1 Suites et raisonnement par récurrence – Exercice corrigé

Suites et raisonnement par récurrence – Exercice corrigé
Terminale S (Tale S)
Exercice 1 (2 questions)
Niveau : facile
On considère la suite
définie, pour tout entier naturel,
Démontrer que, pour tout entier naturel
:
par
.
Correction de l’exercice 1
Considérons la propriété
, définie pour tout entier naturel , par :
1- Initialisation :


Donc
et par conséquent
est vraie. La propriété
est donc initialisée au rang .
2- Hérédité :
Montrons que si
est vraie, alors
est vraie.
Autrement dit, montrons que,
Supposons
.
vraie au rang , c’est-à-dire supposons
.
Alors,
Donc
et par conséquent
On vient donc de montrer que, si
propriété
est héréditaire.
est vraie au rang
.
est vraie au rang , alors
est vraie au rang
. Donc la
3- Conclusion :
D’après 1- et 2-, la propriété
vraie. En d’autres termes,
est initialisée au rang
.
et héréditaire donc, pour tout entier naturel ,
est
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Rappel : Le principe du raisonnement par récurrence
Soit une propriété définie sur l’ensemble des entiers naturels (ou sur un intervalle de ).
Si :
 La propriété est initialisée à partir d’un certain rang
(c’est-à-dire si
est vraie)
 La propriété est héréditaire à partir du rang
(c’est-à-dire si pour tout
Alors :
La propriété est vraie à tout rang plus grand que .
)
Remarque : Chacune des étapes du raisonnement doit être clairement indiquée (initialisation puis hérédité et
enfin conclusion).
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