5 - Faculté des Sciences Dhar Mahraz Fès

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Applications circulaires réciproques Fonctions hyperboliques
Fonctions usuelles
Brahim Boussouis
Département de Mathématiques, Faculté des Sciences de Fès.
Octobre 2013
Brahim Boussouis
Fonctions usuelles
Nous supposons connues les propriétés des fonctions logarithmes et
exponentielles de base a > 0 (x 7→ loga x et x 7→ ax ), des fonctions
puissances (x 7→ x α , α ∈ R) et des fonctions trigonométriques circulaires
(sin, cos, tg et cotg).
Brahim Boussouis
Fonctions usuelles
L’application Arcsin L’application Arccos L’application Arctg
Sommaire
1
Applications circulaires réciproques
L’application Arcsin
L’application Arccos
L’application Arctg
2
Fonctions hyperboliques
Fonctions hyperboliques directes
Trigonométrie hyperbolique
Fonctions hyperboliques réciproques
Brahim Boussouis
Fonctions usuelles
Théorème et définition
L’application sin réalise une bijection continue strictement croissante de
[−π/2, π/2] sur [−1, 1] et, elle est dérivable et sa dérivée ne s’annule pas
sur ]−π/2, π/2[. Sa réciproque est appelée arc sinus, notée Arcsin, et on a :
π
y = sin x , |x | ≤
⇐⇒ (x = Arcsin y , |y | ≤ 1).
(1)
2
∀x ∈ ]−1, 1[ ,
d
dx
(Arcsin x )
=
√
1
1 − x2
.
(2)
Démonstration.
Seule la formule 2 mérite une démonstration. En utilisant la formule de
dérivation d’une fonction réciproque, on peut écrire pour tout x ∈ ]−1, 1[ :
d
1
(Arcsin x ) =
. Or cos(Arcsin x ) ≥ 0 (car |Arcsin x | ≤ π/2)
dx
cos (Arcsin x )
et cos2 (Arcsin x ) + sin2 (Arcsin x ) = cos2 (Arcsin x ) + x 2 = 1, donc
√
cos (Arcsin x ) = 1 − x 2 .
Brahim Boussouis
Fonctions usuelles
5
5
4
4
3
3
1
1
0
0
−5
−4
−3
−2
−1
arcco
2
arcsin x
2
0
1
2
3
4
5
−5
−4
−3
−2
−1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−5
−5
Brahim Boussouis
Fonctions usuelles
0
1
L’application cos réalise une bijection continue strictement décroissante de
[0, π] sur [−1, 1] et, elle est dérivable et sa dérivée ne s’annule pas sur ]0, π[.
Sa réciproque est appelée arc cosinus, notée Arccos, et on a :
(y = cos x , 0 ≤ x ≤ π)
∀x ∈ ]−1, 1[ ,
d
dx
(Arccos x )
⇐⇒
=
(x = Arccos y , |y | ≤ 1).
−√
1
1 − x2
.
(3)
(4)
La démonstration est analogue à la précédente.
Remarque
L’application x 7→ Arcsin x + Arccos x est continue sur [−1, 1] de dérivée
nulle sur ]−1, 1[, donc elle est constante sur [−1, 1]. Comme
Arcsin 0 + Arccos 0 = 0 +
π
2
=
π
2
, on en déduit :
∀x ∈ [−1, 1], Arcsin x + Arccos x =
Brahim Boussouis
Fonctions usuelles
π
2
.
(5)
L’application tg réalise une bijection continue strictement croissante de
]−π/2, π/2[ sur R, et elle est dérivable et sa dérivée ne s’annule jamais. Sa
réciproque est appelée arc tangente notée Arctg. On a :
∀x ∈ R,
d
dx
(Arctg x ) =
1
1 + x2
.
(6)
Remarque
La fonction f : x 7→ Arctg x + Arctg
1
est continue sur R∗ et sa dérivée est
x
nulle. Donc elle est constante sur les intervalles R∗− et R∗+ . Comme
Arctg 1 =
π
4
et que f est impaire, on obtient :
∀x ∈ R∗ , Arctg x + Arctg
Brahim Boussouis
1
x
=
Fonctions usuelles
π
2
sgn x .
(7)
Remarques
I
On a : ∀x ∈ [−1, 1], sin (Arcsin x ) = x, mais Arcsin (sin x ) n’est pas
toujours égal à x : En effet, soit f (x ) = Arcsin (sin x ). f est définie sur R,
elle est 2π-périodique et impaire et coïncide avec l’identité uniquement
sur [−π/2, π/2].
I
De même, on a cos (Arccos x ) = x, pour tout x ∈ [−1, 1] et
tg (Arctg x ) = x, pour tout x ∈ R, mais Arccos (cos x ) et Arctg (tg x ) ne
sont pas toujours égaux à x. (voir figure).
Brahim Boussouis
Fonctions usuelles
Brahim Boussouis
Fonctions usuelles
Fonctions hyperboliques directes Fonctions hyperboliques réciproques
Sommaire
1
Applications circulaires réciproques
L’application Arcsin
L’application Arccos
L’application Arctg
2
Fonctions hyperboliques
Fonctions hyperboliques directes
Trigonométrie hyperbolique
Fonctions hyperboliques réciproques
Brahim Boussouis
Fonctions usuelles
Définition
On désigne par :
ex − e−x
I
sinus hyperbolique l’application sh : x 7→
I
cosinus hyperbolique l’application ch : x 7→
I
2
.
e x + e −x
2
sh x
tangente hyperbolique l’application th : x →
7
.
ch x
.
Proposition
Les fonction sh, ch et th sont définies et de classe C ∞ sur R. De plus, sh et
th sont impaires et ch est paire.
0
0
On a, pour tout x ∈ R, (ch x ) = sh x, (sh x ) = ch x > 0 et
1
(th x )0 = 2 = 1 − th2 x > 0. Donc sh et th sont strictement % sur R.
ch x
0
Pour tout x > 0,(ch x ) = sh x > sh(0) = 0, donc ch est strictement % sur
R+ .
1 − e−2x
lim ch x = lim sh x = +∞ et lim th x = lim
= 1.
x →+∞
x →+∞
x →+∞
x →+∞ 1 + e−2x
Brahim Boussouis
Fonctions usuelles
ch x,sh x,th x, e2
x
Brahim Boussouis
Fonctions usuelles
Les formules suivantes sont faciles à établir et sont analogues aux formules
de trigonométrie circulaire.
ch x + sh x = ex
ch2 x − sh2 x = 1
sh(x − y ) = sh x ch y − ch x sh y
ch(x − y ) = ch x ch y − sh x sh y
th(x − y ) =
th x − th y
1 − th x th y
sh 2x = 2 sh x ch x
2 sh x sh y = ch(x + y ) − ch(x − y )
2 sh x ch y = sh(x + y ) + sh(x − y )
a−b
a+b
sh a − sh b = 2 sh
ch
2
2
a+b
a−b
sh
ch a − ch b = 2 sh
2
2
Brahim Boussouis
ch x − sh x = e−x
sh(x + y ) = sh x ch y + ch x sh y
ch(x + y ) = ch x ch y + sh x sh y
th x + th y
th(x + y ) =
1 + th x th y
ch 2x = 2 ch2 x − 1
th 2x =
2 th x
1 + th2 x
2 ch x ch y = ch(x + y ) + ch(x − y )
a+b
a−b
sh a + sh b = 2 sh
ch
2
2
a+b
a−b
ch a + ch b = 2 ch
ch
2
2
Fonctions usuelles
L’application sh : R → R, l’application th : R → R et l’application
ch : R+ → [1, +∞[ sont des bijections continues, strictement croissantes et
dérivables. Leurs réciproques sont respectivement appelées argument sinus
hyperbolique (notée Argsh), argument tangente hyperbolique (notée Argth)
et argument cosinus hyperbolique (notée Argch).
(Argsh x )0
=
(Argch x )0 (x )
=
(Argth x )0
=
Brahim Boussouis
1
√
, (x ∈ R);
x + 1 + x2
1
√
, (x > 1);
x2 − 1
1
, (−1 < x < 1).
1 − x2
Fonctions usuelles
Argsh x, Argch x, Argth x
Brahim Boussouis
Fonctions usuelles
On a les formules suivantes :
√
Argsh x = log x + 1 + x 2
1
1+x
Argth x = log
2 √1 − x
ch (Argsh x ) = 1 + x 2
√
sh (Argch x ) = √ x 2 − 1
x2 − 1
th (Argch x ) =
ch (Argth x ) = √
√
Argch x = log x + x 2 − 1
sh (Argsh x ) = x
th (Argsh x ) = √
x
1 + x2
ch (Argch x ) = x
sh (Argth x ) = √
x
1
x
1 − x2
th (Argth x ) = x
1 − x2
Démonstration.
Vérifions par exemple la première formule. On a :
e y − e −y
t − 1/t
Argsh x = y ⇐⇒ x = sh y =
⇐⇒ x =
, où t = ey . On en
2 2 √
√
déduit que t 2 − 2tx − 1 = 0. Donc t ∈ x + x 2 + 1, x − 1 + x 2 . Comme
√
y
t = ey > 0, on a t =
x 2 + 1 et
e =
√x + 2
y = Argsh x = log x + x + 1 .
Brahim Boussouis
Fonctions usuelles

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