EXERCICE 1 (3 points ) Commun à tous les candidats On considère
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EXERCICE 1 (3 points ) Commun à tous les candidats On considère
EXERCICE 1 (3 points ) Commun à tous les candidats On considère la suite (un ) définie par u0 = 1 pour tout entier naturel n. un+1 = un + 2n + 3 1) Etudier la monotonie de la suite (un ). 2) a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, un > n2 . b) Quelle est la limite de la suite (un ) ? 3) Conjecturer une expression de un en fonction de n, puis démontrer la propriété ainsi conjecturée. 2 BACCALAUREAT GENERAL Session 2004 MATHEMATIQUES - Série S Enseignement Obligatoire EXERCICE 1 1) Soit n un entier naturel. On a un+1 − un = 2n + 3 et en particulier un+1 − un > 0. Ainsi, pour tout entier naturel n, un+1 > un et donc la suite (un ) est une suite strictement croissante. 2) a) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, on a un > n2 . • On a déjà u0 = 1 et donc u0 > 02 . L’inégalité de l’énoncé est donc vraie quand n = 0. • Soit n un entier naturel. Supposons que un > n2 . On a un+1 = un + 2n + 3 et donc par hypothèse de récurrence un+1 > n2 +2n+3. Mais n2 +2n+3 > n2 +2n+1 ou encore n2 +2n+3 > (n+1)2 . On en déduit que un+1 > (n+1)2 . On vient de montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un > n2 . b) Puisque lim n2 = +∞ et que pour tout entier naturel n, on a un > n2 , n→ +∞ lim un = +∞. n→ +∞ 3) Donnons les premières valeurs de un dans un tableau. n 0 1 2 3 4 5 un 1 4 9 16 25 36 Il semblerait que pour tout entier naturel n on ait un = (n + 1)2 . Montrons par récurrence que cette égalité est effectivement vraie pour tout entier naturel n. • On a déjà u0 = 1 = (0 + 1)2 et l’égalité est vraie quand n = 0. • Soit n un entier naturel. Supposons que un = (n + 1)2 . Alors un+1 = un + 2n + 3 = (n + 1)2 + 2n + 3 (par hypothèse de récurrence) 2 = n + 4n + 4 = (n + 2)2 2 = ((n + 1) + 1) . On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n, un = (n + 1)2 . http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.