(formulaires fonctions usuelles, dérivées, primitives
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(formulaires fonctions usuelles, dérivées, primitives
Tableaux des dérivées et primitives et quelques formules en prime Fonction Domaine de dérivabilité ln(x) R+,∗ ex 1 x √ x R xα , α ∈ R cos(x) sin(x) tan(x) Dérivée 1 x ex 1 − 2 x 1 √ 2 x αxα−1 − sin(x) cos(x) R∗ R+,∗ R+,∗ R R π π ] − + kπ; + kπ[, k ∈ Z 2 2 arccos(x) ] − 1; 1[ arcsin(x) ] − 1; 1[ arctan(x) R 1 + tan2 (x) = 1 cos2 (x) −1 √ 1 − x2 1 √ 1 − x2 1 1 + x2 Fonction Intervalle d’intégration (x − a)n , n ∈ N, a ∈ R 1 ,a ∈ R x−a 1 , a ∈ R, n ≥ 2 (x − a)n R ] − ∞; a[ OU ]a; +∞[ cos(ax), a ∈ R\{0} R sin(ax), a ∈ R\{0} ln(x) R π π ]kπ − ; kπ + [, k ∈ Z 2 2 R+,∗ eax , a ∈ R\{0} R (x − a)α , a ∈ R, α ∈ R\{−1} ]a; +∞[ ax , a > 0 R tan(x) 1 +1 √ x − a, a ∈ R 1 √ ,a ∈ R x−a 1 √ 1 − x2 ] − ∞; a[ OU ]a; +∞[ Opération f +g f ·g f g g◦f 1 u un √ u eu ln(u) sin(u) cos(u) Dérivée f 0 + g0 f 0 · g + f · g0 f 0 · g − f · g0 g2 0 f × g0 ◦ f u0 − 2 u nu0 un−1 u0 √ 2 u u0 eu u0 u u0 cos(u) −u0 sin(u) Primitive 1 (x − a)n+1 n+1 ln(|x − a|) 1 − (n − 1)(x − a)n−1 1 sin(ax) a 1 − cos(ax) a − ln(| cos(x)|) x ln(x) − x 1 ax e a 1 (x − a)α+1 α+1 1 x a ln(a) ]a; +∞[ arctan(x) 2 (x − a)3/2 3 √ 2 x−a ] − 1; 1[ arcsin(x) R x2 ]a; +∞[ Quelques formules de trigonométrie vraiment utiles. a, b et x sont des réels (quelconques) : cos2 (x) + sin2 (x) = 1, cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b), sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b), 1 + cos(2x) cos(2x) = 2 cos2 (x) − 1 = 1 − 2 sin2 (x), cos2 (x) = , 2 1 − cos(2x) sin(2x) = 2 sin(x) cos(x), sin2 (x) = . 2 1 Fonctions usuelles : logarithme et exponentielle, fonction puissance, fonctions circulaires et leurs réciproques Définition 1 (Logarithme). On définit ln :]0, +∞[→ R comme la primitive de x 7→ 1 qui s’annule en 1. x 1. ln est continue et strictement croissante sur ]0, +∞[. 2. ∀x, y ∈]0, +∞[, ln(x · y) = ln(x) + ln(y). Propriété 1. 3. ∀x > 0, ln( x1 ) = − ln(x). 4. ∀x, y ∈]0, +∞[, ln( xy ) = ln(x) − ln(y). 5. ∀n ∈ N, ∀x > 0, ln(xn ) = n ln(x). 6. lim ln(x) = −∞ et lim ln(x) = +∞ x→+∞ x→0+ Définition 2 (Exponentielle). On définit exp : R →]0, +∞[ comme la solution de l’équation différentielle y 0 = y de condition initiale y(0) = 1. On note exp(x) = ex . 1. exp est continue et strictement croissante sur R. 2. ∀x, y ∈ R, ex+y = ex · ey . Propriété 2. 3. ∀x ∈ R, e−x = 1/ex . ex 4. ∀x, y ∈ R, ex−y = y . e 5. ∀n ∈ N, ∀x ∈ R, enx = (ex )n . 6. lim ex = 0 et lim ex = +∞. x→−∞ x→+∞ Propriété 3. On a ∀x ∈ R, ln(ex ) = x et ∀x > 0, eln(x) = x. Définition 3 (Fonction puissance). Soit a ∈ R. On définit la fonction puissance sur ]0, +∞[ par pa (x) := ea ln(x) . On note xa := ea ln(x) . Exemples : ln(x2 ) = 2 ln(x), e2x+y = e2x · ey , 2x = ex ln(2) , √ 1 1 x = x 2 = e 2 ln(x) , √ 3 1 1 x = x 3 = e 3 ln(x) . Croissances comparées : Pour tous α > 0, β > 0, (ln x)α = 0 et x→+∞ xβ lim lim xβ | ln x|α = 0 x→0+ eαx = +∞ et lim |x|β eαx = 0 x→+∞ xβ x→−∞ Autrement dit, l’exponentielle impose toujours sa limite en ±∞ aux fonctions puissances, et celles-ci imposent toujours leur limites en 0+ ou +∞ au logarithme. lim Fonctions circulaires réciproques On suppose connues les fonctions sinus et cosinus. On rappelle que la fonction tangente est définie sur ] − sin(x) tan(x) = . cos(x) Valeurs spéciales des fonctions trigonométriques x cos(x) sin(x) tan(x) 0 1 0 0 π √6 3 2 1 2 √1 3 π √4 2 √2 2 2 1 π 3 1 √2 3 √2 π 2 2π 3 1 − √2 3 2 √ 0 1 3 ∞ − 3 2 3π 4√ −√ 22 2 2 −1 5π 6√ − 3 2 1 2 − √13 π −1 0 0 π π 2; 2[ par Formules de trigonométrie cos2 (x) + sin2 (x) = 1 cos(x + 2π) = cos(x) tan(x) = sin(x + 2π) = sin(x) cos(2x) = 2 cos2 (x) − 1 = 1 − 2 sin2 (x) [− π2 ; π2 ] Définition 4 (Arcsinus). Sinus est une bijection de sin(x) cos(x) tan(x + π) = tan(x) sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) sur [−1; 1]. On appelle arcsinus sa réciproque. π π ∀x ∈ [−1; 1], ∀θ ∈ [− ; ], x = sin(θ) ⇔ arcsin(x) = θ. 2 2 Définition 5 (Arccosinus). Cosinus est une bijection de [0; π] sur [−1; 1]. On appelle arccosinus sa réciproque. ∀x ∈ [−1; 1], ∀θ ∈ [0; π], x = cos(θ) ⇔ arccos(x) = θ. Définition 6 (Arctangente). Tangente est une bijection de ] − π2 ; π2 [ sur R. On appelle arctangente sa réciproque. π π ∀x ∈ R, ∀θ ∈] − ; [, x = tan(θ) ⇔ arctan(x) = θ. 2 2 Arctangente Arcsinus Arccosinus 1. ∀x ∈ [−1; 1], sin(arcsin(x)) = x. Propriété 4. Ici x appartient au domaine de définition de la fonction réciproque. 2. ∀x ∈ [−1; 1], cos(arccos(x)) = x. 3. ∀x ∈ R, tan(arctan(x)) = x. 1. ∀θ ∈ [− π2 ; π2 ], arcsin(sin(θ)) = θ. Propriété 5. F Attention, ici θ ne parcourt pas tout l’ensemble de définition des fonctions sinus, cosinus ou tangente ! 2. ∀θ ∈ [0; π], arccos(cos(θ)) = θ. 3. ∀θ ∈] − π2 ; π2 [, arctan(tan(θ)) = θ. Exemples : 20π 1. arcsin(sin( 17π 5 )) = arcsin(sin( 5 − 3π 5 )) 20π 2. arccos(cos( 17π 5 )) = arccos(cos( 5 − 3π = arcsin(sin(− 3π 5 )) = − 5 . 3π 5 )) 3π = arccos(cos(− 3π 5 )) = arccos(cos( 5 )) = 3π 5 . 3π 3π 3. arctan(tan( 17π 5 )) = arctan(tan(− 5 )) = − 5 . Dérivées : Les fonctions arcsinus et arccosinus sont (infiniment) dérivables sur ] − 1; 1[ et arctangente est (infiniment) dérivable sur R. Leurs dérivées sont données par Propriété 6. 1. ∀x ∈] − 1; 1[, arcsin0 (x) = √ 2. ∀x ∈] − 1; 1[, arccos0 (x) = − √ 3. ∀x ∈ R, arctan0 (x) = 1 . 1 − x2 1 . 1 − x2 1 . 1 + x2 3