liée
Z à la dérivation. Quelle intuition cela exprime-t-il ?
x
Supposons f réelle et notons F la fonction x 7−→
Z x+h
f (t) dt. Ci-contre, l’aire
a
y = f (x)
f (t) dt = F (x + h) − F (x).
algébrique colorée à gauche vaut :
x
Or si
≈
b
b
h est tout petit, sachant que f est CONTINUE en x, on peut considérer que f est
x
x +h
approximativement égale à f (x) sur tout le segment [x, x + h], et donc on peut
approximer l’aire colorée à gauche par l’aire colorée à droite, qui vaut h f (x)
h
h
selon le principe « base × hauteur ».
F (x + h) − F (x)
= f (x). Par définition
Conclusion : F (x +h)−F (x) ≈ h f (x) pour h tout petit, ou encore : lim
h→0
h
du nombre dérivé, on comprend mieux ainsi pourquoi F est dérivable de dérivée f .
Exemple
Exemple
Z
2π
0
2π
sin t dt = −cos 0 = 0
Pour tout α ∈ R+ :
Z
Z
et
1
x α dx =
0
x α+1
α+1
2π
0
| sin t| dt =
x=1
x=0
=
Z
π
sin t dt −
0
1
.
α+1
Z
2π
π
π 2π
sin t dt = −cos 0 − −cos π = 4.
Intégrale très courante, à connaître PAR CŒUR !
On rencontre parfois dans les livres de mystérieuses intégrales sans bornes — par exemple :
$ ATTENTION ! $
Z
Z
Z
Z
t3
dx
2
2
t + 2t dt =
+t ,
= ln x,
sin θ dθ = − cos θ
ou
2u cos u2 du = sin u2 .
3
x
Cette notation sans bornes est utilisée pour son efficacité calculatoire comme nous allons le voir, mais elle n’a AUCUN SENS
À PROPREMENT PARLER puisqu’on primitive toujours à constante additive près. Je répète et j’insiste, cette notation est bien
commode mais NE DÉSIGNE AUCUN OBJET MATHÉMATIQUE.
Exemple
La fonction x 7−→ e−x sin x admet x 7−→ −
En effet
Z
−x
e
sin x dx
=
Z
=−
e−x
2

sin x + cos x pour primitive sur R.

Im e(−1+i)x dx = Im
e−x
2
sin x + cos x .
4
Z
(−1+i)x
e
e(−1+i)x
dx = Im
−1 + i
=−

e−x
Im (1 + i)eix
2
f (x)
Exemple
ϕ
x2
2
4
2
e−t dt est dérivable sur R de dérivée x 7−→ 2xe−x − e−x .
x
F
−t 2
Z
x
2
e−t dt en est une primitive. Or pour tout
La fonction t 7−→ e
est continue sur R donc x 7−→
0
4
2
ϕ(x) = F x 2 − F (x), donc ϕ est dérivable de dérivée x 7−→ 2x F ′ x 2 − F ′ (x) = 2xe−x − e−x .
En effet
x ∈R:
3
Z
INTÉGRATION PAR PARTIES
Définition (Fonction de classe C 1 ) Soit f : I −→ K une fonction. On dit que f est de classe C 1 sur I si f est dérivable
sur I et si f ′ est continue sur I .
L’ensemble des fonctions de classe C 1 sur I à valeurs dans K est noté C 1 (I , K).
Ne confondez pas « dérivable à dérivée continue », i.e. « de classe C 1 », et « dérivable ET continue ».
$ ATTENTION ! $
Comme la dérivabilité implique la continuité, « dérivable ET continue » est une maladresse que vous me ferez le plaisir
d’éviter !
Exemple
Toute primitive d’une fonction continue est de classe C 1 puisque sa dérivée, justement, est continue.
Théorème (Intégration par parties) Soient u, v ∈ C 1 (I , C) et a, b ∈ I .
Z
b
′
u (t)v(t) dt = uv
a
b
−
a
Z
b
u(t)v ′ (t) dt.
a
Démonstration Comme u et v sont de classe C 1 , les fonctions (uv)′ , u′ v et uv ′ sont continues, donc d’après
le théorème fondamental du calcul intégral et par linéarité de l’intégrale :
Exemple
Exemple
Z
Z
uv
b
a
=
π
t cos t dt =
0
1
0
Z
Z
b
′
(uv) (t) dt =
a
′
π u (t)
0
Z
a
b
′
v(t)
t=π
z}|{ z}|{
IPP cos t × t dt = t sin t t=0 −
Z
Z
π
0
sin t dt = −
b
′
u (t)v(t) dt +
a
Z
π
0
Z
b
u(t)v ′ (t) dt.
a

t=π
sin t dt = − − cos t t=0 = −2.
′
(t)
v(t)
Z 1 zu}|{
Z
z}|{

t=1 1 1
2
2
e 1 t 2 t=1 1
2
1
IPP 1
2
t
2 t2
3 t
2te × t dt =
−
= .
t e
e
2te t dt = −
t e dt =
t=0
t=0
2 0
2
2 0
2 2
2
En pratique On peut aussi pratiquer des intégrations
par parties sur desZintégrales sans bornes pour calculer des
Z
primitives. La formule prend ici la forme suivante :
Exemple

u (t)v(t) + u(t)v (t) dt =
′
u′ (t)v(t) dt = u(t)v(t) −
u(t)v ′ (t) dt.
La fonction logarithme admet x 7−→ x ln x − x pour primitive sur R∗+ .
En effet
Z
ln x dx =
Z
u′ (x)
v(x)
z}|{ z}|{
IPP
1 × ln x dx = x ln x −
5
Z
1
x × dx = x ln x −
x
Z
dx = x ln x − x.
Exemple
En effet
4
Arctan x
|x|
Arctan x
−
admet x 7−→ ln p
x2
x
x2 + 1
u′ (x)
Z
v(x)
Z
Z z}|{

z }| {
Arctan x
1
1
1
IPP
Arctan
x
dx
=
−
× 2
−
dx
=
×
−
x2
x
x
x
+1
Z
Un exemple
Arctan x
Arctan x
dx
|x|
−
=−
+
.
=
ln p
2
2
x
x
précédent
x x +1
x +1
Arctan x
dx
x2
CHANGEMENT DE VARIABLE
Théorème (Changement de variable) Soient ϕ ∈ C 1 (I , R), f ∈ C (J , C) et a, b ∈ I . On suppose ϕ à valeurs dans J .
Z
b
a
f ϕ(t) ϕ ′ (t) dt =
Z
ϕ(b)
f (x) dx.
ϕ(a)
Démonstration Continue, f possède une primitive F de classe C 1 , et comme ϕ est de classe C 1 , la fonction
(F ◦ ϕ)′ = f ◦ ϕ × ϕ ′ est continue. Du coup, d’après le théorème fondamental du calcul intégral :
Z
En pratique b
a
Z
ϕ(b)
b
f ϕ(t) ϕ ′ (t) dt = F ◦ ϕ a = F ϕ(b) − F ϕ(a) = F ϕ(a) =
ϕ(b)
f (x) dx.

ϕ(a)
Pour retrouver vite la formule, mais sans rigueur :
— on part de x = ϕ(t),
dx
= ϕ ′ (t), et donc dx = ϕ ′ (t) dt,
dt
— ensuite on multiplie par f (x) = f ϕ(t) : f (x) dx = f ϕ(t) ϕ ′ (t) dt,
— ensuite on « dérive » :
— enfin on intègre — pendant que t varie de a à b, x = ϕ(t) varie de ϕ(a) à ϕ(b).
Exemple
Afin de comprendre la technique du changement de variable, nous allons effectuer successivement trois chanZ1 t
e
gements de variables dans l’intégrale
dt. Ces changements de variables ne nous aideront pas à calculer ladite
1
+t
0
intégrale, mais nous n’arriverons pas à la calculer de toute façon.
En effet
1
dt
= ,
du
u
• Changement de variable t = ln u : On « dérive » :
Ensuite :
et
eln u
du
du
dt =
×
=
.
1+ t
1 + ln u
u
1 + ln u
Enfin, u = 1 quand t = 0 et u = e quand t = 1, donc :
x
• Changement de variable u = : On « dérive » :
e
du
dx
du
=
=
.
Ensuite :
1 + ln u ln(eu)
e ln x
Z
1
et
dt =
1+ t
0
du
1
= ,
dx
e
2
Enfin, x = e quand u = 1 et x = e quand u = e, donc :
Z
e
1
• Changement de variable x = s2 : On « dérive » :
Ensuite :
Enfin, s =
s ds
2s ds
dx
=
=
.
2
e ln x
e
ln s
e ln s
p
2
Z
e
6
Z
e
du
=
1 + ln u
1
e2
Z
du
.
u
du
.
1 + ln u
donc du =
dx
= 2s,
ds
e quand x = e et s = e quand x = e , donc :
donc dt =
dx
.
e
e2
e
dx
.
e ln x
donc dx = 2s ds.
dx
=
e ln x
Z
e
p
e
s ds
.
e ln s
Exemple
Z
p
3
p
x
π
dx = 2 3 − − 2.
x +1
6
1
En effet Aucune formule de primitivation simple ne saute ici aux yeux et aucune intégration par parties
naturelle ne paraît simplifier l’intégrale étudiée. Le changement de variable x = u2 paraît naturel à cause du
p
numérateur « x ». On choisira par exemple u positif.
dx
On part de x = u2 puis on « dérive » :
= 2u, donc dx = 2u du.
du
p
p
2
x
u2
|u|
u¾0 2u
Ensuite :
dx = 2
× 2u du = 2
× 2u du = 2
du.
x +1
u +1
u +1
u +1
Z p3
Z3 p
p
u2
x
dx = 2
du.
Enfin, u = 1 quand x = 1 et u = 3 quand x = 3, donc :
2
x +1
u +1
1
1
Cette nouvelle intégrale, par chance, est facile à calculer, c’est une intégrale de fraction rationnelle.
Z
Exemple
Z
3
1
p
x
dx = 2
x +1
Z
p
1
3
1−
1
2
u +1

p

u=p3
p
π
π
π
=2
du = 2 u − Arctan u
−2 1−
= 2 3 − − 2.
3−
u=1
3
4
6
1
p
π
1 − x 2 dx = .
2
−1
y=
p
1 − x2
Demi-disque
π
d’aire
2
En effet On va ici heffectueri le changement de variable x = sin θ . On choisira
π π
— intervalle sur lequel x décrit tout [−1, 1]. On
par exemple θ dans − ,
2 2
dx
« dérive » :
= cos θ , donc dx = cos θ dθ . Ensuite :
dθ
p
p
p
1 − x 2 dx = 1 − sin2 θ × cos θ dθ = cos2 θ cos θ dθ = | cos θ | × cos θ dθ
Enfin, θ = −
Z
1

π
θ∈ − π
2,2
=
cos2 θ dθ .
π
π
quand x = −1 et θ = quand x = 1, donc :
2
2
1
−1
p
1−
x2
dx =
Z
π
2
2
cos θ dθ =
−π
2
Z
π
2
−π
2

1 + cos(2θ )
2

π

π
π
sin(2θ ) θ = 2
dθ = +
= .
π
2
4
2
θ =−
2
On peut aussi pratiquer des changements de variables sur des intégrales sans bornes pour calculer
En pratique des primitives. N’OUBLIEZ PAS DANS CE CAS DE REVENIR À LA VARIABLE DE DÉPART !
Exemple
θ 1
admet θ −
7 → ln tan pour primitive sur R \ πZ.
La fonction θ 7−→
sin θ
2
Z
dθ
. Cette
sin θ
intégrale admet θ pour variable mais je vous conseille de privilégier la relation « x = cos θ » à la relation
« θ = Arccos x », les calculs s’en trouveront facilités.
dx
On part de x = cos θ puis on « dérive » :
= − sin θ , donc dx = − sin θ dθ .
dθ
Z
Z
sin θ dθ
sin θ dθ
−dx
dx
dθ
dθ
=
=
=
.
=
,
d’où
l’égalité
:
Ensuite :
2 −1
sin θ
1 − cos2 θ
1 − x2
cos
θ
x
sin2 θ

1
1
1
1
, donc :
=
−
Or après décomposition en éléments simples :
X2 − 1
2 X −1 X +1
Z
Z
Z
dθ
1
1
dx
1
dx
ln |x − 1| ln |x + 1|
1 − x Retour 1
1 − cos θ
x=cos θ
=
=
=
−
=
−
ln
ln
donc x∈[−1,1]
cos θ
2
x −1 2
x +1
2
2
2
1+ x
2
1 + cos θ
àθ
v
2 θ
2 sin
t
θ
1
θ
2
= ln tan2 = ln tan .
= ln
θ
2
2
2
2 cos2
2
En effet
On va ici effectuer le changement de variable x = cos θ dans l’intégrale sans borne
7
Exemple
La fonction x 7−→ cos(2 ln x) admet x 7−→
En effet

x
2 sin(2 ln x) + cos(2 ln x) pour primitive sur R∗+ .
5
Z
On va ici effectuer le changement de variable x = e t dans l’intégrale sans borne
cos ln x dx. On
dx
= e t , donc dx = e t dt. Finalement :
dt
Z
Z
Z
Z
(1+2i)t

e
t
(1+2i)t
(1+2i)t
cos(2 ln x) dx = e cos(2t) dt = Re e
dt = Re
e
dt = Re
1 + 2i

et
Retour x
et
2 sin(2 ln x) + cos(2 ln x) .
Re e2it (1 − 2i) =
2 sin(2t) + cos(2t)
=
=
5
5
5
àx
« dérive » :
TABLEAU RÉCAPITULATIF DES PRIMITIVES USUELLES
5
Fonction
Primitive
Fonction
Primitive
Fonction
Primitive
ex
ex
sin x
− cos x
sh x
ch x
ln x
x ln x − x
cos x
sin x
ch x
sh x
1
x
ln |x|
tan x
− ln | cos x|
th x
ln ch x
x α (α 6= −1)
x α+1
α+1
8
Fonction
1
1 + x2
1
p
1 − x2
Primitive
Arctan x
Arcsin x