Fiche 024 - intégration par parties

Fiche 024 - intégration par parties
∫a
b
b
∫
b
u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]a − a u'(x)v(x) dx
Exemple 1
calculer les intégrales suivantes
∫
e
∫
2
ln3
∫
a. 1 x ln x dx
b. 0
∫
c. 1 (x² + 4x + 1)ln x dx
(x − 1)ex dx
2
d. 1 (x² + 4x + 1)cos x dx
Exemple 2
calculer à l'aide d'une double intégration par parties
∫
π/2
e. 0
g.
∫-π
0
(x + 1)² e−x dx
ex cos x dx
f.
∫-1
1
x² sin 2x dx
h.
∫0
π 2x
e sin x dx
Exemple 3
Soit I =
∫0
π/4
(2x + 1) cos² x dx
et J =
∫0
π/4
(2x + 1) sin² x dx
1. Calculer I + J
2. Calculer I − J
3. En déduire les valeurs de I et de J .
∫
x
On rappelle que la primitive de f qui s'annule en a est F(x) = a f(t) dt
Exemple 4
a. Calculer la primitive de x → xex qui s'annule en 0 .
b. Calculer la primitive de x → (x² + 1)ex qui s'annule en − 1 .
c. Calculer la primitive de x → x sin x qui s'annule en 0 .
d. Calculer la primitive de x → ex cos x qui s'annule en 0 .