FORMULAIRE – RESUME – MATHS en TERMINALE S COMPLEXES

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FORMULAIRE – RESUME – MATHS en TERMINALE S
COMPLEXES
M(x,y) dans (O ; i , j ) a pour affixe z : z = x + i y dans CC
Le conjugué de z est : z = x " iy
! !
Module de z : z = z z = x 2 + y 2
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Forme trigonométrique : z = "(cos# + isin # ) où # = angle (i,OM) [2π]
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Forme exponentielle : z = "e i# (avec z = " et " = angle (i,OM) = argument de z)
!
Conjugué de z : z = "e#i$
!
!
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Soient A et B d'affixes zA zB alors AB a pour affixe zB - zA et AB = zB " zA
!
Propriétés des modules
z =z
;
1 1
=
z z
;
!
zz' = z z'
!
Propriétés des arguments
z
arg ( ) = arg z - arg z' [2π]
z'
arg z z'= arg z + arg z' [2π]
arg z = "arg z [2# ]
Transformations usuelles
!
! M(z) " M'(z')
soit une transformation telle que
Translation de vecteur u d'affixe t : z' = z + t
!
Homothétie de centre Ω d'affixe ω et de rapport k : z' - ω = k (z- ω)
!
Rotation de centre Ω d'affixe ω et d'angle θ : z' - ω = e i" (z- ω)
EQUATIONS DU SECOND DEGRE DANS CC
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Soit l'équation az 2 + bz + c = 0 et le discriminant " = b 2 # 4ac
c
"b
"b + #
"b " #
si Δ > 0 alors 2 solutions réelles z1 =
et z1z2 =
; z1 + z2 =
; z2 =
a
a
2a
!2a
!
b
si Δ = 0 alors 1 solution réelle z0 = "
2a
c
"b
"b + i "#
"b " i "#
! complexes z1 =
si Δ < 0 alors 2 solutions
et z1z2 =
; z1 + z2 =
;!
z2 =
a
a
2a
2a
!
si Δ ≠ 0 alors az 2 + bz + c = a(z " z1 )(z " z2 )
!
!
et si Δ = 0 alors az 2 + bz + c = a(z " z0 ) 2
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IDENTITES REMARQUABLES
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3 ab2 + b3
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2 )
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3 ab2 - b3
a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2 )
" n%
" n%
" n % n(1 n
(a + b) n = a n + $ 'a n(1b + ......+ $ ' a n(k b k + .......+ $
'ab + b
# 1&
# k&
# n (1&
SUITES
Suites arithmétiques de raison r et premier terme u0 alors
un +1 = un + r ou un = u0 + nr
Somme de n termes consécutifs de la suite = "nbre de termes" •
!
n(n +!1)
en particulier 1+ 2 + 3 + .........+ n =
2
!
Suites géométriques de raison q et premier terme u0 alors
"1°terme" + "dernier"
2
un +1 = q.un
ou un = u0q n
!
1" q nombre de termes
Somme de n termes consécutifs de la suite = "1° terme" •
avec q ≠ 1
1- q
!
!
1" x n +1
en particulier 1+ x + x 2 + x 3 + .........+ x n =
(x ≠ 1)
1" x
!
FONCTIONS LOGARITHME ET EXPONENTIELLE
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e 0 = 1 ; e a +b = e a e b ; e a"b =
ea
a
; (e a ) b = e ab ; lne = 1 ; ln1 = 0 ; ln ab = ln a + lnb ; ln = ln a " lnb
b
e
b
a x = e x ln a ; ln a x = x ln a ; y = e x " x = ln y
!
!
!
!
!
LIMITES USUELLES DE FONCTIONS
lim ln x = +#
x "+#
ex
lim
= +#
x "+# x n
!
lim e x = +#
x "+#
lim
x "+#
ln x
=0
xn !
lim ln x = #$ lim x ln x = 0
x "0
x "0
ex
= +#
x "+# x
lim e x = 0
lim
x "#$
lim x n e x = 0
!
x "$#
sin x
lim
=1
x "0
x
lim xe x = 0
x "$#
ln x
=0
x "+# x
lim
lim x n e$x = 0
x "+#
1# cos x
lim
=0
x "0
x
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ln(1+ x)
e x #1
lim
= 1 lim
=1
x "0
x "0
x
x
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DERIVEES PRIMITIVES
f(x)
f '(x)
f(x)
f '(x)
f(x)
f '(x)
k
0
x
1
xn
nxn-1
1
x
"1
x2
1
x
ln x
!
!
cos x
1
xn
ex
!
-sin x
sin x
n
(u )'= n u'u
n"1
!
!
cos x
(u v)' = u' v + u v'
" u %' u'v ( uv'
$ ' =
#v&
v2
(v o u)'= u' " v'ou
2 x
ax
a x ln a
!
tan x
1
cos2 x
!
!
(k u)' = k u'
1
x
ex
!
!
Opérations et application des dérivées
( u + v)' = u' + v'
"n
x n +1
n " IN
!
" 1 %' (u' !
$ ' = 2
# u& u
(e u )'= u'e u
!
!
( u )'= 2 u'u
(ln u)'=
u'
u
Equation de la tangente à la courbe C f en A(a; f (a)) : y = f '(a)(x " a) + f (a)
!
!
!
CALCUL INTEGRAL - EQUATIONS DIFFERENTIELLES
!
Si F primitive ce f alors
"
b
a
"
a
$
a
!
b
a
f (t) dt = F(b) # F(a) et si g(x) =
"
x
a
f (t) dt alors g'(x) = f (x)
a
f (t) dt = # " b f (t) dt
!
b
f (t) dt = " a f (t) dt +
c
"
!
"
c
b
b
f (t) dt
b
b
(" f (t) + # g(t))dt = " $ a f (t) dt + # $ a g(t) dt
!
si a ≤ b et f ≥ 0 alors
"
b
a
f (t) dt ≥ 0 ; si a ≤ b et f ≤ g alors a
"
b
a
f (t) dt #
"
b
a
g(t) dt
!
si a " b et m " f " M alors m(b # a) "
$
b
a
f (t) dt " M(b # a)
!
Intégration par parties
!
"
b
a
b
[
] "
u(t)v'(t) dt = u(t) v(t) #
a
b
a
u'(t)v(t) dt
!
Equa diff
Les solutions de! y'= ay + b sont des fonctions f (x) = C e ax "
b
où C est un réel
a
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PROBABILITES
Dénombrements :
n! = 1 x 2 x 3 x … x n
avec 0! = 1
et (n+1)! = n! x (n+1)
" n%
Le nombre de combinaisons de p éléments pris parmi n est noté $ '
# p&
" n % n(n (1)....(n ( p + 1)
n!
=
$ '=
p!
p! (n ( p)!
# p&
;
" n% " n %
" n % " n (1% " n (1%
" n%
$ '=$
' ; $ '=$
'+$
' ; $ '=n
( p&
# p& # n!
# p& # p (1& # p &
# 1&
" n%
" n%
Développement (a + b) n = a n + $ 'a n(1b + ...+ $ ' a n(k b k + ...+ b n
# 1&
# k&
Généralités : P(A " B) = P(A) + P(B) # P(A $ B) ; P(A ) = 1# P(A) ; P(%) = 1 ; P(&) = 0
!
nombre d'éléments de A "nombre de cas favorables"
=
En cas d'équiprobabilité P(A) =
nombre d'éléments de " "nombre de cas possibles"
!
Proba de B sachant A : PA (B) =
!
P(A " B)
; si A et B sont indépendants P(A " B) = P(A) # P(B)
P(A)
TRIGONOMETRIE - PRODUIT SCALAIRE
!
Formules d'addition
cos(a+b) = cos a cos b – sin a sin b
cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b
sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b
sin(a-b) = sin a cos b – cos a sin b
Formules de duplication
cos(2a) = cos2 a – sin2a = 2cos2 a –1 = 1 – 2sin2 a
sin(2a) = 2sin a cos a
Valeurs remarquables
sin
0
"
6
"
4
"
3
"
2
0
1
2
2
2
3
2
1
!
cos
1
!
tan
0
!
3
2
3
3
!
2
2
!
!
1
2
"
0
!
!
0
-1
n'existe pas
0
!
1
3
!
!
!
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Produit scalaire
u et v tels que u = OA ; v = OB ; soit " = angle (OA,OB) alors u • v = OA • OB = OA # OB # cos "
si u(x; y) et v(x';y') alors u • v = xx'+ yy'
!
si OB se projette en OH sur OA alors u • v = OA " OH (si les vecteurs sont de même sens)
u • v = -OA " OH (si sens contraires)
!
u et v sont orthogonaux " u • v = 0
A
!
!
Al Khashi : a 2 = b 2 + c 2 " 2bc cos Aˆ
b
c
a2
Théorème de la médiane : c 2 + b 2 = 2AI 2 +
2
!
1
Aire du triangle : S = bc sin Aˆ
2
!
H
B
a
I
C
a
b
c
Formule des sinus :
=
=
ˆ
ˆ
sin A sin B sin Cˆ
!
Equation de droite :
!
ax + by + c = 0 équation de D qui admet pour vecteur directeur u (-b;a) et normal (""") v (a;b)
!
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