fonctions usuelles et dérivées 1 Dérivées des fonctions usuelles 2

Université François Rabelais Tours
2014-2015
L1 Mathématiques
Formulaire: fonctions usuelles et dérivées
1
Dérivées des fonctions usuelles
Fonction
Ensemble D où la fonction dérivée est dé…nie
xn avec n 2 N
R
nxn
1
xn avec n 2 Z; n < 0
R
nxn
1
]0; +1[
x
1
]0; +1[
1
p
2 x
ln(x)
]0; +1[
1
x
exp(x)
R
exp(x)
sin(x)
R
cos(x)
cos(x)
R
x = e ln x avec
p
x = x1=2
tan(x) =
2R
sin(x)
cos(x)
R n fx j x
2
sin(x)
2
arcsin(x)
]
1; 1[
arccos(x)
]
1; 1[
arctan(x)
Fonction dérivée
mod 2 g
1
cos2 (x)
R
= 1 + tan2 (x)
p 1
1 x2
p 1
1 x2
1
1+x2
Opérations sur les dérivées
(f + g)0 = f 0 + g 0 là où f et g sont dérivables.
f
g
0
=
(f
g)0 = f 0
f0
g
f
g2
g0
g+f
g 0 là où f et g sont dérivables.
là où f et g sont dérivables et g ne s’annule pas.
1
(f
u)0 = f 0 u
u0 si u est dérivable sur D et f est dérivable sur u(D)
Exemples
(un )0 = nun 1 u0
p
0
( u)0 = 2upu
exp(u)0 = exp(u)
ln(u)0 =
cos(u)0 =
u0
u0
u
u0 et sin(u)0 = cos(u)
sin(u)
tan(u)0 = (1 + tan2 (u))
arctan(u)0 =
(f
3
1 0
) =
1
f0 f
1
u0
u0
u0
1+u2
là où f 0 f
1
ne s’annule pas
Quelques courbes représentatives
1.0
y
0.5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-0.5
-1.0
Les fonctions sin (impaire) et cos (paire).
y
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-1
-2
La fonction tan discontinue en
2
+ 2k où elle admet des limites in…nies
2
y
4
2
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-2
-4
-6
La fonction ln et sa tangente y = x
1 en x = 1
y8
6
4
2
-2
-1
0
1
2
x
La fonction exp et sa tangente y = x + 1 en x = 0
y
1.5
1.0
0.5
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
-0.5
0.4
0.6
0.8
1.0
x
-1.0
-1.5
La fonction arcsin dé…nie de [ 1; 1] dans [
3
; ] et sa tangente y = x en x = 0
y3
2
1
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
La fonction arccos dé…nie de [ 1; 1] dans [0; ] et sa tangente y =
y
x+
2
en x = 0.
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
-1
4
5
x
-2
-3
La fonction arctan dé…nie de R dans ]
2; 2[
et sa tangente y = x en 0
Pour f dérivable en x = a
équation de la tangente en x = a : y = f 0 (a)(x
f (x) = f (a) + (x
a) + f (a)
a)f 0 (a) + x"(x) avec lim "(x) = 0:
x!a
4