DS 9 Correction

DS 9 Correction
EXERCICE 1
On considère la fonction déterminée sur 0, ∞ par :
1 1 ln
On se propose dans cet exercice d'étudier la fonction et de la représenter relativement à un repère orthonormal , , , l'unité
choisie étant le cm.
1.1. Etude d'une fonction auxiliaire.
Soit la fonction définie sur 0, ∞ par :
, 3 2ln 1.
Soit ! la fonction polynôme définie sur par ! 3 2.
Factoriser !.
On constate que 1 est racine évidente. On peut alors factoriser ! par 1 en utilisant par
exemple l’algorithme d’Horner :
1
3
3
0
3
3
On obtient donc
1
3
2
2
2
0
! 13 3 2
Déterminer alors le signe de !.
On doit déterminer le signe de 3 3 2.
On a
Δ 94&32 ' 0
Donc la quantité 3 3 2 a le signe de 3 sur , et donc
, 3 3 2 ( 0
Donc le signe de !, c’est celui de 1.
Donc
! ) 0 * ) 1
2.
Vérifier que la fonction dérivée + peut s'écrire :
( 0, , On a
,
3 1 3.
!
2 3 2 !
En déduire les variations de sur son domaine d'étude.
D’après la question précédente, on en déduit que la fonction est décroissante sur ∞, 1 et
croissante sur 1, ∞.
4.Montrer que :
, ( 0
La fonction présente donc un minimum en 1. Or
1 3 ( 0
Donc
( 0, ) 1 ( 0
1.2. Etude de la fonction f.
1.
Déterminer la limite de lorsque tend vers 0 par valeurs positives. Que peut-on en déduire pour la représentation
graphique de , notée ./ ?
On a :
1 On a
1 ln
1 5ln 01
234
Donc
1 ln ~ ln 01
234
Et donc
1 ln ln ~
01 234
On a
ln
∞
01 234
lim
Donc
lim ∞
01
234
La droite d’équation 0 est donc asymptote (verticale) à la courbe ./ .
2.
a.
Déterminer la limite de lorsque que x tend vers ∞.
On a
Donc
On en déduit que
Donc
ln
5
09
1 ln 1
~ ~
09 09 1 ln 1
lim 0
09
09 lim
lim ∞
09
b. Montrer que la droite
d'équation
On étudie
est asymptote à
au voisinage de +∞.
On a :
Donc la droite
d'équation
c. Montrer que sur
est asymptote à
la courbe
au voisinage de +∞.
est au-dessus
au
de la droite
On doit étudier le signe de la quantité
On a
Pour
on a
et
Donc
Comme
on a :
Et donc
Donc sur
la courbe
est au-dessus
dessus de la droite
3.On donne le tableau de valeurs suivant :
0,5
-3,3
a.
Vérifier que la fonction dérivée
b.
En déduire les variations de
3
4,3
peut s'écrire :
On a
Nous avons vu que la fonction est strictement positive. Il en est de même de
Donc la fonction est strictement croissante sur
c.
Donner I'allure de
et tracer la droite
sur
d.
e.
Hachurer la partie du plan comprise entre ./ , Δ et les deux droites d'équation 1 et :.
Ecrire, à l'aide d'une intégrale, la valeur de l'aire de la partie hachurée du plan.
La fonction étant croissante, comme 1 2 ( 0, elle est positive sur 1, :.
L’aire du domaine hachuré est donc égale à :
=
; <
>
f.
A l'aide d'une intégration par parties, déterminer la valeur de cette intégrale.
On a
=
1 ln
@ <
>
=
1 1 ln ; ? 1 @ <
>
=
; < ; ? 1 >
=
= 1
ln A ln B ;
<
2
>
>
=
:
1 1
ln
:1 11;
<
2
: 2
>
=
:
1 3
ln
: ;
<
2
: 2
>
Il faut intégrer par parties l’intégrale restante.
>
La fonction C 0 D est continue sur 1, :, la fonction C ln est de classe E > sur 1, :.
On peut donc procéder à une intégration par parties en posant :
1
F ln et I , On en tire
1
1
F, et I On a donc :
=
= =
ln 1
1
;
;
<
J
ln
K
<
>
>
> 1=
1
J K
:
>
1 1
1
: :
2
1
:
Donc
=
:
1 3
2 :
1 1
; < : 1 : 2
: 2
:
2
: 2
>
EXERCICE 2
On se propose de déterminer la suite de réels FL LM vérifiant la relation de récurrence :
Pour tout entier naturel N : FL 5FL> 6FL avec F1 1 et F> 1.
A cet effet on définit la matrice Q par :
3 6
Q
?
@
1 0
2.1. Calcul de la puissance nième de A.
On considère les matrices à coefficients réels R et E définies par :
3 6
2
R
?
@ et E ?
1 2
1
1. Calculer RE et ER.
On a
6
3
3 6 2 6
0
RE ?
@?
@
?
1 2 1 3
0
2 6 3 6
0
ER ?
@?
@
?
1 3 1 2
0
2. Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel N non nul :
R L R et E L 1LS> E
On a pour N 1, R> R.
Calculons R . On a
@
0
@
0
0
@
0
3 6 3 6
3 6
@?
@
?
@
R
1 2 1 2
1 2
N ) 1, montrons que si R L R alors RL> R.
On a
R L> RR L RR R R
R ?
On a pour N 1, E > E 1>S> E.
Calculons E . On a :
2 6 2 6
2 6
2 6
E ?
@?
@
?
@ E
1 3
1 3 1 3
1 3
N ) 1, montrons que si E L 1LS> E alors E L> 1L>S> E 1L E.
On a
E L> E L E 1LS> EE 1LS> E 1LS> E 1L E
On a donc démontré par récurrence
N ) 1, RL R et E L 1LS> E
3. Vérifier que l'on a :
où T est la matrice carrée unité d'ordre 2.
19 30
6
@ ?
@. On a de même
5
6
0
1 0
6 0
19 30
5 6
25 18
3Q 6T 5 ?
@ 6?
@
?
@?
@
?
@ A
0 1
0 6
5
6
1 0
3
0
5
On a Q ?
1
Q 5Q 6T
4. Etablir que la matrice Q est inversible et exprimer QS> en fonction de Q et T.
On a d’après la question précédente :
Donc
On a donc
Q est donc inversible et l’on a :
Q 5Q 6T
1
5
Q Q T
6
6
1
5
Q W Q TX T
6
6
1
5
QS> Q T
6
6
5.Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel N :
QL 3L R 2L E
La relation précédente est-elle encore vraie pour N 1.
3 6
2 6
1 0
@?
@
?
@
I
Pour N 0, on a Q1 T et 31 R 21 E R E ?
1 2
1 3
0 1
La propriété est initialisée.
N ) 0, montrons que si QL 3L R 2L E alors QL> 3L> R 2L> E
On a
QL> QL Q 3L R 2L E Q
L’énoncé suggère que Q 3R 2E. Vérifions-le.
On a
3 6
2 6
5 6
3R 2E 3 ?
@ 2?
@
?
@
A
1 2
1 3
1 0
On a donc
3L R 2L E Q 3L R 2L E 3R 2E 3L > R – 2 & 3L RE – 3 & 2L ER 2L > E 3L> R 2L> E
3L> R 2L> E
La formule est donc héréditaire et donc
N M, QL 3L R 2L E
Pour N 1, on a
0 1
1
1
1 3 6
1 2 6
3S> R 2S> E R E ?
@ ?
@ [ 1 5\
3
2
3 1 2
2 1 3
6 6
Or
0 1
1
5
1 5 6
5 1 0
S>
Q Q T ?
@ ?
@ [ 1 5\
6
6
6 1 0
6 0 1
6 6
La relation est donc vraie pour N 1.
6. Montrer que pour tout entier naturel N :
On peut procéder par récurrence.
QS> L 1
1
R LE
3L
2
La formule est vraie pour N 1 d’après ce que nous venons de vérifier.
1
1
1
1
N ) 1, montrons que si QS> L L R L E alors QS> L> L> R L> E
3
2
3
2
On a
1
1
1
1
QS> L> QS> L QS> W L R L EX W R E X
3
2
3
2
1
1
1
1
1
1
L> R L RE L ER L> E 3
3 2
2 3
2
1
1
L> R L> E
2
3
Il y a hérédité et la formule est donc vérifiée pour tout entier N.
2.2. Expression de cd en fonction de d.
1. Vérifier que pour tout entier naturel N e
?
FL
FL>
@ Q?
FL>
FL
@
Nous savons que FL 5FL> 6FL .
On a
FL>
FL
5 6 FL>
5F
6FL
Q?
@
?
@?
@ W L>
X
?
@
FL>
FL
FL
FL>
1 0
Ce qu’il fallait démontrer.
2. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel N e
FL>
1
?
@ QL ? @
FL
1
F>
1
1
1
1
On a F et Q1 T . La relation est initialisée.
1
1
1
1
1
FL>
FL
1
1
N ) 0, montrons que si ?
@ QL ? @, alors ?
@ QL> ? @.
FL
FL>
1
1
C’est une récurrence immédiate.
On a
FL>
FL
1
1
?
@ Q?
@ QQL ? @ QL> ? @
FL>
FL
1
1
Il y a hérédité et la propriété est donc démontrée.
3. Donner ainsi l'expression de FL en fonction de N.
On a donc
Or
FL>
1
?
@ QL ? @
FL
1
2 6
@ 2L ?
@
1 2
1 3
L>
L>
6 & 2L 6 & 3L 3 L 2L
3 2
3 & 2L 3 & 3L
QL 3L R 2L E 3L ?
Donc
3
6
?
FL>
FL
@
?
?
3L> 2L>
3L 2L
2L>
3
L>
1
@? @
3 & 2L 2 & 3L 1
3 & 2L> 2 & 3L> 1
@? @
1
3 & 2L 2 & 3L
6 & 2L 6 & 3L
3L 2L
L>
L>
2 & 2 L 3L 2&2 3
Donc
FL 2 & 2L 3L
EXERCICE 3
Soit N un entier naturel non nul et f une variable aléatoire réelle discrète dont l'univers image fΩ est inclus dans l'ensemble
g0,1, . . . , Nh.
L
if j k!f k est l'espérance mathéma;que de f.
lm>
L'objectif de cet exercice est de prouver et d'utiliser l'égalité
L
if j !f ) k
lm>
notée (R).
1) Etude d'un exemple. Soit f qui suit une loi binomiale de paramètres n 2 et p= 3/4.
a. Calculer of ) 1 of ) 2.
On a
l
1 Sl
2 3
k g0,1,2h, !f k W X W X
k 4
4
Donc
! f
! f
! f
! f
!f
b.
Donner la valeur de l'espérance if. Vérifier l'égalité (R).
On a
La relation est vérifiée.
2
a.
On a
3 > 1 S>
3 1 3
2
1 W X W X
2& & 1 4
4
4 4 8
S
3
1
3
9
2
2 W X W X
W X 2 4
4
4
16
3 9
15
) 1 !f 1 !f 2 8 16 16
9
) 2 !f 2 16
24 3
15 9
) 1 !f ) 2 16 16 16 2
if 2 &
3 3
4 2
On revient au cas général : f est telle que fp est inclus dans l'ensemble g0,1, . . . , Nh.
Justifier pour k g1, . . . , Nh l'égalité :
of ) k of k of k 1. . . of N
L
f ) k qf rml
Donc par incompatibilité, on a
L
!f ) k j !f rml
b.
En écrivant puis en sommant les égalités précédentes de k 1 à N, en déduire l'égalité (R).
On a donc
!f 1 !f 2 s !f k s !f N !f ) 1
!f 2 s !f k s !f N !f ) 2
t
t
!f k s !f N !f ) k
t
t
!f N !f ) N
!f 1 n’apparaît que dans la première ligne, !f 2 apparaît dans les deux premières lignes,…,
!f k apparaît dans les k premières lignes,…, !f N apparaît dans les N lignes. Donc en
sommant les N lignes membre à membre, on obtient :
1!f 1 2!f 2 s k!f k s N! f N ! f ) 1 s !f ) N
Donc
L
L
lm>
lm>
j k!f k j ! f ) k L’égalité (R) est donc démontrée.
1. Application sur un exemple :
Un jeu vidéo est constitué de n niveaux successifs.
Lorsque le joueur commence un niveau, ce qui suppose qu'il ait réussi tous les niveaux précédents, la probabilité qu'il le réussisse est
(2/3). Le jeu s'arrête dès que le joueur échoue à un niveau.
On note f la variable aléatoire égale au nombre de niveaux réussis par le joueur.
a. Donner fp.
Le jeu s’arrête au plus tôt au niveau 1 et au plus tard au niveau N. Il peut s’arrêter à tout niveau k
compris entre 1 et N.
Donc
fΩ v1, Nw
b. On note nr l'événement « Le joueur a réussi le niveau ».
Exprimer pour tout entier naturel k de g2, . . . , Nh l'événement f ) k à l'aide des événements n> , n , … , nl .
En déduire :
2 l
of ) k W X
3
L’évènement f ) k signifie que le joueur a réussi tous les niveaux jusqu’au niveau k au moins
puisque dans le cas contraire il n’aurait pas eu le droit de jouer le niveau k.
Donc
f ) k n> y n y … y nl
On a
!f ) k !n> !z{ n !z{ yzD n … !z{ y…yz|}{ nl c. En utilisant la formule (R), calculer l'espérance if.
On a donc
L
L
lm>
lm1
2
2 l
2 2
& …& W X
3
3
3 3
2 l
2 l
if j W X j W X 1
3
3
2 L>
1 3
1
2
1
3
2 L>
33W X
1
3
2 L>
23W X
3
EXERCICE 4
Partie 1
On pose, pour tout entier N supérieur ou égal à 1,
L
IL j
lm>
1 . Montrer que e k M ,
>
>
~;
l>
l>
l
1
k
€
€
La fonction  C € est décroissante sur k, k 1. On a pour tout  k, k 1,
Donc d’après le théorème de la moyenne,
k 1 k &
Ou plus simplement
2.
1 1
1
~ ~
k1  k
l>
1
<
1
~;
~ k 1 k &
k1

k
l
l>
1
<
~;
k1

l
En déduire que e N M , IL ~ lnN 1.
Il s’agit de sommer cette égalité quand k varie de 1 à N 1:
On a
LS>
LS>
lm>
lm>
l>
1
<
j
~ j;
k1

l
On obtient en changeant d’indice et en utilisant la relation de Chasles généralisée :
Ce qui donne
L
L
1
<
j ~;
k
> 
lm
L
j
lm>
Et donc
1
1 ~ ln>L
k
IL 1 ~ ln N
Ce qui donne enfin :
IL ~ lnN 1
Partie 2
On considère une suite FL définie par son premier terme F1 1 et par la relation suivante, valable pour tout entier N e
1
FL> FL FL
a. Montrer par récurrence que chaque terme de cette suite est parfaitement défini et strictement positif.
1.
F1 est parfaitement défini est strictement positif.
N ) 0, montrons que si FL est défini et strictement positif, il en est de même pour FL> .
Si FL existe et est strictement positif, il est différent de 0 et donc FL> existe. De plus FL> apparaît
comme la somme de nombres strictement positifs. C’est donc un nombre strictement positif.
Il y a donc hérédité. Donc pour tout entier N, FL existe et est strictement positif.
b.
En déduire le sens de variation de la suite FL .
On a
FL> FL Donc la suite FL est croissante.
1
(0
FL
2. a. Pour tout entier k, exprimer Fl>
Fl en fonction de Fl .
On a
1 X Fl
Fl
1
1
Fl 2Fl
Fl
Fl Fl
1
2 Fl
Fl>
Fl WFl b. En déduire que e N M ,
LS>
FL 2N 1 j
lm1
1
Fl
On peut montrer cette relation par récurrence.
Pour N 1, on a F> 2 et donc F> 4.
1
2&11j
lm1
1
31
4
Fl
Il y a donc bien initialisation.
N ) 1, montrons que si la relation est vérifiée pour FL elle est également vérifiée pour FL>
.
FL>
FL 2 1
FL
LS>
2N 1 j
lm1
1
1
2 F
Fl
L
L
2N 1 1 j
lm1
La propriété est donc démontrée.
c.
1
Fl
Montrer que : N M , FL ) 2N 1. En déduire la limite de la suite FL .
On a d’après la question précédente
FL
LS>
2N 1 j
lm1
Donc
1
)0
Fl
FL ) 2N 1
3. a. A l'aide du résultat précédent, montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2
1
FL ~ 2N 2 ILS>
2
On a
FL
Or k ) 0, Fl ) 2k 1
Or 2k 1 ) 2k.
Donc
FL
Et donc
2N 1 j
lm1
1
Fl
LS>
LS>
lm>
lm>
1
1
1
2N 1 j 2N 2 j Fl F1
Fl
LS>
1
2k
FL
~ 2N 2 j
FL
1
1
~ 2N 2 j
2
k
Et donc enfin
On a enfin
LS>
lm>
LS>
lm>
1
FL ~ 2N 2 ILS>
2
b. En utilisant la partie 1, établir que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2 :
5 lnN 1
FL ~ 2N 2
2
On a
Ce qui donne :
ILS> ~ lnN 1 1
1
FL ~ 2N 2 lnN 1 1
2
Et enfin
5 1
FL ~ 2N ln N 1
2 2
c. En déduire finalement que FL „ √2N quand N ∞.
On a
Donc
On a
5 1
2N 1 ~ FL ~ 2N ln N 1
2 2
5 1
2N 1 FL 2N 2 4 lnN 1
~
~
2N
2N
2N
N
Et
Donc
2N 1
1
L9 2N
lim
lim
L9
5
2N 2
2N
lim
1 et
5
2N 2
2N
D’après le théorème des gendarmes, on a donc
L9
Donc
Et donc
lnN 1
0
L9
N
lim
1
lnN 1
4
1
N
FL
1
L9 2N
lim
lim
FL
L9 √2N
1
FL ~ √2N
L9