Exercice 03 x - XMaths

Exercice 03
La suite (wn)n∈IN est définie par w0 = -2 et wn+1 = 1 wn - 3
2
En prenant n = 0, la relation de récurrence donne :
w0+1 = 1 w0 - 3 donc w1 = 1 x (-2) - 3 = -1 - 3 = - 4
2
2
En prenant n = 1, la relation de récurrence donne :
w1+1 = 1 w1 - 3 donc w2 = 1 x (-4) - 3 = -2 - 3 = - 5
2
2
En prenant n = 2, la relation de récurrence donne :
w2+1 = 1 w2 - 3 donc w3 = 1 x (-5) - 3 = - 5 - 3 = - 11
2
2
2
2
En prenant n = 3, la relation de récurrence donne :
w3+1 = 1 w3 - 3 donc w4 = 1 x - 11 - 3 = - 11 - 3 = - 23
2
2  2
4
4
Avec un tableur, on peut entrer
dans la colonne A les nombres entiers à partir de 0
dans la cellule B1 la valeur initiale -2
dans la cellule B2 la formule =B1/2-3
puis recopier cette formule dans la plage B3:B41
On obtient alors les valeurs approchées de w0 à w40
w10 ≈ - 5,996094
w20 ≈ - 5,999996
w40 ≈ - 6
Avec une calculatrice sachant travailler sur les suites
définies par récurrence (TI 89 par exemple), on obtient
assez facilement lesvaleurs approchées
(La calculatrice doit être positionnée en mode Suite)
Définition de la suite :
Calculs
Avec une calculatrice ne sachant pas travailler sur les suites définies par récurrence, on pourra écrire un
programme.
Par exemple sur TI82
-2֏U
Input "N ",N
0֏M
Lbl 1
U/2-3֏U
on obtiendra
M+1֏M
If M<N
Goto 1
Disp U
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TS − Suites − Corrections
Considérons la proposition
wn = 1 - 6
2n-2
1 - 6 = 1 - 6 = 22 - 6 = 4 - 6 = - 2
20-2
2-2
La proposition est donc vraie pour n = 0 (Initialisation)
Pour n = 0, on a par définition w0 = - 2
et
Supposons que la proposition est vraie pour un entier n fixé.
Alors wn = 1 - 6
2n-2
On sait par définition de la suite (wn) que wn+1 = 1 wn - 3 , on peut donc écrire :
2
1
wn+1 = 1  1 - 6 - 3 = 1 x 1 - 1 x 6 - 3 = 1 - 3 - 3 =
-6
2 2n-2
2 2n-2 2
2n-2+1
2(n+1)-2

La proposition est alors vérifiée pour l'entier n+1 (Hérédité)
On a donc démontré par récurrence que pour tout n ∈ IN
wn = 1 - 6
2n-2
(La suite définie dans cet exercice est donc identique à la suite définie dans l'exercice 2)
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