MOSE 1003 Feuille 4 : exercices sur l`intégration GL Exercice 1

Feuille 4 : exercices sur l’intégration
MOSE 1003
Z
Exercice 1
1
Z
3
x dx,
Calculer
0
1
4
1
Z
1
dx,
x2
0
GL
4
Z
1
√ dx,
x
1
1
√ dx.
x x
Exercice 2
Déterminer les primitives des fonctions suivantes en précisant l’intervalle
maximal de définition.
1
x2 − 3x + 4
,
x 7→
.
x 7→ cos(3x − 5),
x 7→
x
x−2
3√
9π
Exercice 3
Supposons que
9 − x2 dx =
soit connue.
4
0
Z 3 √
Z 3
x2
2
√
( 9 − x − 3)dx et B =
Soient A =
dx. Calculer A, A+B puis B.
9 − x2 + 3
0
0
Z
Exercice 4
Calculer les primitives suivantes avec l’intégration par parties
R
R
R
−x
x sin x dx
R
R 2xe2 dx
R log(1 2+ x) dx
(5x) dx
(x
+ 1) cos x dx
R2x log(x − 5) dx Rx log
R√
x
2x arctan x dx
e sin x dx
1 − x2 dx
Exercice 5
Calculer les primitives suivantes avec l’intégration par changement de
variables
R√
i)
1 − x2 dx
R dx
ii) √
3+x
R
x
iii) √
dx
x−1
R
x
iv) √
dx
x−1
Z
Exercice 6
1
−x
e
Calculer
Z
dx,
0
Exercice 7
3
Z
2
2
x
0
2
√
xe dx,
1
Z
x2
2x e dx,
0
x sin(x ) dx,
1
Z
2x
0
1
√
ex ex + 3 dx.
0
Calculer
Z
Z
1
2
Z
x3
+ 1 dx
√
3
x
x2 −3
Z
dx
2
√ x
4−x2
π/2
Z
sin(x) cos(x) dx
0
√
3
lim
x→∞
0
Z
π/3
cos(x)
1−sin(x)
dx
0
x
1
1+t2
Z
dt
0
π
dx
√ √
sin( x)/ x dx.
Exercice 8
Calculer la primitive suivante (on peut essayer
de trouver une solution
Z
log(x)
par parties et une solution par changement de variables) :
dx
x
Déterminer deux réels a et b tels que l’on ait pour tout réel x dif1
a
b
férent de −1 et 5 : 2
=
+
. En déduire la valeur de l’intégrale
x − 4x − 5
x+1
x−5
Z 2
1
dx.
2
0 x − 4x − 5
Exercice 9
Exercice 10 Z Calculer
3
x
dx,
2
2 x −3
Exercice 11Z
Z
1
2
√
1
Z
x
dx
5 − x2
0
cos(x)
dx
1 − sin(x)2
Trouver les primitives
Z
Z
√
x+1
3
dx,
sin(x) cos(x) dx
x x + 1 dx,
x2 + 2x + 2
On pourra proposer deux raisonnements différents pour la dernière primitive.
2
Z
Soient λ, T > 0. Calculer I(T ) =
Exercice 12
T
−λt
λe
Z
dt et E(T ) =
0
T
tλe−λt dt.
0
étudier les limites de I(T ) et E(T ) quand T tend vers l’infini.
∗
Exercice 13
Z
Calculer les primitives
1
dx,
sin(x)
Z
1
dx,
x ln(x) ln(ln(x))