Intégration - TD12 Limites et Intégrales

Université Pierre et Marie Curie
Licence de Mathématiques L1
LIM10
2011-2012
Intégration - TD12
Limites et Intégrales
Exercice 1. Formule de la moyenne
a) On considère a < b ∈ R et f, g deux fonction continues sur [a, b] avec g positive.
Rb
Rb
Montrer qu’il existe c ∈ [a, b] tel que a f (t)g(t)dt = f (c) a g(t)dt.
b) Soit f une fonction continue au voisinage de 0,
Rx
R 2x
déterminer lim x12 0 tf (t)dt et lim x f (t)
t dt
x→0
x→0+
Solution de l’exercice 1.
a) f est bornée et atteint ses bornes : m ≤ f (x) ≤ M . On peut multiplier par g positive,
puis on intègre et on conclut par le TVI.
b) Application directe de la formule de la moyenne avec f (cx ) → f (0) quand x → 0 par
continuité en 0.
Exercice 2. Calculs de limites
a) Soit f : [0, e] −→ R continue. Montrer que
Z
lim n
n→+∞
b) Calculer la limite de In =
Solution de l’exercice 2.
Z
a) On pose un = n
1
1+ n
R1
0
1
1+ n
f (xn )dx =
1
Z
1
e
f (x)
dx
x
(ln(1 + x))n dx.
f (xn )dx. On fait le changement de variable u = xn , pour
1
obtenir
Z (1+ 1 )n
n
f (u) √
n
un =
udu
u
1
puis on utilise la relation de Chasles pour décomposer la différence entre la suite un
et sa limite présumée en deux morceaux que l’on va contrôler différemment :
Z
un −
1
e
Z e
Z e
√
√
f
(x)
f (x) f
(u)
n
dx ≤ ( n x − 1)dx + u
n
1
(1+ ) u
x
x
1
n
Z e
Z e
|f (x)| √
|f (u)| √
n
n
≤
x − 1 dx +
u
n
1
x
u
1
(1+ n )
Z e
√
|f (x)|
1 n
≤ ( n e − 1)
dx + kf k∞ e − 1 +
x
n
1
Clairement les deux morceaux tendent vers 0 quand n → ∞ donc la limite est bien
celle cherchée.
1
b) Il est évident que ∀x ∈ [0, 1], 0 ≤ (ln(1 + x))n ≤ (ln 2)n . Intégrons entre 0 et 1, on
obtient 0 ≤ In ≤ (ln 2)n et le majorant tend vers 0 quand n → ∞ donc In → 0 en
vertu du théorème des gendarmes.
Exercice 3. Intégrales de Wallis
Pour n ∈ N, on pose
Z
In =
π
2
sinn tdt
0
a) Montrer que la suite (In )n∈N est décroissante.
b) Calculer lim In .
n→+∞
c) Prouver la relation de récurrence In =
suite constante.
n−1
n In−2 .
En déduire que nIn In−1 est une
d) En déduire un équivalent de In quand n → +∞.
Solution de l’exercice 3. Un grand classique..
a) ∀t ∈ [0, π/2], 0 ≤ sin t ≤ 1, donc 0 ≤ sinn+1 t ≤ sinn t et en intégrant, 0 ≤ In+1 ≤ In .
Donc la suite (In )n∈N est décroissante et minorée, elle admet donc une limite positive
ou nulle.
b) On va calculer cette limite directement en effectuant un découpage. On commence
par avoir l’intuition du résultat. La fonction qu’on intègre tend vers 0 sur tout le
segment sauf en π/2. On peut donc s’attendre légitimement à ce que la limite de In
soit 0. C’est ce qu’on va prouver.
Soit ε > 0. On utilise la relation de Chasles pour séparer l’intégrale en deux morceaux
que l’on va majorer séparément :
Z
In =
π
−ε
2
Z
n
sin tdt +
≤
π
−ε
2
n
sin
0
≤
sinn tdt
π
−ε
2
0
Z
π
2
π
2
Z
− ε dt +
π
2
1dt
π
−ε
2
π
π
sinn
−ε +ε
2
2
Le premier terme tend vers 0 quand n → ∞. Donc pour n assez grand, In ≤ 2ε. On
vient de quantifier lim In = 0.
n→+∞
Z π
Z π
2
2
n
2
c) Ecrivons In+2 =
sin t(1 − cos t)dt = In −
sinn t cos2 tdt. On intègre par
0
0
parties la deuxième intégrale en intégrant sinn t cos t et en dérivant cos t, et ont trouve
la relation demandée. Il suffit de multiplier la relation de récurrence par nIn−1 pour
π
voir que nIn In−1 est une suite constante, en particulier égale à I1 I0 = .
2
π
d) On a In+1 ≤ In ≤ In−1 . On multiplie par In et on utilise nIn In−1 = pur obtenir
2
π
π
≤ In2 ≤
2(n + 1)
2n
r
D’où il est clair que In ∼
π
.
2n
2
Exercice 4. Lemme de Riemann-Lebesgue
a) Soit f une fonction de classe C 1 sur [a, b] à valeurs dans R. Montrer que
Z
lim
n→+∞ a
b
f (x)einx dx = 0
b) On suppose seulement f continue. Le résultat subsiste-t-il ? Et si f est seulement
réglée ?
Solution de l’exercice 4.
a) Quand f est C 1 , une simple intégration par parties suffit à prouver le résultat.
b) Bien sûr le résultat reste vrai pour une fonction f seulement continue ou réglée mais
c’est plus difficile à démontrer. Pour f continue, une méthode astucieuse consiste
à utiliser le théorème de Weierstrass qui affirme que toute fonction continue sur un
segment y est uniformément approchée par une suite de polynômes. Or les polynômes,
eux, sont C 1 .
Pour les fonctions réglées, on passe encore par un argument de densité : on prouve
facilement le résultat pour les fonctions charactéristiques des segments inclus dans
[a, b], d’où on l’obtient pour toutes les fonctions en escalier par linéarité, puis on
utilise le fait que l’ensemble des fonctions réglées est défini comme l’adhérence de
l’ensemble des fonctions en escalier pour la norme uniforme.
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