décembre 2001

UNIVERSITE FRANÇOIS RABELAIS
FACULTÉ DE DROIT, D'ÉCONOMIE ET DES SCIENCES SOCIALES
Contôle Continu du 1er semestre
Année 2001-2002
DEUG Économie-Gestion 2ère année
Durée : 1 heure
Calculatrice Autorisée :
Casio FX 180P(+)
Mathématiques
Exercice 1
√
1
3
On pose z =
+i
.
2
2
2
1) Mettre z et z sous forme
trigonométrique.
z 2 et z 2 − z ;
z 4 − z 2 + 1 = 0.
2) Mettre sous forme cartésienne
3) Résoudre dans
C
Exercice 2
1) En écrivant
Z
arctan(x) dx
4
J=
1
Exercice 3
On pose
f (x) =
1
√ dx
x+ x
sous la forme
I=
arctan(x) 1 dx,
en utilisant le changement de variable
calculer
u=
√
I.
x.
1
.
+ 1)
x2 (x
1) Déterminer 3 réels
Z
2) En déduire
z2 − z + 1 = 0
Z
I=
Z
2) Calculer
:
en déduire les solutions de
a, b
et
c
tels que
1
f (x) =
a
b
c
+ +
.
2
x
x x+1
f (t) dt.
K=
1/3
Exercice 4
1) Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle
Z
2) Calculer
L=
0
π/4
tan(t)
dt
1 + sin2 (t)
x
(1 −
x2 )(1
+ x2 )
en utilisant le changement de variable
.
x = sin(t).
dans
C.
UNIVERSITE FRANÇOIS RABELAIS
FACULTÉ DE DROIT, D'ÉCONOMIE ET DES SCIENCES SOCIALES
Remplacement C.C. du 1er semestre
Année 2001-2002
DEUG Économie-Gestion 2ère année
Durée : 1 heure
Calculatrice Autorisée :
Mathématiques
Exercice 1
−1 + i
√ .
2
z2
.
Mettre sous forme cartésienne z1 z2 ,
z1
Mettre sous forme trigonométrique z1 , z2 , z13 , z24 .
π
π
En déduire cos(
) et sin( ).
12
12
On pose
1)
2)
3)
√
1
3
z1 = − + i
2
2
et
z2 =
Exercice 2
1) a) Calculer la dérivée
de la fonction
Z
b) Calculer
I=
3
Z
2) Calculer
J=
1
√
x 7→ tan(x).
x
dx.
cos2 (x)
x−1
dx
1+x
√
en utilisant le changement de variable
Exercice 3
1) Développer, réduire et ordonner
u=
x−1
√ .
2
(x − 1)(1 + (x + 1)2 ).
2) Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle
x3
5
.
+ x2 − 2
Exercice 4
(a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 .
On pose z = eiθ = cos(θ) + i sin(θ).
1) Montrer que z z̄ = 1 puis que
On rappelle que
z + z̄ = cos(θ),
z 2 + z̄ 2 = cos(2θ),
1
cos4 (θ) = (cos(4θ) + 4 cos(2θ) + 3).
8
Z
2) En déduire que
π/2
3) Calculer
cos4 (t) dt.
K=
0
z 3 + z̄ 3 = cos(3θ).
Casio FX 180P(+)