Devoir surveillé n°1 1 ES/L

Devoir surveillé n°1
1 ES/L - Vendredi 27 septembre
Exercice 1 (4 points) :
Dans chacun des cas suivants, compléter les données obtenues par lecture graphique :
10
3
6
2
4
5
1
2
1
−1
2
3
4
−1
−6
−4
2
−2
5
−5
−2
−2
signe de a ..............................
signe de a ..............................
signe de a ..............................
signe de ∆ ..............................
signe de ∆ ..............................
signe de ∆ ..............................
valeur de α ..............................
valeur de α ..............................
valeur de α ..............................
valeur de β ..............................
valeur de β ..............................
valeur de β ..............................
Exercice 2 (5 points) :
On considère la fonction f définie pour tout réel x par f (x) = −2x2 + 8x − 6.
1
Déterminer, avec la méthode de votre choix, la forme canonique de f (x).
2
Montrer que pour tout réel x, f (x) = −2(x − 3)(x − 1).
3
Mettre une croix dans la case correspondante à la forme la plus adaptée pour les calculs suivants :
forme
factorisée
f (0)
f (3)
résoudre
f (x) = 0
4
Effectuer les calculs.
Exercice 3 (6 points) :
Résoudre dans R les équations suivantes :
1
2
3
x2 − 2x − 3 = 0
t(3 + t) = −3
x2 + 5x + 6
=0
x+2
forme
canonique
forme
développée
Exercice 4 (5 points) :
Partie A : étude préliminaire.
Soient deux fonctions O et D définies respectivement sur R par :
1
O(x) = x2 + 10 et D(x) = −x2 − 2x + 20
2
1
Donner le tableau de variations complet des fonctions O et D. Vous justifierez brièvement.
2
Ci dessous sont représentées les représentations graphiques de ces deux fonctions. Déterminer graphiquement
les coordonnées du point d’intersection des deux courbes dont l’abscisse est positive.
Partie B : offre et demande.
Une chaîne de magasin de décoration vend un tissu d’ameublement.
x est le prix de vente au mètre, en dizaine d’euros, et 0.3 6 x 6 3.5.
L’offre, en dizaine de mètres, est donnée par la fonction O et la demande, en dizaine de mètres, est donnée par la
fonction D.
1
Déterminer algébriquement le prix d’équilibre, c’est à dire le prix lorsque l’offre est égale à la demande.
2
A quoi cela correspond t-il graphiquement ?
20
15
10
5
−6
−4
−2
2
4
Devoir surveillé n°1 - Correction
1 ES/L - Vendredi 27 septembre
Exercice 1 :
signe de a : négatif
signe de ∆ : strict. positif
valeur de α : 2
valeur de β : 3
signe de a : positif
signe de ∆ : strict. négatif
valeur de α : −1
valeur de β : 4
signe de a : positif
signe de ∆ : nul
valeur de α : -2
valeur de β : 0
Exercice 2 :
1
Méthode 1 :
a = −2, b = 8, c = −6
8
b
=−
=2
On calcule : α = −
2a
2 × (−2)
2
β = f (α) = f (2) = −2 × 2 + 8 × 2 − 6 = 2
D’après le théorème, la forme canonique de f (x) est donnée par :
Méthode 2 :
Soit x ∈ R,
f (x)
= −2 (x − 2)2 − 4 + 3
= −2 (x − 2)2 − 1
= −2(x − 2)2 + 2
f (x) = a(x − α)2 + β pour tout x ∈ R
donc f (x) = −2(x − 2)2 + 2
= −2(x2 − 4x + 3)
pour tout x ∈ R
2
Soit x ∈ R, −2(x − 3)(x − 1) =
=
=
−2(x2 − x − 3x + 3)
−2(x2 − 4x + 3)
−2x2 + 8x − 6 = f (x)
3
forme
factorisée
f (0)
f (3)
f (x) = 0
4
forme
canonique
forme
développée
✓
✓
✓
⋄ f (0) = −2 × 02 + 8 × 0 − 6 = −6
⋄ f (3) = −2(3 − 3)(3 − 1) = 0
⋄ soit x ∈ R, f (x) = 0 ⇐⇒ −2(x − 3)(x − 1) = 0 ⇐⇒ x = 3 ou x = 1.
Exercice 3 :
1
x2 − 2x − 3 = 0
On note γ le polynôme du second degré défini pour tout x ∈ R par γ(x) = x2 − 2x − 3.
Calculons le discriminant ∆γ du polynôme γ, avec a = 1, b = −2, c = −3.
∆γ = b2 − 4ac = (−2)2 − 4 × 1 × (−3) = 4 + 12 = 16 > 0.
Le polynôme γ possède donc deux racines réelles données par :
√
√
−b − ∆
−b + ∆
x1 =
x2 =
2a
2a
et
2−4
2+4
=
=
2
2
= −1
= 3
En conclusion, l’équation admet comme ensemble solution : S = { −1 ; 3 }
2
t(3 + t) = −3
Soit t ∈ R, t(3 + t) = −3 ⇐⇒ 3t + t2 = −3 ⇐⇒ t2 + 3t + 3 = 0.
On note ξ le polynôme du second degré défini pour tout t ∈ R par ξ(t) = t2 + 3t + 3.
Calculons le discriminant ∆ξ du polynôme ξ, avec a = 1, b = 3, c = 3.
∆ξ = b2 − 4ac = 32 − 4 × 1 × 3 = 9 − 12 = −3 < 0.
Le polynôme ξ ne possède donc aucune racine réelle et l’équation t(3+t) = −3 admet comme ensemble solution S = ∅
3
x2 + 5x + 6
=0
x+2
x2 + 5x + 6
est définie sur R\{−2}.
L’expression
x+2
On résout l’équation x2 + 5x + 6 = 0. Notons ζ le polynôme défini pour tout x par ζ(x) = x2 + 5x + 5.
Calculons le discriminant ∆ζ du polynôme ζ, avec a = 1, b = 5, c = 6.
∆ζ = b2 − 4ac = 52 − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1 > 0. Le polynôme ζ possède donc deux racines réelles données par :
√
√
−b + ∆
−b − ∆
x2 =
x1 =
2a
2a
et
−5 − 1
−5 + 1
=
=
2
2
= −3
= −2
En conclusion, l’équation x2 + 5x + 6 = 0 admet comme ensemble solution : S = { −2 ; −3 } .
Mais −2 est une valeur interdite pour l’expression
x2 + 5x + 6
, on l’exclut donc des solutions de l’équation quotient.
x+2
Par conséquent : S = {−3}
Exercice 4 :
Partie A : étude préliminaire.
1
Fonction d’offre
⋆ le coefficient du terme de plus haut degré (le "a") du
polynôme O est positif : la fonction est donc d’abord
décroissante puis croissante.
b
= 0 ; β = O(α) = 10
⋆α=−
2a
Fonction de demande
⋆ le coefficient du terme de plus haut degré (le "a") du
polynôme D est négatif : la fonction est donc d’abord
croissante puis décroissante.
b
= −1 ; β = D(α) = 21
⋆α=−
2a
x
x
var. de O
2
−∞
❅
❅
❘
❅
0
+∞
✒
var. de D
−∞
✒
−1
21
+∞
❅
10
¯
On ne s’intéresse qu’au point E d’intersection des courbes qui a une abscisse positive, on lit :
❅
❘
❅
E(2 ; 12)
Partie B : offre et demande.
1
1 2
x + 10 = −x2 − 2x + 20
2
3 2
⇐⇒
x + 2x − 10 = 0
2
3
3
Calculons le discriminant du polynôme x2 + 2x − 10 avec a = , b = 2, c = −10.
2
2
∆ = b2 − 4ac = 22 − 4 × 32 × (−10) = 4 + 60 = 64 > 0.
Le polynôme possède donc deux racines réelles données par :
√
√
−b − ∆
x1 =
−b + ∆
2a
x2 =
2a
−2 − 8
et
=
−2 + 8
3
=
3
10
= −
= 2
3
10
et 2.
L’équation O(x) = D(x) admet sur R deux solutions qui sont −
3
Or, dans le contexte, x représente le prix de vente en dizaine d’euros et est tel que 0.3 6 x 6 3.5.
Ainsi le prix d’équilibre p0 est de 20 euros.
Soit x ∈ R, O(x) = D(x)
2
⇐⇒
Le prix d’équilibre correspond graphiquement à l’abscisse, comprise entre 0.3 et 3.5, du point d’intersection des courbes
représentatives de O et D.