B L / Principes généraux pour le calcul de limites 1. D`abord on

Bcpst 1
Limites
1/2017
Principes généraux pour le calcul de limites
Utilisation des limites
Ex. 4 —
Soit f une fonction définie sur R, périodique
et admettant une limite finie en +∞.
1. D’abord on regarde...
1. Montrer que cette limite vaut f (0).
2. puis on essaye les théorèmes généraux (somme,
2. Montrer que cette limite vaut f (14).
3. Montrer que f est constante.
produit, division, composée)...
3. en cas de forme indéterminée, on peut :
(a) utiliser les développements limités du
cours ;
Ex. 5 —
Que peut-on dire de la limite d’une fonction
polynôme en +∞ ? Que peut-on dire d’une fonction
polynôme bornée ? D’une fonction polynôme pério-
(b) se ramener à une limite connue par un changement de variable ;
dique ?
Ex. 6 —
(c) essayer un encadrement.
Soit f une fonction définie sur R+ , croissante
et telle que la suite ( f (n))n∈N diverge vers +∞. Mon-
À tout moment, on peut songer à transformer l’ex-
trer que lim f (x) = +∞.
x→+∞
pression par une des méthodes usuelles : mise en facteur (du terme dominant), quantité conjuquée (dans
p
p
le cas « a − b »), changement de variable.
Ex. 7 —
Soit f une fonction définie sur R, admettant
une limite finie en 0 et vérifiant
f (x) = f (x/2)
∀x ∈ R,
Définition de la limite
1. Montrer que
Ex. 1 —
Calculer la limite en x 0 des expressions sui-
vantes :
x
1.
|x|
2.
3.
4.
5.
6.
en 0 ;
p
bx + 2c + x − bxc en 1 ;
s
x −1
x
en 0 ;
x
x2
en 0 ;
x − e1/x
1/x
2
en 0 ;
p
p
3
1+ x − 1+ x
en 0.
x
Ex. 8 —
∀(x, y) ∈ R,
2. Donner un équivalent de bxc en +∞.
Ex. 3 — Et avec deux variables ?
x2
1. Soit f (x, y) =
, une fonction défix2 + y2
2
nie sur R \ {(0, 0)}. Calculer lim lim f (x, y) et
x→0 y→0
y→0 x→0
2. Soit f (x) = x n , définie pour x ∈ [ 0 ; 1 ]. Calculer
lim lim f n (x) et lim lim f n (x).
x→1 n→+∞
Soit f une fonction de R dans R vérifiant la
propriété
1. Soit f la fonction définie sur R∗ par
bxc
f (x) =
. La fonction f a-t-elle une limite en
x
+∞ ?
n→+∞ x→1
f (x) = f (x/2n )
2. En déduire que f est constante sur R.
Ex. 2 —
lim lim f (x, y). Conclusion ?
∀x ∈ R, ∀n ∈ N,
f (x + y) = f (x) + f ( y)
1. Montrer que ∀x ∈ R, ∀n ∈ N,
f (nx) = n f (x).
2. Montrer que ∀x ∈ R, ∀r ∈ Q,
f (r x) = r f (x).
3. En déduire qu’il existe un réel λ tel que ∀r ∈
Q,
f (r) = λ r .
4. On suppose de plus f admet une limite en 0.
a) Montrer que f admet une limite en tout
point x de R.
b) En déduire que ∀x ∈ R,
f (x) = λ x .
Calcul de limites
Ex. 13 —
Déterminer les limites des expressions sui-
vantes et, si cette limite est nulle ou infinie, un équiEx. 9 —
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Étudier les limites des fonctions suivantes :
x 3 + 2x − 5
en +∞ ;
x 7→
5x 3 − x 2 − 1
e3x + 2x + 7
x 7→
en +∞ ;
e x + e−x
sin(2x)
en 0 ;
p
1 − cos x
p
x 7→ x 2 + x + 1 − x en +∞ ;
 ‹
1
en 0 ;
x 7→ sin x × sin
x
x sin x
x 7→ 2
en +∞ ;
x +1
sin(x ln x)
x 7→
en 0.
x
Ex. 10 —
valent. Si la limite n’existe pas, envisager la limite à
droite ou la limite à gauche.
1. Quand x → 0 :
1
a)
x (x + 1)
1
;
x
p
x2
b)
;
x
Ex. 14 —
Trouver un équivalent simple des expres-
Ex. 15 —
a) (ln (1 + x))1/x ;
ln 1 + x + x 2
b)
.
x2
2 +1
− x 2 ) + ln(x 2 − 1) en +∞.
p
2
12. ln(cos x) + e(tan x) − 1 + 2x 3 en 0 ;
pp
p
13.
x + 2 − x + 1 en +∞.
Ex. 16 —
Ex. 11 —
Même jeu.
1. quand x → +∞ :
a) ln 3x 2 − 4 − ln x 2 + 1 ;
‹

1 x
;
b) 1 +
x

‹3x−2
2
c) 1 +
;
x
bx
a
d) 1 +
;
 2 x
‹x
x − 2x + 1
e)
;
x 2 − 4x + 2
2. quand x → 0 :
8. ln x en 1 ;
1
1
100
9.
−
+ 3 en 0 ;
x +1 x +2
x
10. ln(2x + 1) − ln(2x + 7) en +∞ ;
?
?
Même jeu.
1. Quand x → 0 :
sin ax
tan ax
a)
et
;
sin bx
tan bx
2
x
b)
;
tan2 x − 2 sin3 x
sin 3x
;
2. quand x → π3 :
1 − 2 cos x π
3. quand x → +∞ : x sin
.
x
sions suivantes
x 4 − x 3 + 8x 2 − 1
1.
en −∞ ;
x 2 + 4x + 7
2. ln(1 + x 2 ) + sin2 x en ∞ ;
p
2
7
3. e x − 1 + x 2 en 0 ;
ln(1 + 2x) − tan(4x)
4.
en 0 ;
sin(x 2 )
ln(1 + x 2 ) − ln(1 − 2x 2 )
5.
en 0 ;
ln(1 + x 3 ) − ln(1 − x 3 )
cos x − e x
en 0 ;
6.
p
x
p
7. 2 + ln(10x + 1) − 4 + x en 0 ;
11. ln(e x
−
x2
c) p
;
1 + x2 − 1
2. Quand x → +∞ :
p
p
a) a + x − x ;
p
x − x2 + 1
b)
;
p
x2 − x2 + 1
Il est toujours possible de se ramener au cas
1. lim
x = 0 par le changement de variable h = x − x 0 , qui
x→ 21
s’écrit aussi x = x 0 + h. Étudier l’existence d’une limite
en x 0 pour les expressions suivantes :
x 2 − 3x
x0 = 3 ;
1.
p
x −1− x +1
p
3 cos x − sin x
2.
x 0 = π /3
π
x−
3
πx 2
3. (x + x − 2) tan
x0 = 1 ;
2
? Ex. 17 —
Déterminer les limites suivantes :
1
cos(π x)
;
2. lim esin x − sin2 x sin x ;
2
x→0
2x + x − 1
ln(3 + 2x)
3. lim p
;
x→−1
2+ x −1
1
Montrer que (2 x + 3 x − 1) x tend vers 6
quand x tend vers 0.
Ex. 18 —
Montrer que
met une limite en 0.
e x + 2 sin(x) − 1
adp
3 ln (1 + x) + 1 + x − 1
Ex. 19 — Un équivalent mais pas de limite
Soit a > 0. Domaine de définition et limites
Ex. 12 —
Montrer que les deux fonctions définies par
aux bornes des fonctions
x 7→ x a e
1
x
x 7→ (1 + x a ) ln x
f (x) =
x 7→ (x − ln x)a ln x
2
1
x3
et
g(x) =
x3
1
+x
 ‹
1
;
x
 ‹
1
5. x 0 = 0, f (x) = x 2 cos
;
x
6x 2 + 5x − 4
6. x 0 = 1/2, f (x) =
.
2x − 1
4. x 0 = 0,
sont équivalentes en 0. Ont-elles une limite en 0 ?
Ex. 20 —
Vrai ou faux ?
1. Si f admet une limite à droite en tout point
de [0 ; 1] alors f est continue sur [0 ; 1].
2. Si f est continue sur [0 ; 1] alors f est bornée sur
[0 ; 1].
Ex. 23 —
f (x) = cos
Étudier le prolongement par continuité des
fonctions suivantes en un ou plusieurs points à préciser.
3
1
−
;
1. f1 : x 7→
1 − x 1 − x3
x 2 − 2x − 3
2. f2 : x 7→ p
;
x +1
sin x
;
3. f3 : x 7→ p
1+ x −1
4. f4 : x 7→ bxc sin π x .
3. Si f est continue sur ]0 ; 1] alors f est bornée sur
]0 ; 1]
4. Si f est continue sur R alors l’image d’un intervalle
ouvert est un intervalle ouvert.
5. Si f est continue sur R alors l’image d’un intervalle
fermé est un intervalle fermé.
6. Si f est continue sur R alors l’image d’une partie
bornée est bornée.
Ex. 24 —
On définit une fonction f par
7. Si f est définie sur [−2 ; 2] et si la restriction de
f (−1) = f (1) = 0
f à [−1 ; 1] est continue alors f est continue sur
[−1 ; 1].
∀x ∈ R,
f (x) = lim
n→+∞
x 2n − 1
.
x 2n + 1
Étudier la continuité de f .
Étude de continuité
Ex. 25 —
Ex. 21 —
Étudier la continuité de
1. f1 : R −→ R
(
x 7−→
2. f2 : R −→ R
(
x 7−→
e−x
x 7−→ bxc2 − x bxc + x 2
x>0
Ex. 26 —
continuité de f .
1 − e−x
x>0
Ex. 27 —
f (x) = ln
p
p
x2 + 1 − 1
x
x
2. g(x) =
2x + |x|
3. h(x) = x x .
1. f (x) =
x<0
x=0
x>0
Ex. 28 —
x<0
Soit f la fonction définie par :
x x−1  x + 1 ‹ x+1
f (x) =
−
x −1
x
x=0
1. Préciser l’ensemble de définition de f et étudier
x>0
la continuité de f .
2. Montrer que f est impaire.
3. Montrer que f admet un prolongement par conti-
Est-il possible de prolonger la fonction f
par continuité en x 0 ?
Peut-on prolonger en 0 les fonction sui-
vantes ?
sinon
0
4. f4 : R −→ R
 2
5x + 4x



 1+ x
x 7−→ 0
 ‹



 x sin 1
x
1. x 0 = 1,
Pour tout x > 0 on pose : f (x) =
(e x + 2x)1/x . Étudier un éventuel prolongement par
sinon
0
3. f3 : R −→ R
 x
e −1


 x
x 7−→ 1


p
x ln(x)
Ex. 22 —
Étudier la continuité de la fonction
nuité en 1 et −1.
4. Étudier la limite de f en +∞.
x − 1 − ln (x − 1) ;
 2
‹
x −1
2. x 0 = 0, f (x) = x ln
;
x
1
3. x 0 = π /2, f (x) =
;
tan x
Ex. 29 —
3
Étudier la continuité de

‹
1
f : x 7→ (x 2 − 1) sin
x −1
Ex. 30 —
Ex. 37 —
Même exercice avec
f : x 7→ cos(ln |x|) ln(1 + x)
Ex. 31 —
Soit f une fonction continue sur [0 ; 1], à
valeurs dans [ 0 ; 1 ].
1. Montrer que
∀n ∈ N∗ , ∃an ∈ [0 ; 1] ,
Étudier la continuité de la fonction aux
points de coordonnées entières.
2. On suppose f strictement décroissante. Montrer
x 7−→ E(x)2 − x E(x) + x 2
que, pour n ∈ N∗ , an est unique.
Ex. 38 —
Théorème des valeurs intermédiaires
1. Détermier P 〈R〉.
2. En déduire que P admet au moins une racine
Montrer que x 2 cos x + x sin x + 1 = 0 ad-
réelle.
met au moins une solution sur R.
Ex. 33 —
Ex. 39 — Le théorème « des cordes » Soit f
1. Montrer que l’équation
Démontrer qu’il existe a ∈ [0 ; T /2] tel que le taux
d’accroissement de f entre a et a + T /2 soit le même
admet une unique solution dans l’intervalle
que celui entre 0 et T .
[ 0 ; π /2 ].
2. Proposer des programmes écrits en Python pour
Ex. 40 —
Soit f une fonction continue sur un inter-
valle [a ; b].
trouver un encadrement de cette racine à une précision donnée. Comparer les différentes méthodes
1. On suppose que f 〈[a ; b]〉 ⊂ [a ; b]. Montrer
en terme de nombre d’opérations nécessaires.
On considère la fonction f définie sur
une
fonction continue sur [0 ; T ] .
1
cos(x) − x 2 + 1 = 0
x +1
Ex. 34 —
Soit P une fonction polynôme à coefficients
réels et de degré impair.
& bijection continue
Ex. 32 —
f (an ) = ann .
qu’il existe un réel x ∈ [a ; b] tel que f (x) = x .
2. Soit f une fonction continue sur [0 ; 1] et telle
R∗+
1. Démontrer que f est correctement définie, conti-
que
 f (0)‹ = f (1). Montrer que l’équation
1
= f (x) admet une solution.
f x+
2
3. Un cycliste parcours 20 km en 1 heure. Montrer
nue et indéfiniment dérivable sur son domaine de
qu’il existe un intervalle de temps de 30 minutes
définition.
pendant lequel il parcours exactement 10 km.
par
f (x) = x − x ln x − 1
2
2. Calculer les deux premières dérivées de f et dresser son tableau de variation.
Utilisation de la continuité
3. Montrer que f réalise une bijection de R∗+ sur un
intervalle I à préciser. On note g la bijection réci-
Ex. 41 —
proque de f .
4. Dresser le tableau de variation de g .
5.
1. Montrer que si f ne prend qu’un nombre fini de
valeurs, alors elle est constante sur I .
a) Déterminer un équivalent de f en +∞.
f (g(t))
b) En déduire que lim
= 1, puis déx→+∞ g(t)2
terminer un équivalent de g en +∞.
Ex. 35 —
2. Montrer que si | f | est constante sur I , alors elle
est constante sur I .
3. Montrer que si f 2 est constante alors f est
constante.
Soit f une fonction continue et strictement
positive sur R+ . On suppose que lim f (x)/x existe
4. Montrer que si f ne prend que des valeurs entières,
x→+∞
est strictement inférieure à 1. Montrer qu’il existe un
alors elle est constante sur I .
réel x 0 tel que f (x 0 ) = x 0 .
Ex. 36 —
Soit f une fonction numérique continue sur
un intervalle I non vide.
Ex. 42 —
Déterminer suivant la valeur du réel λ , le
Soient f et g deux fonctions continues sur
[a ; b], telles que
nombre de solutions de l’équation d’inconnue réelle x
∀x ∈ [a ; b] ,
(Eλ ) : eλ x = x
4
f (x) > g(x)
Divers
Montrer qu’il existe un réel strictement positif m tel
que, pour tout
∀x ∈ [a ; b] ,
Ex. 43 —
Ex. 48 —
f (x) ¾ g(x) + m
nue telle que f (0) = f (1). Montrer que

‹
1
= f (an )
∀n ∈ N∗ , ∃an ∈ [0 ; 1] ,
f an +
n
Soit f une fonction sur R, telle que
lim f (x) = l ∈ R
lim f (x) = l 0 ∈ R
et
x→+∞
Soit f : [0 ; 1] −→ R une fonction conti-
x→−∞
1. Donner un exemple d’une telle fonction qui n’est
Ex. 49 —
Soit n ∈ N∗ et f n : R −→ R
pas bornée sur R.
x 7−→ x 5 + nx − 1
2. On suppose de plus que f est continue sur R. Dé-
1. Montrer que
montrer qu’elle est bornée.
Ex. 44 —
∃!x n ∈ R,
Soit f une fonction continue et T –
Donner un encadrement de x n d’amplitude 1.
périodique sur R.
2. La suite (x n )n∈N∗ converge-t-elle ?
1. Montrer que
3. En donner un équivalent.
∀x ∈ R, ∃ y ∈ [0 ; T ] ,
f (x) = f ( y)
2. En déduire que f est bornée sur R.
3. Montrer que si f est monotone alors f est
constante.
Ex. 45 —
Soit f une application de R dans R, conti-
nue, et vérifiant la propriété
f (x + y) = f (x) + f ( y)
∀(x, y) ∈ R2 ,
( f est une fonction linéaire).
1.
a) Montrer que ∀n ∈ N,
f (n) = n f (1).
b) Montrer que
∗
∀p ∈ Z, ∀q ∈ N ,
 ‹
p
p
f
= f (1)
q
q
c) Montrer qu’il existe un réel a tel que
∀x ∈ Q,
f (x) = a x
d) Montrer enfin que ∀x ∈ R,
f (x) = a x ,
où a est le réel défini dans la question précédente.
Ex. 46 —
Soit g une application continue de R dans
R telle que
x + y 1
= (g(x) + g( y))
2
2
Montrer que g est affine, c’est-à-dire qu’il existe deux
∀(x, y) ∈ R2 ,
g
réels α et β tels que :
∀x ∈ R,
g(x) = α x + β
Indication : On pourra étudier la fonction f définie par f (x) =
g(x) − g(0).
? Ex. 47 —
f n (x n ) = 0
Soit f une fonction définie sur R, pério-
dique de période T > 0. On suppose que f est continue
sur R, que f (0) = 0 et que f change de signe en 0. Montrer que f s’annule sur ]0 ; T [.
5
.