Exercices supplementaires m iglesias ts

3 Limites de fonctions
TS – 2015/2016
Exercices
La courbe T représente une fonction définie sur /#∞ ; #11 ∪ /#1 ; 11 ∪ /1 ; (∞1. T admet
deux asymptotes verticales.
1. Lire sur le graphique la limite de en #1.
2. Lire sur le graphique la limite de à gauche de 1 puis à droite de 1.
Exercice 1. 1
On a tracé à l’écran d’une calculatrice la courbe
représentative d’une fonction . Cette courbe admet
deux asymptotes horizontales d’équations ! " #1 et
! " 3. Déterminer graphiquement les limites de en
#∞ et en (∞.
Exercice
1.
2
démonstration
avec
définition
de
la
limite
Soit + ∈ - et une fonction définie sur l’intervalle . " /+ ; (∞1.
On se propose de démontrer par l’absurde que si admet une limite finie en (∞ alors elle
est unique. Pour cela, supposons que lim 89: " ;< , lim 89:: " ;C et que ;< R ;C, c’est à
4→67
dire que
4→67
admet deux limites différentes en (∞.
1. Posons = "
|?@ A?B |
C
.
8 : # ;< | H = et | 89: # ;C | H
a. Justifier l’existence d’un réel 9E ∈ . tel que ∀ 9 G 9E , | 89:
=.
b. En utilisant l’inégalité triangulaire, démontrer que |;< # ;C | H 2=.
c. Conclure.
2. Donner une autre valeur de = permettant de conclure.
Exercice 1. 5 cf page 89 n° 42, 43
Dans chaque cas on donne le tableau de variation de la fonction .
Lorsqu’elles existent, préciser les asymptotes à la courbe représentative de
une courbe susceptible de représenter la fonction .
1.
2.
puis tracer
Exercice 1. 3
est la fonction définie sur -6 par 89: " 9 I ( 9.. On admet que cette fonction est
croissante sur -6 et admet (∞ pour limite en (∞.
1. Expliquer le rôle de l’algorithme suivant.
Exercice 1. 6
Déterminer les limites de aux bornes de son ensemble de définition. Lorsqu’elles existent
préciser les asymptotes horizontales et verticales.
2. On saisit K " 1000.. A l’aide de la calculatrice prévoir la valeur de 9 affichée par
l’algorithme.
Exercice 1. 4 cf page 88 n° 35 à 38, 40
a.
89: " 39 C ( √9 ;
c.
89: " #
Y4 B
I
<
( ;
4
C
b.
89: " 7 # ;
d.
89: " #39
9 I # 9 ( 100 ;
4
Exercice 1. 7
Déterminer les limites de aux bornes de son ensemble de définition. Lorsqu’elles existent
préciser les asymptotes horizontales et verticales.
a.
89: " 49 C #
Exercice 1. 8
Z
4 B A[
;
b.
89: "
C
4 B 6<
<
;
c.
89: "
Y
√4 84A<:
.
3 Limites de fonctions
TS – 2015/2016
Voici la courbe représentative T d’une fonction définie sur -\_2`.
1. Lire sur le graphique les limites de la fonction en #∞, +∞, à droite et à gauche de 2.
2. a est la fonction définie par a89: = b84:.
<
a. Déterminer le domaine de définition de a.
b. Etudier les limites de a aux bornes de son domaine de définition.
3. ℎ est la fonction définie par ℎ89: = d 89:.
a. Déterminer le domaine de définition de ℎ.
b. Etudier les limites de ℎ aux bornes de son domaine de définition.
est une fonction telle que ∀ 9 > 0, − ≤ 3 89: ≤ .
<
1.
89: = 59 I − 89 − 2
2.
89: = 29 C − 39 +
1.
89: =
2.
89: =
1.
4→6Ek <Al
2.
lim
<
<
2. Etudier les limites en +∞ et −∞ de la fonction
Exercice 1. 10
Déterminer la limite en +∞ et en −∞ de la fonction
Exercice 1. 11
définie sur ℝ par 89: =
1. Démontrer que 89: − a89: =
2. En déduire la limite de
Exercice 1. 12
<
√4 B 6<64
en +∞.
.
a est la fonction définie sur /−∞ ; 11 ∪ /1 ; +∞1 par 89: =
1. Démontrer que ∀ 9 > 1, 3 + 4A< ≤ 89: ≤ 3 + 4A<.
C
2. En déduire la limite de en +∞.
3. Déterminer la limite de en −∞.
Exercice 1. 13
46C
CAfgh 4
.
définie par 89: = 9 + 1 + sin 9.
et a sont les fonctions définies sur ℝ6 par 89: = √9 C + 1 et a89: = 9.
[
I46fgh 4
4A<
.
[
4 B 6<
3.
89: = 839 I − 9 + 1:Y .
3.
89: =
Exercice 1. 15
Etudier les limites de la fonction aux bornes de son domaine de définition. Lorsqu’elles
existent préciser les asymptotes horizontales et verticales.
4.
1. Démontrer que ∀ 9 ∈ ℝ, I ≤ CAfgh 4 ≤ 1.
4
Cet encadrement permet-il de déterminer le comportement de 89: lorsque 9 tend vers
+∞ ?
Exercice 1. 14
Etudier les limites de la fonction aux bornes de son domaine de définition. Lorsqu’elles
existent préciser les asymptotes horizontales et verticales.
I4 B A46[
4A<
Exercice 1. 16
Déterminer les limites suivantes.
Exercice 1. 9 cf page 92 n° 70, 78
<
4
lim
lim
46<
@
4AC
5.
4→67 √4AC
I
C4A<E
@
@
6
lm@ lk@
3.
4→67 √4A4
lim n
4B
4AI
4→Ik
4 B A<
4 B A[46I
lim n
4→67
[46<
4
Exercice 1. 17
Etudier les limites de la fonction aux bornes de son domaine de définition. Lorsqu’elles
existent préciser les asymptotes horizontales et verticales.
1.
89: = √9 C + 2 − √9 − 1
6.
89: = √29 − √9
Exercice 1. 18 cf page 92 n° 69, 71 à 77, 79
1. a est la fonction définie sur ℝ\_1` par a89: =
a. Démontrer que ∀ 9 ∈ /1 ; +∞1,
I4A<
4A<
b. En déduire les limites de a en +∞.
2. Soit
I46fgh 4
.
√4 B 6<A<
4
4A<
I46<
≤ a89: ≤
la fonction définie sur ℝ∗ par 89: =
10. 89: =
√<64 B
4
.
4A<
.
≤1
≤ 81 + 9:C .
a. Démontrer que ∀ 9 ∈ ℝ6 ,
b. En déduire un encadrement de 89: pour tout 9 > 0.
c. En déduire la limite de 89: en +∞. Interpréter graphiquement le résultat.
9C
+ 9C
3. Déterminer lim 1 − 2n46hqr 4.
Exercice 1. 19
4→67
4B
Déterminer la limite de 89: =
hqrB 4
4
en 0.
3 Limites de fonctions
Exercice 1. 20
1. Soit
∶ 9 ∈ ℝ∗ ↦
TS – 2015/2016
hqr 4
4
b. Si ∀ 9 > 0, 89: ≤ 4 alors lim
2. A l’aide de la question précédente déterminer lim
4→<
hqruC84A<:v
4A<
3. Déterminer les limites de la fonction a définie par a89: = 9 sin 4 aux bornes de son
ensemble de définition.
<
Exercice 1. 21
Dire pour chaque affirmation si elle est vraie ou fausse. Justifier.
1. a. Si lim 89: = +∞ et si lim a89: = 0 alors lim 89: × a89: = 0.
4→67
4→67
4→67
b. Si lim
89: = +∞ et si lim a89: = +∞ alors lim
d. Si lim
89: = −1 et si lim a89: = +∞ alors lim
4→67
c. Si lim
4→67
4→67
e. Si lim
f.
g
4→67
89: = 0 et si lim a89: = 0 alors lim
b84:
4→67 4
b84:
Si lim
4→67 x84:
b84:
4→67
= 2 alors lim
89: = +∞.
= 0 alors lim
89: = 0.
Si lim
4→67 x84:
4→67
= +∞ alors lim
4→67
4→67
4→67 x84:
b84:
4→67 x84:
4→67
b84:
= 1.
b84:
4→67 x84:
= 1.
= 0.
lim
<
f.
g.
lim
<
4→I b84:
89: = +∞.
lim nu 89:v − 89: = +∞.
4→67
asymptote horizontale.
e. Si ∀ 9 ≥ 0, 0 ≤ 89: ≤ √9. Alors lim
b84:
définie par 89: =
I4A<
Exercice 1. 22 cf page 97 n° 116, 117
On considère la fonction
4→67 4
C46<
1. Déterminer le domaine de définition | de .
Dans la suite on restreindra l’étude de
2. Déterminer les limites de
admet une
= 0.
et { sa courbe représentative.
à l’intervalle . = }− ; +∞~.
<
C
aux bornes de .. En donner une interprétation graphique.
I
4. Justifier que est dérivable sur . et déterminer • 89: pour tout réel 9 de ..
5. Déterminer le signe de • sur . et dresser le tableau de variation de sur ..
6. Déterminer une équation de la tangente à { au point d’abscisse 2.
I
Exercice 1. 23
Soit
la fonction définie sur ƒ = ℝ\_−3 ; 2` par
89: =
4 B 6[4A<Z
4 B 64A„
représentative.
1. Justifier que est définie sur ƒ.
2. Déterminer les limites de aux bornes de ƒ.
En déduire l’existence d’asymptotes dont on donnera une équation.
4.
5.
6.
7.
et montrer que
• 89:
• 89:
=
A84AZ:8I4A<:
84 B 64A„:B
et 8T: sa courbe
pour tout 9 de ƒ.
Etudier le signe de
sur ƒ.
Dresser le tableau de variations de sur ƒ.
Déterminer une équation de la tangente … à 8T: en 1.
Construire 8T:, ses éventuelles asymptotes et les tangentes connues dans un repère.
Exercice 1. 24 8p107 n°160: déterminer l’expression d’une fonction homographique
est une fonction homographique telle que lim
C
3. a. Si ∀ 9 ≥ 1, a89: − 89: ≤ 0 et si lim a89: = +∞ alors lim
4→67
89: = 2.
3. Etudier les positions relatives de { par rapport à la droite d’équation ! = C.
3. Calculer la dérivée de
= −∞.
= 0.
I
tableau de variation de sur |.
8. Construire la courbe { dans un repère orthonormé d’unité graphique 2 cm.
e. lim b84: = 0.
4→<
4→67
d. Si ∀ 9 > 0, 1 + 4 ≤ 89: ≤ 2 + 4 alors la courbe représentative de
I
<
a. La droite d’équation 9 = 2 est asymptote à T.
b. La droite d’équation 9 = 1 est asymptote à T.
c. La droite d’asymptote ! = 3 est asymptote à T.
4→A7 b84:
<
89: = 0.
I
7. Montrer que le point K •− C ; C‚ est centre de symétrie de la courbe {. En déduire le
2. Voici le tableau de variation d’une fonction définie sur /−∞ ; 11 ∪ /1 ; +∞1. On note T
la courbe représentative de dans un repère.
d.
4→67
c. Si ∀ 9 > 0, 2 + 4 ≤ 89: ≤ 2 + 4 alors lim
C
.
a. Déterminer la limite de en +∞ puis en −∞.
b. En utilisant le taux de variation de la fonction sinus entre 0 et 9 déterminer la limite
de en 0.
C
4→67
89: = +∞.
à la courbe représentative de
4→67
89: = −3 et limk 89: = −∞. La tangente
4→[
au point d’abscisse 1 a pour équation ! = 9 − .
Donner l’expression de la fonction .
[
I
<
I
3 Limites de fonctions
Exercice
TS – 2015/2016
1.
25
Etude
de
branches
infinies
1. Soit une fonction et T sa courbe représentative dans un repère.
On dit que la droite | d’équation ! = +9 + † est une asymptote oblique à la courbe T en
+∞ lorsque lim 89: − 8+9 + †: = 0 . Graphiquement cela veut dire que plus 9
4→67
augmente et plus T et | sont proches.
De même on dit que la droite | d’équation ! = +9 + † est une asymptote oblique à la
courbe T en −∞ lorsque lim 89: − 8+9 + †: = 0.
4→67
Voici comment procéder pour étudier la nature d’une branche infinie en +∞.
- Si lim 89: = † alors T admet une asymptote horizontale d’équation ! = †.
-
4→67
Si lim
4→67
distinguent :
-
-
-
Si lim
a. Démontrer que la droite d’équation ! = 9 − 6 est asymptote à la courbe
∶9∈ℝ↦
484AI:B
4 B 6<
b84:
4→67 4
= 0, dans ce cas 89: grandit moins vite que 9.
On dit que T admet une branche parabolique de direction 8•Ž:.
Si lim
b84:
4→67 4
= +∞, dans ce cas 89: grandit plus vite que 9.
On dit que T admet une branche parabolique de direction 8••:.
Si lim
b84:
4→67 4
= + ∈ ℝ. Dans ce cas la vitesse de croissance de 89: est comparable
à celle de +9. Pour effectuer cette comparaison on étudie alors une dernière
limite, celle de 89: − +9. On distingue deux cas :
- Si lim 89: − +9 = † alors la droite d’équation ! = +9 + † est asymptote
-
représentative de la fonction
89: = +∞ on compare alors la croissance de 89: à celle de 9. Trois cas se
4→67
oblique à T en +∞.
Si lim 89: − +9 = ±∞ on dit que T admet une branche parabolique de
4→67
direction • = ‘Ž.
.
b. Etudier les positions relatives de T et de |.
2. Dans cette question on se propose d’établir un résultat permettant de démontrer
l’existence d’une asymptote oblique à la courbe d’une fonction en l’infini et d’en donner
l’équation réduite.
Soit une fonction et T sa courbe représentative.
a. Démontrer que si | ∶ ! = +9 + † est asymptote oblique à T en +∞ alors
lim
b84:
4→67 4
= + et lim
4→67
89: − +9 = †.
b. Réciproquement démontrer que si lim
b84:
4→67 4
| ∶ ! = +9 + † est asymptote oblique à T en +∞
On a démontré le résultat suivant :
= + et lim
4→67
89: − +9 = † alors
| ∶ ! = +9 + † est asymptote oblique à T en +∞ si et seulement si lim
et lim
4→67
89: − +9 = †.
On démontrerait un résultat analogue en −∞.
b84:
4→67 4
=+
c. Application : soit la fonction définie sur ℝ par 89: = √9 C + 9 + 1 et T sa courbe
représentative. Démontrer que T admet une asymptote oblique en +∞ dont on
donnera une équation.
3. On dit que T présente une branche infinie dès que l’une des coordonnées 9 ou ! d’un
point ‹89 ; !: de T peut tendre vers l’infini. Dans la suite nous considérerons une
fonction dont la courbe représentative T admet une branche infinie en +∞.
a. Pour chacune des définitions précédentes tracer la courbe d’une fonction illustrant
la définition.
b. Pour chacune des courbes représentant les fonctions définies ci-dessous étudier la
nature de la branche infinie en +∞
i.
89: =
C4 B 6<
4 B 6I
ii.
89: =
46<
C√4AI
iii.
89: =
4 ’ A<
4 B 6<
3 Limites de fonctions
iv.
TS – 2015/2016
89: = 9 + √9
v.
89: = 9u√9 C + 29 − √9 C + 1v
Exercice 1. 26
|4|
∶ 9 ∈ ℝ ↦ “ 4 si 9 ≠ 0”
0 si 9 = 0
C
1
si 9 ≥ 1” est
2. Existe-t-il des réels + pour lesquels la fonction ∶ 9 ∈ ℝ ↦ •9 +
−9 C + +9 + + si 9 < 1
continue en 1 ?
1. Etudier la continuité en 0 de la fonction
Exercice 1. 27 cf page 94 n°80 à 83, 85
1. Pour chacune des fonctions dire si elle est continue sur ℝ.
a.
9 C − 39 − 2 si 9 ≤ 1
”
∶ 9 ∈ ℝ ↦ “4AY
si 9 > 1
b.
4
√−39 + 2 si 9 < I
”
∶9∈ℝ↦–
C
39 − 2
si 9 ≥
2. Quelle valeur faut-il donner à ˜ pour que la fonction
continue sur ℝ ?
C
<A√<64 B
∶9∈ℝ↦“
˜
4
I
si 9 ≠ 0 ” soit
si 9 = 0
Exercice 1. 28
Soit
1 si 9 = 0
”
la fonction définie sur 10 ; ™/ par 89: = “hqr 4
si 9 ≠ 0
4
1. Etudier la continuité de sur 10 ; ™/.
2. On désigne par a la fonction définie sur 10 ; ™/ par a89: = 9 cos 9 − sin 9.
Dresser le tableau de variation de a et en déduire le signe de a sur 10 ; ™/.
3. Justifier que est dérivable sur /0 ; ™/ et dresser son tableau sur 10 ; ™/.
4. a. Montrer que, ∀ 9 ≥ 0, 0 ≤ 9 − sin 9 ≤
sur ℝ6 par ›89: = sin 9 − 9 +
b. Prouver que
4š
„
4š
„
. 8On pourra introduire la fonction › définie
et calculer les dérivées › • , › •• , › ••• :.
• 80:.
est dérivable en 0 et donner
Exercice 1. 29
Déterminer le nombre de solutions dans ℝ de l’équation 9 I + 39 C + 1 = 0.
Donner un encadrement d’amplitude 0,01 des solutions éventuelles.
Exercice 1. 30 8page 99 n° 123:
Soit
la fonction définie sur ℝ\_1` par 89: =
.
C46<
4 š A<
Partie A
1. Etudier les limites de au borne de son domaine de définition.
2. En déduire l’existence d’asymptotes à la courbe représentative T de la fonction , dont
on précisera une équation.
Partie B
1. Etudier la dérivabilité de la fonction et déterminer sa fonction dérivée
2. Soit a la fonction définie sur ℝ par a89: = −49 I − 39 C − 2.
a. Dresser le tableau de variation de a.
b. En déduire que l’équation a89: = 0 admet une unique solution •.
c. Déterminer une valeur approchée de • à 10AC près.
d. En déduire le signe de a sur ℝ.
3. Dresser le tableau de variation de .
Partie C
1. Déterminer une équation de la tangente … à la courbe T en 0.
2. Etudier les positions relatives de T et de ….
Partie D
Représenter la courbe T, ses asymptotes et les tangentes connues.
Exercice 1. 31
On considère la fonction
définie sur ℝ\_−1 ; 1` par 89: =
•.
.
C4 š 6I
4 B A<
Partie A
Soit a la fonction définie sur ℝ par a89: = 9 I − 39 − 3.
1. Déterminer les limites de a aux bornes de son ensemble de définition.
2. a. Etudier le sens de variation de la fonction a sur ℝ.
b. En déduire qu’il existe un unique • tel que a8•: = 0 et donner un encadrement de •
d’amplitude 0,001.
c. Déduire de la question précédente le signe de a89: sur ℝ.
Partie B
1. Déterminer les limites de aux bornes de son ensemble définition.
En déduire l’existence d’asymptotes dont on donnera une équation.
2. a. Montrer que pour tout 9 différent de −1 et 1
• 89:
= 84B
C4x84:
A<:B
,.
b. Déduire alors de la partie A le sens de variation de .
Etudier
la position relative de T par rapport à la droite ž ∶ ! = 29.
3.
4. a. Montrer que 8•: = 3•.
b. Tracer la courbe T dans un repère orthogonal.
Exercice 1. 32
Le but de l’exercice est de déterminer le nombre de solutions de l’équation 8Ÿ: ∶ cos 9 = 9 C
sur ℝ. Pour cela on considère la fonction définie sur ℝ par 89: = 9 C − cos 9.
1. Etudier la parité de .
2. Montrer que l’équation 8Ÿ: n’admet pas de solution sur /™ ; +∞1.
3. Calculer, pour tout 9 ∈ ℝ, • 89: et •• 89:.
4. Etudier les variations de la fonction sur 10 ; ™/.
3 Limites de fonctions
TS – 2015/2016
5. Montrer que l’équation 8Ÿ: admet une unique solution • sur 10 ; ™/ dont on donnera une
valeur approchée à 10AC .
6. En déduire les solutions de 8Ÿ: dans ℝ.
Exercice
1.
TVI,
33
Soient +, † et trois réels et la fonction définie sur ℝ par 89: = 9 I + +9 C + †9 + .
Partie A
1. Déterminer les limites de en −∞ et en +∞.
2. Etudier les variations de en fonction du signe de +C − 3†.
3. Montrer que l’équation 89: = 0 admet au moins une solution dans ℝ.
CTVI
4. Montrer que le point ¡ d’abscisse – I est un centre de symétrie de la courbe {
2. Déterminer graphiquement les valeurs de • 80:,
algébrique de la fonction .
3. Déterminer une équation de la tangente à § en 1.
• 82:
et 80:, déduire l’expression
£
représentative de .
Partie B
On considère la droite |¤ , tangente à la courbe { au point d’abscisse •
1. Déterminer une équation de |¤ .
2. On considère la fonction a définie sur ℝ par a89: = 89: − u • 8•:89 − •: + 8•:v.
a. Déterminer a• 89: et a•• 89:.
b. Etudier les variations de a• .
c. Montrer que a• • − I‚ = − I 8+ + 3•:C .
£
<
Exercice 1. 35
La courbe ci-dessous représente, dans un repère, une fonction
… est la tangente à T au point K d’abscisse 1.
dérivable sur 10 ; 6/.
3. Donner le signe de a• 89: dans le cas où • = − I .
4. Dans cette question on suppose que • ≠ − I.
£
£
a. Montrer que l’équation a• 89: = 0 admet exactement deux solutions : • et un réel ¦
dont on donnera l’expression en fonction de • et de +.
I
b. Montrer que a8¦: = 4 •I + •‚ .
£
c. Dresser le tableau de signe de a• 89: sur ℝ.
£
£
£
5. Etudier les variations de a sur ℝ en distinguant trois cas : • > − I ; • < − I et • = − I.
6. Localement, autour du point d’abscisse •, préciser la position de la tangente |¤ par
rapport à {.
£
7. Montrer que si • ≠ − alors |¤ coupe { en deux points.
I
Qu’en est-il pour • = − ?
£
I
Exercice 1. 34
On a représenté ci-dessous la courbe d’une fonction définie sur ℝ par 89: = +9 C + †9 +
où +, † et sont trois réels.
1. En utilisant la définition du nombre dérivé, étudier la dérivabilité de en 9E , où 9E est
un nombre réel fixé.
En déduire que est dérivable sur ℝ et donner l’expression de • 89:.
1. a. Lire graphiquement 80:, 81:, • 81:, • 85:.
b. En déduire une équation de ….
2. Résoudre graphiquement dans l’intervalle 10 ; 6/ :
a. L’équation 89: = 1 ;
b. L’équation • 89: = 0 ;
c. L’inéquation • 89: ≥ 0.
Exercice 1. 36
1. Soit la fonction définie sur 1−5 ; 2/ et dont la représentation graphique est donnée cidessous.
3 Limites de fonctions
TS – 2015/2016
Associer à cette fonction la représentation graphique de sa fonction dérivée.
a.
b.
Exercice 1. 37
Donner l’ensemble de dérivabilité de la fonction
∶ 9 ↦ 89 + 1: cos 9 ;
1.
Exercice 1. 38
2.
∶9↦
Soit a la fonction définie sur ℝ par a89: =
c.
d.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Soit
2.
est une fonction dérivable sur ℝ. On a tracé ci-dessous la courbe représentative T • de
sa fonction dérivée • .
a. Par lecture graphique déterminer le sens de variation de .
b. Parmi les courbes suivantes laquelle pourrait être celle de ?
4 B A[
√4 B 6<A<
4
;
3.
∶9↦
Y
.
AI46<
si 9 ≠ 0 et a80: = 0.
Montrer que a est une fonction impaire.
Etudier la continuité de a sur ℝ.
Démonter que a est dérivable sur ℝ∗ et donner l’expression de a• 89:.
La fonction a est-elle dérivable en 0 ? Interpréter graphiquement.
Déterminer la limite de a en +∞.
Etudier les variations de a sur ℝ6 et en déduire son tableau de variation sur ℝ.
Exercice 1. 39
1.
2.
3.
4.
et déterminer sa fonction dérivée.
4 B 6Y4AC
la fonction définie sur ℝ par 89: =
<
√4 B 6<
et T sa courbe représentative.
Montrer que est paire.
Etudier les variations de sur ℝ6 et déterminer sa limite en +∞.
Tracer T.
Montrer que ∀ ! ∈ /0 ; 1/ l’équation 89: = ! admet une unique solution dans ℝ6 .
Exprimer cette solution en fonction de !.
Exercice 1. 40
Dans un repère orthonormé 8¨ ; ©ª, «ª: on considère le cercle T d’équation 9 C + ! C = 1 et le
point de coordonnées .81 ; 0:. ‹ et ¬ sont les points de T tels que la droite 8‹¬: est
perpendiculaire en - à la droite 8¨.:.
On note 9 l’abscisse du point -, avec −1 ≤ 9 ≤ 1.
3 Limites de fonctions
TS – 2015/2016
1. Calculer l’aire du triangle ‹¬. en fonction de 9.
2. On a tracé ci-dessous la courbe ® représentative de la fonction
89: = 81 − 9:√1 − 9 C .
définie sur 1−1 ; 1/ par
a. Etudier la dérivabilité de en −1 et en 1. Les résultats sont-ils conformes au tracé ?
b. Pour quelle valeur de 9 89: est-il maximal ?
3. a. Déduire la valeur de 9 pour laquelle l’aire du triangle ‹¬. est maximale.
b. Quelle est alors la nature du triangle ‹¬. ?
Exercice 1. 41 dérivabilité, CTVI
Partie A : étude d’une fonction
Soit la fonction définie par 89: = 9√4 − 9 C et { sa courbe représentative dans un repère
orthonormal.
1. Déterminer le domaine de définition de et expliquer pourquoi on peut restreindre
l’étude de sur 10 ; 2/.
2. a. Etudier la dérivabilité de en 2 et interpréter graphiquement le résultat obtenu.
b. Justifier que est dérivable sur 10 ; 21 et calculer sa dérivée • .
c. Etudier les variations de et dresser son tableau de variation sur 10 ; 2/.
3. a. Déterminer une équation de la tangente … à à { au point d’abscisse 0.
b. Justifier que, pour tout 9 ∈ 10 ; 2/, 89: ≤ 29.
c. Tracer { et … sur 1−2 ; 2/ .
4. Prouver que l’équation 89: = 1 admet exactement deux solutions sur l’intervalle
1−2 ; 2/.
Donner un encadrement de ces réels à 10AI près.
Partie B : étude d’une aire
Soit ® le cercle de rayon ¯ = 1 et K°{| un rectangle inscrit dans ®.
On pose 9 = K° et on associe à ce réel l’aire K89: du rectangle K°{|.
1. Préciser quel intervalle . peut décrire le réel 9 et exprimer K89: en fonction de 9.
2. a. Pour quelle valeur de 9 l’aire du rectangle K°{| est maximale ?
Préciser dans ce cas la valeur de l’aire et la nature du quadrilatère K°{|.
b. Pour quelle8s: valeur8s: de 9 l’aire du rectangle K°{| est égale à 1 ?
Exercice 1. 42
Donner l’ensemble de dérivabilité de la fonction
a.
∶9↦
879 C
+ 29 −
2:Y
b.
∶9↦
et déterminer sa fonction dérivée.
Y
− 8IAC4:B
Exercice 1. 43
Donner l’ensemble de dérivabilité de la fonction
a.
∶9↦•
Exercice
46C C
4A<
∶ 9 ↦ cos8sin89::.
b.
‚ ;
et déterminer sa fonction dérivée.
1.
44
Soit une fonction dérivable sur un intervalle .centré en 0.
1. Soit a la fonction définie par a89: = 8−9:, ∀ 9 ∈ .. Calculer a• 89:.
2. Montrer que :
a. Si est paire alors • est impaire ;
b. Si est impaire alors • est paire.
3. Montrer que :
a. Si • est impaire alors est paire ;
b. Si • est paire et si 80: = 0 alors est impaire.
composées
Exercice 1. 45 8composées:
Soit ± une fonction définie et dérivable sur ℝ telle que ±80: = 0 et dont la dérivée est
donnée par ± • 89: =
<
4 B 6<
, pour tout 9 ∈ ℝ. On suppose que cette fonction existe et on ne
cherchera pas à donner une expression de ±89:. { est la courbe représentative de ± dans un
repère orthonormal.
1. Soit ² définie sur ℝ par ²89: = ±89: + ±8−9:.
a. Montrer que ² est dérivable sur ℝ et calculer ² • 89:.
b. Calculer ²80: et en déduire que ± est une fonction impaire.
2. Soit - définie sur ℝ∗6 par -89: = ±89: + ± •4‚.
<
a. Montrer que - est dérivable sur ℝ∗6 et calculer - • 89:.
b. Montrer que, pour tout 9 ∈ ℝ∗6 , -89: = 2±81:.
c. En déduire que lim ±89: = 2±81:.
4→67
d. Qu’en déduit-on pour la courbe { ?
3. … est la fonction définie sur }– C ; C ~ par …89: = ±8tan 9: − 9.
³
³
a. Démontrer que … est une fonction constante.
b. Calculer ±81:.
4. Dresser le tableau de variation de ± sur ℝ
5. Tracer la courbe {, ses asymptotes et ses tangentes aux points d’abscisses −1, 0 et 1,
unités graphiques 2cm sur 8¨9:, 4cm sur 8¨!:.
Sujet
81: Métropole 06.12 n°1.
3 Limites de fonctions
TS – 2015/2016