2.5.4 Compléments (fonctions trigonométriques inverses)

2.5 Techniques d’intégration
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2.5.4 Compléments (fonctions trigonométriques inverses)
Les fonctions trigonométriques x
sin(x), x
cos(x), x
tan(x) n’étant pas
monotones sur R (la fonction x
tan(x) n’est même pas définie sur R tout
entier), pour construire des fonctions inverses (on dit aussi fonctions réciproques)
aux fonctions trigonométriques, on est obligé de se restreindre à des intervalles de
monotonie de ces fonctions (on prend en général des intervalles de monotonie
maximaux).
I. La fonction arcsin:
−π π
la fonction x sin(x) est monotone (strictement croissante) sur l’intervalle [ 2 , 2 ].
−π π
On définit alors son inverse, arcsin: [ − 1, 1]
[ 2 , 2 ], x arcsin(x).
Il faut retenir que:
1. le domaine de définition de la fonction arcsinus est [ − 1, 1]
π
−π
6y6
2. y = arcsin(x)
sin(y) = x et
2
2
Les graphes de ces deux fonctions sont symétriques par rapport à la
droite d’équation y = x.
En utilisant les règles de dérivation de fonctions composées, on montre
que la fonction x
arcsin(x) est dérivable sur ] − 1, 1[ et que
1
′
.
(arcsin(x)) = √
1 − x2
II. La fonction arccos:
la fonction x cos(x) est monotone (strictement décroissante) sur l’intervalle
[0, π]. On définit son inverse, arccos: [ − 1, 1]
[0, π], x arccos(x).
Il faut retenir que:
1. le domaine de définition de la fonction arccos est [ − 1, 1]
2. y = arccos(x)
(cos(y) = x et 0 6 y 6 π)
Intégration: fonction réelle d’une variable réelle.
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Les graphes de ces deux fonctions se déduisent l’un de l’autre par symétrie orthogonale par rapport à la droite d’équation y = x.
En utilisant les règles de dérivation de fonctions composées, on montre
arccos(x) est dérivable sur ] − 1, 1[ et que
que la fonction x
1
′
.
(arccos(x)) = − √
1 − x2
Remarque: En utilisant les définitions des fonctions arcsin, arccos et
les formules trigonométriques usuelles, on montre:
π
∀x ∈ [ − 1, 1], arcsin(x) + arccos(x) = .
2
En effet, pour x ∈ [ − 1, 1], posons y = arcsin(x).
π
π
π
Nous avons − 6 y 6 et sin(y) = x. Or on a sin(y) = cos( − y).
2
2
2
π
Comme 0 6 − y 6 π, on obtient
2
π
π
arcsin(x) + arccos(x) = y + arcos(cos( − y)) = .
2
2
III. La fonction arctan:
−π π
la fonction tangente est monotone (strictement croissante) sur l’intervalle ]
, [.
2 2
−π π
, [ par la fonction x
tan(x) est R tout
L’image de l’intervalle ]
2
2
entier. La fonction inverse (ou encore réciproque) déduite est la fonction
−π π
arctan: R
]
, [. Ce qu’il faut retenir:
2 2
1. Le domaine de définition de arctan est R
−π
π
tan(y) = x et
2. y = arctan(x)
<y<
2
2
arctan est dérivable sur R et on a arctan(x) ′ =
1
.
1 + x2
IV. Complément à la liste des primitives des fonctions usuelles:
λ désignant une constante réelle quelconque, nous avons:
Z
1
dx = arcsin(x) + λ
√
1.
1 − x2
Z
1
dx = arctan(x) + λ
2.
1 + x2
2.6 Intégrales impropres - Définitions et exemples
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2.6 Intégrales impropres - Définitions et exemples
Une généralisation de la notion d’intégrale définie.
2.6.1 Intégrales (impropres) sur un intervalle non borné
Définition 2.30.
R. On suppose que pour tout b > a, f est intégrable
Soient a ∈ R, f : [a, + ∞[
sur l’intervalle fermé borné [a, b].
Z +∞
Z b
On pose alors par définition
f (x)dx = lim
f (x)dx. L’expression
+∞ a
b
a
"
"
Z +∞
f(x)dx est appelée intégrale impropre de f sur a, + ∞ .
Z b
a
Si
lim
f (x)dx existe et est un nombre réel, alors l’intégrale impropre
Z +∞ b +∞ a
f (x)dx Zest dite convergente.
Z
b
a
divergente
Si
b
+∞
f (x)dx n’existe pas ou est infinie, alors
lim
+∞
f (x)dx est dite
a
a
Note: Nous n’allons pas aborder ici les théorèmes généraux de convergence des
intégrales impropres, mais plutôt considérer des cas simples où on sait calculer
Z b
f (x)dx. Le passage à la limite lorsque b tend vers + ∞ (ou lorsque a tend vers
a
− ∞ comme ci-dessous) nous permettra de décider de la convergence de l’intégrale
impropre considérée.
Exemple 2.31.
"
"
1. f : 1, + ∞
R, f (x) = x1 .
2
"
"
Z
b
1
f (x)dx = −
x
b
1
Pour b ∈ 1, + ∞ , on a f continue sur [1, b] et
=1− .
b
1
Z b
Z 1+∞
On en déduit lim
f (x)dx = 1, donc
f (x)dx = 1.

b
+∞ a
1
"
1
2. f : 1, + ∞
R, f (x) = .
x "
#b
Z b
On a, pour b >1,
f (x)dx = ln(x) = ln(b). Comme lim ln(b) = + ∞, on en
b
1
Z
1
+∞
+∞
f (x)dx diverge.
déduit que l’intégrale impropre
Z +∞
1
3. L’intégrale impropre
cos(x)dx diverge.
0"
#b
Z b
En effet
cos(x)dx = sin(x) = sin(b) et lim sin(b) n’existe pas.
0
b
0
+∞