Correction Dm 3

[ Correction Dm 3 \
Exercice obligatoire
1. La fonction f est une fonction homographique, elle est dérivable sur son domaine de définition et pour tout réel x > −1 on a :
4(x + 1) − (4x − 2) × 1
(x + 1)2
f ′ (x) =
···
=
6
(x + 1)2
Comme un carré est toujours positif, f ′ (x) est toujours strictement positif donc
✞
☎
✝
✆
f est strictement croissante sur ] − 1 ; +∞[
2. Démontrons par récurrence que que pour tout entier n,
un Ê 2 :
Initialisation
u0 = 3
donc u 0 Ê 2 La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité
Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier naturel n fixé, c’est à dire que
u n Ê 2 et sous cette hypothèse montrons qu’elle est aussi vraie pour l’entier naturel n + 1 :
un Ê 2
d’après l’hypothèse de récurrence
f (u n ) Ê f (2)
u n+1 Ê 2
car f est croissante
car f (2) = 2
La propriété se transmet d’un rang au suivant, elle est donc héréditaire.
Autre méthode
Pour prouver que u n+1 Ê 2 on peut calculer u n+1 − 2 et prouver que cette différence est positive :
4u n − 2
−2
un + 1
4u n − 2 − 2(u n + 1)
=
un + 1
2(u n − 2)
=
un + 1
u n+1 − 2 =
Or on a supposé que u n Ê 2 donc u n − 2 et u n + 1 sont positifs donc u n+1 − 2 est positif. On en
déduit que u n+1 Ê 2.
Conclusion
La propriété est vraie pour n = 0, elle est héréditaire donc d’après le principe de récurrence
u n Ê 2 pour tout entier naturel n.
3. Pour tout entier naturel n, on a :
4u n − 2
− un
un + 1
(4u n − 2) − u n (u n + 1)
=
un + 1
2
−u n + 3u n − 2
=
un + 1
u n+1 − u n =
Considérons le polynôme −X 2 + 3X − 2, il a pour discriminant ∆ = · · · = 1 et pour racines
X 1 = · · · = 1 et X 2 = · · · = 2
Comme le coefficient de X 2 est négatif, le polynôme est négatif à l’extérieur de ses racines. En
particulier, si X Ê 2 on a −X 2 + 3X − 2 É 0.
Or pour tout entier n, u n Ê 2 donc −u n2 + 3u n − 2 É 0.
De plus u n + 1 > 0. On peut donc en déduire que u n+1 − u n est négatif donc que
☎
✞
✝la suite est décroissante. ✆
Autre démonstration :
On peut démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, u n+1 É u n .
Exercice facultatif
Suite arithmétique cachée
On considère la suite u définie sur N∗ par u 1 = 1 et pour tout entier n :
u n+1 =
nu n + 4
n +1
On commence par calculer les premiers termes
2u 2 + 4
4u 3 + 4
3u 3 + 4
u5 =
u4 =
1u 1 + 4
2+1
4+1
3+1
u2 =
u1 = 1
5+4
13 + 4
9+4
1+1
u3 =
u5 =
u4 =
1
5
3
5
4
u1 =
u2 =
1
9
13
17
2
u4 =
u3 = = 3
u5 =
3
4
4
vn
où (v n ) est une suite arithOn peut remarquer que sur ces premier termes, il semble que u n =
n
métique de premier terme v 1 = 1 et de raison 4.
1 + 4(n − 1) 4n − 3
=
.
On peut donc penser que u n =
n
n
Démontrons cette égalité par récurrence :
Initialisation
4×1−3
4×1−3
u1 = 1
et
=1
donc u 1 =
1
1
L’égalité est vraie au rang 1.
Hérédité
Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier naturel n > 0,
4n − 3
4n + 1
et sous cette hypothèse montrons que u n+1 =
c’est à dire que u n =
n
n +1
u3 =
u n+1 =
u n+1 =
nu n + 4
n +1
n 4n−3
n +4
n +1
(4n − 3) + 4
u n+1 =
n +1
4n + 1
u n+1 =
n +1
d’après la définition de la suite
d’après l’hypothèse de récurrence
L’égalité est vraie au rang au suivant, elle est donc héréditaire.
Conclusion
L’égalité est vraie pour n = 1, elle est héréditaire donc d’après le principe de récurrence
✎
4n − 3
un =
n
✍
☞
pour tout entier naturel n Ê 1.
✌